Giải 2 câu bất đẳng thức trong đề chọn đội tuyển HSG QG Quảng Ninh

Bài 1a - Bất đẳng thức (cơ bản)

Với \(a, b, c\) là các số thực bất kỳ thỏa mãn \(a \ge b \ge c > 0\), chứng minh:

\[ \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \le \frac{b}{a} + \frac{c}{b} + \frac{a}{c} \]

Lời giải: Biến đổi tương đương ta được:

\[ a^2 b + b^2 c + c^2 a \ge a b^2 + b c^2 + c a^2 \iff (a - b)(b - c)(a - c) \ge 0 \]

suy ra đpcm.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a = b\) hoặc \(b = c\).

Bài 1b - Bất đẳng thức (mở rộng)

Với \(n \in \mathbb{N}^*\), \(n \ge 2\) và các số thực \(x_1 \ge x_2 \ge \dots \ge x_n > 0\), chứng minh:

\[ \frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_3} + \dots + \frac{x_{n-1}}{x_n} + \frac{x_n}{x_1} \le \frac{x_2}{x_1} + \frac{x_3}{x_2} + \dots + \frac{x_n}{x_{n-1}} + \frac{x_1}{x_n} \]

Lời giải:

Đặt \(\frac{x_1}{x_2} = t_1, \frac{x_2}{x_3} = t_2, \dots, \frac{x_{n-1}}{x_n} = t_{n-1}\) thì \(t_i \ge 1, \forall i = 1, 2, \dots, n - 1\) và \(\frac{x_n}{x_1} = \frac{1}{t_1 t_2 \dots t_{n-1}}\), ta chứng minh:

\[ t_1 + t_2 + \dots + t_{n-1} + \frac{1}{t_1 t_2 \dots t_{n-1}} \le \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} + \dots + \frac{1}{t_{n-1}} + t_1 t_2 \dots t_{n-1} \] \[ \iff f(t_1; t_2; \dots; t_{n-1}) = \sum_{i=1}^{n-1} \left( t_i - \frac{1}{t_i} \right) + \frac{1}{t_1 t_2 \dots t_{n-1}} - t_1 t_2 \dots t_{n-1} \le 0 \]

Coi \(t_2, t_3, \dots, t_{n-1}\) là tham số, \(f\) là hàm của \(t_1\), ta có:

\[ f'(t_1) = 1 + \frac{1}{t_1^2} - t_2 t_3 \dots t_{n-1} - \frac{1}{t_1^2 \cdot t_2 t_3 \dots t_{n-1}} \] \[ = 1 + \frac{1}{x^2} - M - \frac{1}{M x^2} \quad (\text{với } x = t_1 \ge 1, M = t_2 t_3 \dots t_{n-1} \ge 1) \] \[ = (1 - M) + \frac{1}{x^2} \left( 1 - \frac{1}{M} \right) \] \[ = (1 - M) \left( 1 - \frac{1}{x^2 M} \right) \le 0 \]

Suy ra \(f(t_1; t_2; \dots; t_{n-1})\) nghịch biến theo từng biến độc lập, nên

\[ f(t_1; t_2; \dots; t_{n-1}) \le f(1; 1; \dots; 1) = 0 \]

ta có đpcm.

Đẳng thức xảy ra khi \(x_1 = x_2 = \dots = x_n\).

Bài 1a - Bất đẳng thức (cơ bản) Với \(a, b, c\) là các số thực bất kỳ thỏa mãn \(a \ge b \ge c > 0\), chứng minh: \[ \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \le \frac{b}{a} + \frac{c}{b} + \frac{a}{c} \] Lời giải: Biến đổi tương đương ta đư…

Lời giải bài toán về tổng số dư và số nguyên tố trong đề thi HSG Toán

Tóm tắt nội dung bài toán: Bài toán yêu cầu chứng minh bất đẳng thức liên quan đến hàm tổng số dư \(f(n)\) và vận dụng sai phân \(f(n) - f(n-1)\) kết hợp với hàm tổng các ước số \(\sigma(n)\) để chứng minh \(n\) là số nguyên tố.

Bài toán (5,0 điểm)

Với mỗi số nguyên dương \(n > 1\), ký hiệu \(f(n)\) là tổng tất cả các số dư khi chia \(n\) cho các số nguyên dương từ \(1\) đến \(n - 1\). Ví dụ \(f(6) = 0 + 0 + 0 + 2 + 1 = 3\).

a. Chứng minh với mọi số nguyên dương \(n > 1\) thì \[f(n) \ge \frac{n^2 - 2n}{8}.\]

b. Biết rằng số nguyên dương \(n > 2\) thỏa mãn \(f(n) - f(n-1) > n - \sqrt{n} - 1\). Chứng minh \(n\) là số nguyên tố.

Lời giải chi tiết

a. Ta có \(f(2) = 0\); \(f(3) = 0 + 1 = 1\); \(f(4) = 0 + 0 + 1 = 1\); \(f(5) = 0 + 1 + 2 + 1 = 4\) đều thỏa mãn.

Ta chỉ cần tính tới các số dư khi chia \(n\) cho các số ở nửa sau của dãy \(1; 2; \dots; n-1\), ta có ngay:

Nếu \(n\) là số chẵn \(\ge 6\) thì \[f(n) \ge 1 + 2 + \dots + \left(\frac{n}{2} - 1\right) = \frac{n^2 - 2n}{8}.\]

Nếu \(n\) là số lẻ \(\ge 5\) thì \[f(n) \ge 1 + 2 + \dots + \frac{n - 1}{2} = \frac{n^2 - 1}{8} > \frac{n^2 - 2n}{8}.\]

---

b. Ký hiệu: \(n \bmod k\) là số dư khi chia \(n\) cho \(k\) với \(1 \le k \le n - 1\). Ta có nhận xét sau đây:

• Nếu \(n \nmid k\) thì \(n \bmod k - (n - 1) \bmod k = 1\).
• Nếu \(n \vdots k\) thì \(n \bmod k - (n - 1) \bmod k = 0 - (k - 1) = -(k - 1)\).

Do đó:

\[\begin{aligned} f(n) - f(n - 1) &= \left( \sum_{k \nmid n} n \bmod k - \sum_{k \nmid n} (n - 1) \bmod k \right) + \left( \sum_{k \mid n} n \bmod k - \sum_{k \mid n} (n - 1) \bmod k \right) \\ &= \sum_{k \nmid n} 1 - \sum_{k \mid n} (k - 1) \\ &= \left( \sum_{k \nmid n} 1 + \sum_{k \mid n} 1 \right) - \sum_{k \mid n} k \\ &= n - 1 - (\sigma(n) - n) \\ &= 2n - 1 - \sigma(n) \end{aligned}\]

và từ giả thiết \(f(n) - f(n-1) > n - \sqrt{n} - 1\) suy ra \[2n - 1 - \sigma(n) > n - \sqrt{n} - 1 \Leftrightarrow \sigma(n) < n + \sqrt{n};\] với \(\sigma(n)\) là tổng các ước dương của số nguyên dương \(n\).

Giả sử \(n\) là hợp số, thì \(n\) có một ước là \(d\) với \(1 < d < n\) thì \(\frac{n}{d}\) cũng là một ước của \(n\), với \(1 < \frac{n}{d} < n\).

+ Nếu \(d = \frac{n}{d}\) thì \(\sigma(n) \ge n + d + 1 = n + \sqrt{n} + 1\),

+ Nếu \(d \neq \frac{n}{d}\) thì \(\sigma(n) \ge n + d + \frac{n}{d} + 1 \ge n + 2\sqrt{n} + 1\)

cả hai đều mâu thuẫn với \(\sigma(n) < n + \sqrt{n}\). Vậy giả sử là sai, \(n\) là số nguyên tố, đpcm.

Xem và tải file PDF đầy đủ

[Tải về file PDF]

Tóm tắt nội dung bài toán: Bài toán yêu cầu chứng minh bất đẳng thức liên quan đến hàm tổng số dư \(f(n)\) và vận dụng sai phân \(f(n) - f(n-1)\) kết hợp với hàm tổng các ước số \(\sigma(n)\) để chứng minh \(n\) là số nguyên tố. Bài toán (5,0 điểm)…

Giải bài toán dãy số truy hồi và tính giới hạn nâng cao

Tài liệu trình bày lời giải chi tiết cho bài toán dãy số cho bởi công thức truy hồi bậc hai. Bài toán gồm hai phần: phần a chứng minh bất đẳng thức tổng dãy số bé hơn 14 bằng phương pháp công thức tổng quát và chuỗi hình học; phần b tính giới hạn của dãy s_n thông qua đẳng thức sai phân và phép thế số hạng tổng quát.

Đề bài

Cho dãy số \((u_n)\) xác định bởi: \[\begin{cases} u_1 = 4, u_2 = 14; \\ u_{n+2} = 4u_{n+1} - u_n, \forall n \in \mathbb{N}^*. \end{cases}\] a. Chứng minh rằng \[\frac{u_1}{4} + \frac{u_2}{4^2} + \dots + \frac{u_n}{4^n} \lt 14, \forall n \in \mathbb{N}^*.\]
b. Đặt \[s_n = \frac{1}{u_1 u_3} + \frac{1}{u_3 u_5} + \dots + \frac{1}{u_{2n+1} u_{2n+3}}, \forall n \in \mathbb{N}^*.\] Chứng minh dãy \((s_n)\) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Sơ lược lời giải

a. Từ công thức truy hồi ở đề bài, suy ra \(u_n = a^n + b^n, \forall n \in \mathbb{N}^*\), với \(a = 2 + \sqrt{3}, b = 2 - \sqrt{3}\).

Khi đó, với mọi \(n\), ta có:

\[\frac{u_1}{4} + \frac{u_2}{4^2} + \dots + \frac{u_n}{4^n} = \sum_{k=1}^n \frac{a^k + b^k}{4^k} = \sum_{k=1}^n \left(\frac{a}{4}\right)^k + \sum_{k=1}^n \left(\frac{b}{4}\right)^k \lt \frac{\frac{a}{4}}{1 - \frac{a}{4}} + \frac{\frac{b}{4}}{1 - \frac{b}{4}} = 14.\]

b. Ta có \[\frac{1}{u_k u_{k+2}} = \frac{u_{k+2} + u_k}{4 u_k u_{k+1} u_{k+2}} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{u_k u_{k+1}} + \frac{1}{u_{k+1} u_{k+2}} \right), \forall n\]

Nên \[s_n = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{u_1 u_2} + \frac{1}{u_2 u_3} + \dots + \frac{1}{u_{2n+2} u_{2n+3}} \right), \forall n.\]

Mặt khác, quy nạp được \[u_{n+2} u_n - u_{n+1}^2 = 12, \forall n\] nên \[\frac{u_{n+2} u_n - u_{n+1}^2}{u_n u_{n+1}} = \frac{12}{u_n u_{n+1}}\]

suy ra \[\frac{1}{u_n u_{n+1}} = \frac{1}{12} \left( \frac{u_{n+2}}{u_{n+1}} - \frac{u_{n+1}}{u_n} \right), \forall n\] nên \[s_n = \frac{1}{48} \left( \frac{u_{2n+4}}{u_{2n+3}} - \frac{u_2}{u_1} \right), \forall n.\]

Do đó:

\[\lim s_n = \frac{1}{48} \lim \left( \frac{a^{2n+4} + b^{2n+4}}{a^{2n+3} + b^{2n+3}} - \frac{14}{4} \right) = \frac{1}{48} \left( 2 + \sqrt{3} - \frac{7}{2} \right) = \frac{2\sqrt{3} - 3}{96}.\]

Tài liệu trình bày lời giải chi tiết cho bài toán dãy số cho bởi công thức truy hồi bậc hai. Bài toán gồm hai phần: phần a chứng minh bất đẳng thức tổng dãy số bé hơn 14 bằng phương pháp công thức tổng quát và chuỗi hình học; phần b tính giới hạn củ…

Bài toán phương trình hàm xác định cặp hàm liên tục liên quan đến dãy số

Tóm tắt: Bài toán tìm cặp hàm số liên tục \(f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) thỏa mãn hệ phương trình hàm bằng phương pháp rút thế, đổi biến hàm phụ và đưa về giới hạn của dãy số tái lập.

Đề bài

Bài toán: Tìm tất cả các hàm liên tục \(f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), thỏa mãn:

\[\begin{cases} 3f(x) - 2g(x) = -5x, \forall x \in \mathbb{R} \\ 2f(x) - 3g(x) = -5f(5x - 2), \forall x \in \mathbb{R} \end{cases}\]

Lời giải

Rút \(g(x)\) từ đẳng thức thứ nhất, thay vào đẳng thức thứ hai, ta được:

\[2f(x) - 3 \cdot \frac{3f(x) + 5x}{2} = -5f(5x - 2), \forall x \in \mathbb{R}\]\[\Leftrightarrow f(x) + 3x = 2f(5x - 2), \forall x \in \mathbb{R}\]

Đặt \(f(x) = h(x) + \frac{1}{3}x + \frac{4}{3}, \forall x \in \mathbb{R}\), ta được:

\[h(x) + \frac{1}{3}x + \frac{4}{3} + 3x = 2h(5x - 2) + \frac{2}{3}(5x - 2) + \frac{8}{3}, \forall x \in \mathbb{R}\]\[\Leftrightarrow h(x) = 2h(5x - 2), \forall x \in \mathbb{R}\]\[\Leftrightarrow h(x) = \frac{1}{2}h\left(\frac{x+2}{5}\right), \forall x \in \mathbb{R}\]

Xét dãy \((u_n)\): \(u_0 \in \mathbb{R}\), \(u_{n+1} = \frac{u_n + 2}{5}, \forall n\), với \(u_0\) bất kỳ; chứng minh được \(\lim u_n = \frac{1}{2}, \forall u_0 \in \mathbb{R}\).

Ta có: \[h(u_0) = \frac{1}{2}h(u_1) = \frac{1}{2^2}h(u_2) = \dots = \frac{1}{2^n}h(u_n), \forall n.\] Do \(f, g\) liên tục nên \(h\) liên tục, cho \(n \to +\infty\), cùng với \(u_n \to \frac{1}{2}\) suy ra \(h(u_0) = \frac{1}{2^n}h(u_n) \to 0, \forall u_0 \in \mathbb{R}\), từ đó ta có \(h(x) = 0, \forall x \in \mathbb{R}\).

Kết luận: \(f(x) = \frac{1}{3}x + \frac{4}{3}, \forall x \in \mathbb{R}\); \(g(x) = 3x + 2, \forall x \in \mathbb{R}\).

Tóm tắt: Bài toán tìm cặp hàm số liên tục \(f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) thỏa mãn hệ phương trình hàm bằng phương pháp rút thế, đổi biến hàm phụ và đưa về giới hạn của dãy số tái lập. Đề bài Bài toán: Tìm tất cả các hàm liên tục \(f, g: \mathb…

Kỹ thuật chọn điểm rơi trong Bất đẳng thức AM-GM kèm ví dụ minh họa

Kỹ thuật chọn điểm rơi là một phương pháp quan trọng giúp xử lý các bài toán bất đẳng thức AM-GM khi điều kiện điểm rơi không xảy ra tại các biến bằng nhau. Tài liệu trình bày quy trình và ví dụ minh họa chi tiết.

Kỹ thuật và ví dụ minh hoạ

Ví dụ: Cho số thực \(a \ge 3\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = a + \frac{1}{a}\).
Phân tích: Trên nửa khoảng \([3; +\infty)\), khi \(a\) tăng thì số hạng \(a\) tăng nhiều hơn mức giảm của số hạng \(\frac{1}{a}\), nên \(A\) tăng theo \(a\). Ta dự đoán \(A\) nhỏ nhất tại biên \(a = 3\). Khi đó \(a = \frac{1}{a}\) không được ghép trực tiếp cặp \((a; \frac{1}{a})\) vì dấu đẳng thức của nó rơi vào \(a = 1\); phải tách \(a\) thành hai phần với một hệ số thích hợp.
Điểm rơi: \(a = 3\). Ghép cặp \(\left(\frac{a}{k}; \frac{1}{a}\right)\) và buộc hai số này bằng nhau tại điểm rơi: $$ \begin{cases} \frac{a}{k} = \frac{1}{a} \\ a = 3 \end{cases} \Rightarrow \frac{3}{k} = \frac{1}{3} \Rightarrow k = 9. $$ • Tách biểu thức: Với hệ số \(k = 9\) vừa tìm, ta viết: $$ A = a + \frac{1}{a} = \frac{a}{9} + \frac{1}{a} + \frac{8a}{9}. $$

Lời giải ví dụ

• Ráp đánh giá: Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số dương \(\frac{a}{9}\) và \(\frac{1}{a}\), rồi dùng giả thiết \(a \ge 3\) cho phần dư: $$ A \ge 2\sqrt{\frac{a}{9} \cdot \frac{1}{a}} + \frac{8 \cdot 3}{9} = 2 \cdot \frac{1}{3} + \frac{8}{3} = \frac{10}{3}. $$ • Kiểm tra dấu đẳng thức: Đánh giá thứ nhất trở thành đẳng thức khi $$ \frac{a}{9} = \frac{1}{a} \Leftrightarrow a = 3 $$ (do \(a > 0\)); đánh giá thứ hai trở thành đẳng thức cũng khi \(a = 3\). Hai dấu đẳng thức xảy ra đồng thời.
Đáp số: \(\min A = \frac{10}{3}\), đạt được khi \(a = 3\).
Nhận xét: Hệ số \(k = 9\) không được chọn tùy tiện mà là nghiệm của một phương trình bậc nhất, sinh ra từ yêu cầu "hai số đem vào AM-GM phải bằng nhau tại điểm rơi". Bằng cách đặt \(\frac{a}{k}; \frac{1}{a}\), mỗi cách cho một giá trị \(k\) khác nhau nhưng cùng dẫn tới một cách tách.

Kỹ thuật chọn điểm rơi là một phương pháp quan trọng giúp xử lý các bài toán bất đẳng thức AM-GM khi điều kiện điểm rơi không xảy ra tại các biến bằng nhau. Tài liệu trình bày quy trình và ví dụ minh họa chi tiết. Kỹ thuật và ví dụ minh hoạ Ví …

Chứng minh Bất đẳng thức bằng phương pháp biến đổi tương đương

Tổng hợp kiến thức và bài tập ví dụ chứng minh bất đẳng thức bằng các kỹ thuật biến đổi tương đương, biến đổi nâng vế, tách ghép bình phương và khử mẫu thức.

Ví dụ nâng vế và tách ghép bình phương

Ví dụ 1.1: Cho \(a, b, c\) là các số thực tuỳ ý. Chứng minh rằng:

a) \(a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc + ca\)

b) \(a^2 + b^2 + c^2 + 12 \ge 4(a + b + c)\)

Lời giải:

a) Ta có biến đổi tương đương:

\[2(a^2 + b^2 + c^2) - 2(ab + bc + ca) = (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 \ge 0\]

\(\Rightarrow a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc + ca\). Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c\).

b) Tách hằng số 12 để nhóm thành các bình phương hoàn chỉnh:

\[a^2 + b^2 + c^2 + 12 - 4(a + b + c) = (a-2)^2 + (b-2)^2 + (c-2)^2 \ge 0\]

\(\Rightarrow a^2 + b^2 + c^2 + 12 \ge 4(a + b + c)\). Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c = 2\).

Kỹ thuật khử mẫu và đổi biến

Ví dụ 1.2: Cho \(a, b, c\) là các số thực dương tuỳ ý. Chứng minh rằng:

\[{bc \over a} + {ca \over b} + {ab \over c} \ge a + b + c\]

Lời giải:

Vì \(a, b, c > 0\) nên nhân hai vế với \(abc\), bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

\[(bc)^2 + (ca)^2 + (ab)^2 \ge abc(a + b + c)\]

Nhận xét: Đặt \(x = ab, y = bc, z = ca\). Khi đó bất đẳng thức trở thành \(x^2 + y^2 + z^2 \ge xy + yz + zx\) (đúng theo Ví dụ 1.1).

Kỹ thuật nhân số nguyên dương và tách ghép

Ví dụ 1.3: Cho \(a, b, c, d, e\) là các số thực tuỳ ý. Chứng minh rằng:

\[a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 \ge a(b + c + d + e)\]

Lời giải:

Nhân hai vế với 4, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

\[4a^2 + 4b^2 + 4c^2 + 4d^2 + 4e^2 - 4ab - 4ac - 4ad - 4ae \ge 0\] \[\Leftrightarrow (a - 2b)^2 + (a - 2c)^2 + (a - 2d)^2 + (a - 2e)^2 \ge 0\]

Bất đẳng thức cuối luôn đúng. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a = 2b = 2c = 2d = 2e\).

Tổng hợp kiến thức và bài tập ví dụ chứng minh bất đẳng thức bằng các kỹ thuật biến đổi tương đương, biến đổi nâng vế, tách ghép bình phương và khử mẫu thức. Ví dụ nâng vế và tách ghép bình phương Ví dụ 1.1: Cho \(a, b, c\) là các số thực tuỳ ý. Ch…

Các bất bất đẳng thức nền cơ sở và chứng minh

Tài liệu hệ thống hóa các hằng bất đẳng thức cơ bản và quan trọng đối với mọi số thực \(a, b, c\), đi kèm hướng dẫn chứng minh chi tiết từ các đồng nhất thức đại số quen thuộc.

1. Bổ đề các bất bất đẳng thức nền

Với mọi số thực \(a, b, c\) ta luôn có:

\[a^2 \ge 0, \quad (a-b)^2 \ge 0, \quad a^2 + b^2 \ge 2ab, \quad (a+b)^2 \ge 4ab,\]\[a^2 + ab + b^2 \ge 0, \quad a^2 - ab + b^2 \ge \frac{(a+b)^2}{4}, \quad a^2 + ab + b^2 \ge \frac{3(a+b)^2}{4},\]\[a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc + ca, \quad 3(a^2 + b^2 + c^2) \ge (a+b+c)^2 \ge 3(ab + bc + ca).\]

Dấu đẳng thức: Bất đẳng thức \(a^2 \ge 0\) có dấu đẳng thức khi và chỉ khi \(a = 0\); các bất đẳng thức hai biến còn lại có dấu đẳng thức khi và chỉ khi \(a = b\); các bất đẳng thức ba biến có dấu đẳng thức khi và chỉ khi \(a = b = c\).

2. Phương pháp chứng minh

Chứng minh. Toàn bộ Bổ đề trên được suy ra từ hai đồng nhất thức:

\[(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\]\[2(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) = (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2\]

• Khai thác đồng nhất thức thứ nhất. Đồng nhất thức thứ nhất cho \(a^2 + b^2 \ge 2ab\), và cũng cho \((a+b)^2 - 4ab = (a-b)^2 \ge 0\).

• Khai thác đồng nhất thức thứ hai. Đồng nhất thức thứ hai cho \(a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc + ca\); hai bất đẳng thức ba biến còn lại theo sau vì:

\[3(a^2 + b^2 + c^2) - (a+b+c)^2 = 2(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca),\]\[(a+b+c)^2 - 3(ab + bc + ca) = a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca.\]

• Hạ xuống hai biến. Lấy \(c = 0\) trong đồng nhất thức thứ hai rồi thay \(b\) bởi \(-b\) thì được \(a^2 + ab + b^2 \ge 0\).

• Hai đánh giá cuối. Cuối cùng,

\[4\left(a^2 - ab + b^2 - \frac{(a+b)^2}{4}\right) = 3(a-b)^2,\]\[4\left(a^2 + ab + b^2 - \frac{3(a+b)^2}{4}\right) = (a-b)^2,\]

nên hai bất đẳng thức hai biến còn lại cũng đúng.

Tài liệu hệ thống hóa các hằng bất đẳng thức cơ bản và quan trọng đối với mọi số thực \(a, b, c\), đi kèm hướng dẫn chứng minh chi tiết từ các đồng nhất thức đại số quen thuộc. 1. Bổ đề các bất bất đẳng thức nền Với mọi số thực \(a, b, c\) ta luôn …

Giải bài tập Toán 6 Bài Trung điểm của đoạn thẳng Kết nối tri thức

Tài liệu gợi ý hoàn thành nhiệm vụ các mục: luyện tập, vận dụng ở SGK cùng hướng dẫn giải bài tập 8.15, 8.16, 8.17, 8.18 bài Trung điểm của đoạn thẳng - SGK Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống.

1. Luyện tập và Vận dụng

Luyện tập: Củng cố khái niệm trung điểm của đoạn thẳng và khoảng cách từ trung điểm đến hai đầu mút của đoạn thẳng.

Gợi ý: \(PE = \frac{PQ}{2} = 6\) (đơn vị); \(EF = \frac{PE}{2} = 3\) (đơn vị).

Vận dụng: Nâng cao kỹ năng tính độ dài đoạn thẳng trong thực tế.

Gợi ý: \(MN = MD - ND = 60 - 6 = 54\) (m); \(TN = \frac{MN}{2} = \frac{54}{2} = 27\) (m); \(TD = 27 + 6 = 33\) (m).

2. Hướng dẫn giải bài tập

Bài 8.15: Giúp học sinh nhận biết khái niệm trung điểm của đoạn thẳng.

Bài 8.16, 8.17: Giúp học sinh nhớ được tính chất về khoảng cách từ trung điểm đến đầu mút của đoạn thẳng.

Bài 8.18: Bài toán thực tế vận dụng khái niệm trung điểm của đoạn thẳng.

Bài 8.15: \(E\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AC\), đồng thời là trung điểm của đoạn thẳng \(BD\).

Bài 8.16: \(AB = 2 \cdot 4,5 = 9\text{ (cm)}\).

Bài 8.17: \(AC = 2DC = 2 \cdot 2 = 4\text{ (cm)}\); \(AB = 2AC = 2 \cdot 4 = 8\text{ (cm)}\).

Bài 8.18:

a) Dùng thước thẳng đo độ dài cây gậy; lại dùng thước thẳng đo từ một đầu mút dọc theo cây gậy tìm một điểm cách đầu mút đó bằng một nửa độ dài cây gậy; điểm đó là điểm cần tìm.

b) Đặt một đầu sợi dây (gọi là A) trùng với một đầu cây gậy, kéo thẳng sợi dây và ghi nhớ vị trí trên sợi dây (gọi là B) trùng với đầu còn lại của cây gậy. Gấp đầu A trùng với đầu B, sợi dây bị gấp ở vị trí C. Đặt điểm C trùng với một đầu cây gậy, kéo thẳng sợi dây (điểm A và B đang trùng nhau), điểm A trùng với điểm nào trên cây gậy thì đó là điểm chính giữa của cây gậy.

Tài liệu gợi ý hoàn thành nhiệm vụ các mục: luyện tập, vận dụng ở SGK cùng hướng dẫn giải bài tập 8.15, 8.16, 8.17, 8.18 bài Trung điểm của đoạn thẳng - SGK Toán 6 Kết nối tri thức với cuộc sống. 1. Luyện tập và Vận dụng Luyện tập: Củng cố khái niệ…

Giải bài tập Luyện tập chung Toán 6 Tập 2 Kết nối tri thức

TÓM TẮT NỘI DUNG VÀ YÊU CẦU BÀI HỌC

1. Về kiến thức: Củng cố và nắm vững các kiến thức nền tảng về điểm thuộc/không thuộc đường thẳng, ba điểm thẳng hàng, điểm nằm giữa hai điểm, hai điểm cùng phía hoặc khác phía. Ôn tập kiến thức về hai đường thẳng song song, cắt nhau; các khái niệm tia, đoạn thẳng, độ dài đoạn thẳng và trung điểm của đoạn thẳng.

2. Về kỹ năng: Nhận biết, diễn đạt bằng ngôn ngữ/ký hiệu toán học, đọc đúng tên các hình phẳng cơ bản và thực hiện phép đo, tính toán độ dài chính xác.

1. GỢI Ý TỔ CHỨC THỰC HIỆN

– GV tái hiện lại kiến thức các bài học khác thông qua hoạt động mở đầu bài học sau đó thực hiện các ví dụ như SGK.

– Trong quá trình thực hiện ví dụ, GV kết hợp để HS nhắc lại kiến thức của các bài học trước.

– Về kỹ năng: GV chú ý tới từng HS về kỹ năng đo độ dài đoạn thẳng, kiểm tra các điểm thẳng hàng, đọc tên đường thẳng, đoạn thẳng và xác định trung điểm của đoạn thẳng.

2. HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC BÀI TẬP

Bài 8.19: Cho các điểm như hình vẽ, hãy liệt kê các đường thẳng, tia và đoạn thẳng.

a) Có 6 đường thẳng: AB, AD, AC, BD, BC, CD.

b) Có 12 tia: AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC.

c) Có 6 đoạn thẳng: AB, AC, AD, BC, BD, CD.

Bài 8.20: Xác định các đường thẳng và tìm vị trí giao điểm G.

a) Có 8 đường thẳng: AB, AD, AE, BD, BE, CD, CE, DE.

b) HD: Vẽ đường thẳng DE. Nếu đường thẳng DE cắt d tại một điểm thì đó là điểm G cần tìm (Hình a); nếu đường thẳng DE song song với d thì không tìm được điểm G thỏa mãn yêu cầu bài toán (Hình b).

Bài 8.21: Tính độ dài đoạn thẳng MN, MK, OK và xác định vị trí điểm K.

a) \(MN = MO + ON = 5 + 7 = 12\text{ (cm)}\).

b) \(MK = MN : 2 = 12 : 2 = 6\text{ (cm)}\); \(OK = MK - MO = 6 - 5 = 1\text{ (cm)}\).

c) Điểm K thuộc tia ON.

Bài 8.22: Tính độ dài các đoạn thẳng AM và OM.

Vì \(OB = OA + AB\) nên \(AB = OB - OA = 2\text{ (cm)}\);

\(AM = AB : 2 = 1\text{ (cm)}\); \(OM = OA + AM = 4 + 1 = 5\text{ (cm)}\).

Bài 8.23: Tìm các bộ ba điểm thẳng hàng trong hình.

Các bộ ba điểm thẳng hàng là: A, B, C; A, B, N; A, C, N; B, C, N.

TÓM TẮT NỘI DUNG VÀ YÊU CẦU BÀI HỌC 1. Về kiến thức: Củng cố và nắm vững các kiến thức nền tảng về điểm thuộc/không thuộc đường thẳng, ba điểm thẳng hàng, điểm nằm giữa hai điểm, hai điểm cùng phía hoặc khác phía. Ôn tập kiến thức về hai đường thẳn…

Hướng dẫn giải bài tập Toán 6 độ dài đoạn thẳng và so sánh đoạn thẳng

Bài viết tổng hợp lời giải chi tiết và định hướng phương pháp giải các bài tập từ 8.10 đến 8.14 môn Toán lớp 6. Nội dung tập trung vào kỹ năng so sánh độ dài các đoạn thẳng, thực hành đo gián tiếp qua vật mẫu và ứng dụng phép tính độ dài vào bài toán thực tế.

1. Lựa chọn và mục tiêu bài tập

• Bài 8.10, 8.13: Yêu cầu học sinh so sánh độ dài giữa hai hoặc nhiều đoạn thẳng thông qua các số đo đã cho.
• Bài 8.11, 8.12: Hướng dẫn học sinh biết cách đo và ước lượng độ dài đoạn thẳng thông qua vật mẫu thực tế.
• Bài 8.14: Củng cố kỹ năng tính tổng độ dài các đoạn thẳng để giải bài toán thực tiễn.

2. Trả lời và Hướng dẫn giải một số bài tập

Bài 8.10: \(OM = ON = 2\text{ cm}.\)

Bài 8.11: Độ dài đoạn thẳng \(AB\) là: \(AB = 12 - 3 = 9\text{ (cm)}.\)

Bài 8.12: Chiều dài của lớp học khoảng: \(18 \cdot 0,6 = 10,8\text{ (m)}.\)

Bài 8.13: Thứ tự so sánh độ dài các đoạn thẳng: \(CD < EF < GH < AB < IK.\)

Bài 8.14: Trước khi bị gãy, chiều cao của cây là: \(3 + 1,75 = 4,75\text{ (m)}.\)

Bài viết tổng hợp lời giải chi tiết và định hướng phương pháp giải các bài tập từ 8.10 đến 8.14 môn Toán lớp 6. Nội dung tập trung vào kỹ năng so sánh độ dài các đoạn thẳng, thực hành đo gián tiếp qua vật mẫu và ứng dụng phép tính độ dài vào bài toá…

Đáp án và hướng dẫn giải bài tập Toán 6: Điểm và Tia (Bài 33 Chương 8)

Tổng hợp hướng dẫn giải và mục tiêu lựa chọn bài tập môn Toán lớp 6 về chủ đề điểm nằm giữa hai điểm và khái niệm tia, giúp học sinh củng cố vững chắc kiến thức nền tảng hình học.

Lựa chọn bài tập

• 8.6: Giúp học sinh củng cố khái niệm điểm nằm giữa hai điểm.
• 8.7: Giúp học sinh củng cố khái niệm tia.
• 8.8 và 8.9: Giúp học sinh nắm vững mối liên hệ giữa điểm và tia.

Trả lời / Hướng dẫn / Giải một số bài tập

Bài 8.6: Các câu 1, 2, 4 đúng.

Bài 8.7:

• a) Có tất cả 6 tia: \(Ax\); \(Ay\); \(Bx\); \(By\); \(Cx\); \(Cy\).
• b) Điểm B nằm trên các tia: \(Ay\); \(Bx\); \(By\); \(Cx\). Các tia đối lần lượt là \(Ax\); \(By\); \(Bx\); \(Cy\).
• c) Tia \(AC\) và tia \(CA\) không phải là hai tia đối nhau.

Bài 8.8: Các câu 1, 2, 4 đúng.

Bài 8.9:

• a) Các tia là: \(AB\); \(AC\); \(BA\); \(BC\); \(CA\); \(CB\).
• b) Hai tia khác gốc có đúng một điểm chung là \(CA\); \(BA\).

Tổng hợp hướng dẫn giải và mục tiêu lựa chọn bài tập môn Toán lớp 6 về chủ đề điểm nằm giữa hai điểm và khái niệm tia, giúp học sinh củng cố vững chắc kiến thức nền tảng hình học. Lựa chọn bài tập 8.6: Giúp học sinh củng cố khái niệm điểm nằm giữa …

Hướng dẫn giải bài tập Hình học 6: Điểm, đường thẳng và ba điểm thẳng hàng

Tóm tắt: Tài liệu tổng hợp kiến thức và lời giải chi tiết cho các bài tập Hình học 6 chủ đề Điểm và Đường thẳng. Nội dung bao gồm cách xác định điểm thuộc/không thuộc đường thẳng, nhận biết các bộ ba điểm thẳng hàng và các cặp đường thẳng song song.

1. Mục tiêu và lựa chọn bài tập

• Bài 8.1: Giúp học sinh nhận biết điểm nằm trên đường thẳng và kí hiệu thuộc/không thuộc.
• Bài 8.2: Nhận biết bộ ba điểm thẳng hàng và ba điểm không thẳng hàng.
• Bài 8.3: Kiểm tra và xác định các bộ ba điểm thẳng hàng bằng thước thẳng.
• Bài 8.4: Phát triển tư duy suy luận về vị trí tương đối giữa các điểm.
• Bài 8.5: Nhận biết các cặp đường thẳng song song trong hình vẽ.

2. Đáp án và Hướng dẫn giải

Bài 8.1:

a) Điểm \(P\) là giao điểm của hai đường thẳng \(a\) và \(b\).

b) Điểm \(A\) thuộc đường thẳng \(a\) và không thuộc đường thẳng \(b\). Kí hiệu: \(A \in a\) và \(A \notin b\).

Bài 8.2:

a) Chỉ có một bộ ba điểm thẳng hàng là \(A, B, C\).

b) Hai bộ ba điểm không thẳng hàng là \(A, B, S\) và \(A, C, S\).

c) Bốn điểm \(A, B, C, S\) không cùng thẳng hàng vì điểm \(S\) không nằm trên đường thẳng \(AC\).

Bài 8.3:

Tất cả các bộ ba điểm thẳng hàng bao gồm: \(A, B, C\); \(A, B, D\); \(A, C, D\); \(B, C, D\).

Bài 8.4: Các điểm còn lại được điền vị trí tương ứng như hình vẽ minh họa trong bài học.

Bài 8.5: Các cặp đường thẳng song song là: \(AB \parallel DE\), \(BC \parallel EF\), \(CA \parallel FD\).

Tóm tắt: Tài liệu tổng hợp kiến thức và lời giải chi tiết cho các bài tập Hình học 6 chủ đề Điểm và Đường thẳng. Nội dung bao gồm cách xác định điểm thuộc/không thuộc đường thẳng, nhận biết các bộ ba điểm thẳng hàng và các cặp đường thẳng song song.…

Đáp án và Hướng dẫn giải bài tập Toán 6 từ bài 7.26 đến 7.31

Tóm tắt hướng dẫn giảng dạy và ôn tập

Nội dung bao gồm đáp án và hướng dẫn giải chi tiết cho các bài tập tổng hợp từ 7.26 đến 7.31 thuộc chủ đề số thập phân. Giáo viên hướng dẫn học sinh kết hợp các kiến thức đã học và kĩ năng sử dụng máy tính cầm tay để giải quyết bài tập.

3. Trả lời / Hướng dẫn / Giải một số bài tập

Bài 7.26. Tính giá trị các biểu thức.

a) \(-10,7\)

b) \(15,85\)

Bài 7.27. Tìm \(x\).

a) \(x = 9,03\)

b) \(x = 13,8\)

Bài 7.28. Giải các phép tính tổng hợp.

a) \(127,5\)

b) \(150\)

c) \(15\ 026\ 000\)

Bài 7.29. Bài toán ứng dụng tính độ dài.

Đáp số: \(210\text{ cm}\)

Bài 7.30. Bài toán thực tế về chi phí, tiền tệ.

Đáp số: \(255\ 000\text{ đồng}\)

Bài 7.31. Bài toán tính toán độ dài hình học.

Đáp số: \(5,4\text{ cm}\)

Tóm tắt hướng dẫn giảng dạy và ôn tập Nội dung bao gồm đáp án và hướng dẫn giải chi tiết cho các bài tập tổng hợp từ 7.26 đến 7.31 thuộc chủ đề số thập phân. Giáo viên hướng dẫn học sinh kết hợp các kiến thức đã học và kĩ năng sử dụng máy tính cầm t…

Tổng hợp kiến thức trọng tâm Chương VII: Số thập phân - Toán 6

Nội dung bài viết tổng hợp toàn bộ sơ đồ hệ thống kiến thức Chương VII: Số thập phân, các phép tính với số thập phân, tỉ số và tỉ số phần trăm thuộc chương trình Toán lớp 6.

1. Mục tiêu và yêu cầu ôn tập

Hệ thống hóa toàn bộ lý thuyết đã học trong chương, hỗ trợ học sinh liên kết kiến thức giữa các bài học và rèn luyện kỹ năng giải các dạng bài tập tổng hợp.

2. Tổng kết kiến thức Chương VII

A. Số thập phân và quy tắc so sánh

• Số thập phân âm và số đối: Các phân số thập phân như \(\frac{17}{10}, \frac{-34}{100}\) được viết dưới dạng số thập phân là \(1{,}7; -0{,}34\). Hai số \(1{,}7\) và \(-1{,}7\) gọi là hai số đối nhau.
• So sánh hai số thập phân:
  - Số thập phân âm luôn nhỏ hơn \(0\) và nhỏ hơn số thập phân dương.
  - Nếu \(a, b\) là hai số thập phân dương và \(a > b\) thì \(-a < -b\).

B. Các phép tính với số thập phân

• Cộng, trừ số thập phân (với \(a, b > 0\)):
  - \((-a) + (-b) = -(a + b)\)
  - \((-a) + b = b - a\) (với \(0 < a \le b\))
  - \((-a) + b = -(a - b)\) (với \(a > b\))
  - \(a - b = a + (-b)\)
• Nhân hai số thập phân (với \(a, b > 0\)):
  - \((-a) \cdot (-b) = a \cdot b\)
  - \((-a) \cdot b = a \cdot (-b) = -(a \cdot b)\)
• Chia hai số thập phân (với \(a, b > 0\)):
  - \((-a) : (-b) = a : b\)
  - \((-a) : b = a : (-b) = -(a : b)\)

C. Tỉ số và tỉ số phần trăm

• Tỉ số: Tỉ số của hai số \(a\) và \(b\) tùy ý (với \(b \ne 0\)) được ký hiệu là \(a : b\) hoặc \(\frac{a}{b}\).
• Tỉ số phần trăm: Tỉ số phần trăm của hai số \(a\) và \(b\) là \(\frac{a}{b} \cdot 100\%\).
• Hai bài toán cơ bản về tỉ số phần trăm:
  - Bài toán 1: Muốn tìm \(m\%\) của số \(a\), ta tính \(a \cdot \frac{m}{100}\).
  - Bài toán 2: Muốn tìm một số khi biết \(m\%\) của số đó bằng \(b\), ta tính \(b : \frac{m}{100}\).

Xem và tải file PDF đầy đủ

[Tải file PDF]

Nội dung bài viết tổng hợp toàn bộ sơ đồ hệ thống kiến thức Chương VII: Số thập phân, các phép tính với số thập phân, tỉ số và tỉ số phần trăm thuộc chương trình Toán lớp 6. 1. Mục tiêu và yêu cầu ôn tập Hệ thống hóa toàn bộ lý thuyết đã học trong c…

Hướng dẫn giải bài tập Luyện tập chung môn Toán lớp 6 tập 2 Kết nối tri thức

Tóm tắt định hướng giảng dạy & mục tiêu: Tiết Luyện tập chung nhằm tổng hợp, củng cố toàn bộ kĩ năng và kiến thức toán học từ Bài 28 đến Bài 31. Giáo viên hướng dẫn học sinh giải các bài tập rèn luyện từ 7.21 đến 7.25, đồng thời tổ chức mở rộng thêm các dạng toán thực tế như tính tỉ lệ phần trăm, giá trị hàng hóa sau khuyến mãi, nồng độ dung dịch hoặc bài toán tỉ lệ bản đồ.

I. Gợi ý tổ chức thực hiện

Giáo viên giao nhiệm vụ cho học sinh chuẩn bị và làm trước các bài tập từ 7.21 đến 7.25 ở nhà. Trên lớp, giáo viên gọi học sinh lên bảng trình bày, tiến hành góp ý, nhận xét và chốt lời giải chuẩn xác để học sinh ghi chép.

II. Hướng dẫn giải và Đáp án chi tiết

Bài 7.21: Thực hiện tính giá trị các biểu thức đã cho.

a) \(10\)

b) \(-90\)

c) \(25\)

Bài 7.22: Tính giá trị của biểu thức số thập phân.

Đáp số: \(9,9\)

Bài 7.23: Giải bài toán về tỉ số phần trăm và khối lượng dung dịch.

a) \(1,3\%\)

b) \(19,5\text{ gam}\)

Bài 7.24: Bài toán thực tế tính số tiền mua hàng sau giảm giá.

a) \(125\text{ }400\text{ đồng}\)

b) \(137\text{ }940\text{ đồng}\)

Bài 7.25: Bài toán ước tính sản lượng thực tế.

Kết quả: Khoảng \(670\text{ nghìn tấn}\)

Tóm tắt định hướng giảng dạy & mục tiêu: Tiết Luyện tập chung nhằm tổng hợp, củng cố toàn bộ kĩ năng và kiến thức toán học từ Bài 28 đến Bài 31. Giáo viên hướng dẫn học sinh giải các bài tập rèn luyện từ 7.21 đến 7.25, đồng thời tổ chức mở rộng…

Hướng dẫn giải bài tập Làm tròn và Ước lượng số Toán lớp 6

Tóm tắt: Tài liệu bao gồm gợi ý phương pháp giảng dạy và lời giải chi tiết cho các bài tập từ 7.12 đến 7.16 môn Toán 6. Nội dung tập trung vào kỹ năng ước lượng, làm tròn số trong các phép tính và ứng dụng vào bài toán thực tế mua sắm, đo lường.

1. Định hướng lựa chọn bài tập

Gợi ý dành cho giáo viên:

• Bài tập 7.12, 7.13, 7.14: Là các bài tập cơ bản rèn luyện kỹ năng trực tiếp, phù hợp cho học sinh thực hành và sửa bài tại lớp.
• Bài tập 7.15, 7.16: Các dạng bài toán thực tế mức độ cơ bản. Một số học sinh có thể lúng túng trong việc đọc hiểu đề. Giáo viên có thể gợi ý phân tích giả thiết, câu hỏi và giao bài về nhà.

2. Đáp án và Hướng dẫn giải bài tập

Bài 7.12:

a) Kết quả: \(387,0\)

b) Kết quả: \(400\)

Bài 7.13:

Ước lượng tổng bằng cách làm tròn các số hạng đến hàng đơn vị:

\[(255 + 1) + 892 + 45 = (255 + 45) + (1 + 892) = 300 + 893 = 1\,193\]

So sánh với các phương án lựa chọn: Hai đáp án (B) và (D) quá xa kết quả \(1\,193\) nên bị loại. Đáp án (C) gần \(1\,193\) nhất nên có khả năng đúng cao nhất. Mặt khác, tổng các chữ số ở hàng phần trăm bằng 7 nên phương án (A) là không chính xác.

Bài 7.14:

Thực hiện phép tính chia: \(6,32 : 4 = 1,58\).

Làm tròn kết quả thu được đến hàng phần mười, ta có đáp số là \(1,6\text{ m}\).

Bài 7.15:

Trong câu "1 AU bằng khoảng 150 triệu kilômét", toàn bộ các chữ số từ hàng trăm nghìn trở xuống đều được thay bằng các chữ số 0. Do đó, số liệu đã được làm tròn đến hàng triệu.

Bài 7.16:

Theo đề bài, giá tiền của 1 quyển vở không quá \(6\,000\) đồng, giá 1 chiếc bút chì hoặc bút bi không quá \(3\,000\) đồng. Tổng số tiền lớn nhất An phải trả là:

\[6\,000 \cdot 15 + 3\,000 \cdot 5 + 3\,000 \cdot 10 = (6\,000 + 3\,000) \cdot 15 = 135\,000\text{ (đồng)}\]

Vì \(135\,000 < 150\,000\) nên An hoàn toàn có đủ tiền để mua số đồ dùng học tập nêu trên.

Tóm tắt: Tài liệu bao gồm gợi ý phương pháp giảng dạy và lời giải chi tiết cho các bài tập từ 7.12 đến 7.16 môn Toán 6. Nội dung tập trung vào kỹ năng ước lượng, làm tròn số trong các phép tính và ứng dụng vào bài toán thực tế mua sắm, đo lường. 1. …

Đáp án và Hướng dẫn giải Bài tập 7.1, 7.2, 7.4 Toán lớp 6

LƯU Ý DẠY HỌC VÀ PHÂN CÔNG BÀI TẬP

• Giáo viên linh hoạt hướng dẫn học sinh thực hành và chữa bài tập 7.1, 7.2, 7.3 trực tiếp tại lớp nếu thời gian học tập cho phép.
• Giao bài tập 7.4 cho học sinh tự hoàn thành tại nhà và tiến hành sửa nhanh trong tiết học kế tiếp.

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP

Bài 7.1.

a) \(2,1;\ -3,5;\ -1,25;\ -0,089;\)

b) \(-3,5;\ -1,25;\ -0,089.\)

Bài 7.2.

\(1,2;\ -4,15;\ -19,2.\)

Bài 7.4.

Rượu; thuỷ ngân; nước.

LƯU Ý DẠY HỌC VÀ PHÂN CÔNG BÀI TẬP Giáo viên linh hoạt hướng dẫn học sinh thực hành và chữa bài tập 7.1, 7.2, 7.3 trực tiếp tại lớp nếu thời gian học tập cho phép. Giao bài tập 7.4 cho học sinh tự hoàn thành tại nhà và tiến hành sửa nhanh trong tiết…

Đáp án và Hướng dẫn giải bài tập Toán 6 tập 2 bài 7.5 đến 7.11

Tài liệu cung cấp hướng dẫn phân bố bài tập trên lớp và lời giải chi tiết các bài tập Toán 6 từ 7.5 đến 7.11, bao gồm các phép tính số thập phân và ứng dụng thực tế.

3.2. Lưu ý về phân bố bài tập

• Bài tập làm tại lớp: Bài 7.5, 7.6, 7.9 và 7.10.
• Bài tập về nhà: Bài 7.7, 7.8, 7.11 (có thể chữa trong tiết học tiếp theo).

4. Trả lời và Hướng dẫn giải bài tập

Bài 7.5:

a) \(-20,48\)

b) \(1,339\)

c) \(-3,904\)

Bài 7.6:

a) \(-77,625\)

b) \(0,76375\)

c) \(-3,25\)

Bài 7.8:

a) \(34,6\)

b) \(2,95\)

Bài 7.9:

a) Do \(-51,2 < -38,83\) nên thuỷ ngân đang ở thể rắn.

b) Để thuỷ ngân bắt đầu bay hơi thì cần tăng nhiệt độ tủ bảo quản thêm: \[356,73 - (-51,2) = 407,93^{\circ}\text{C}\]

Bài 7.10:

Nhiệt độ cần tăng thêm là: \[0 - (-4,5) = 4,5^{\circ}\text{C}\]

Bài 7.11:

Lượng gỗ cần dùng là: \[3,674 \cdot 4,4 = 16,1656 \text{ (triệu tấn gỗ)}\]

Tài liệu cung cấp hướng dẫn phân bố bài tập trên lớp và lời giải chi tiết các bài tập Toán 6 từ 7.5 đến 7.11, bao gồm các phép tính số thập phân và ứng dụng thực tế. 3.2. Lưu ý về phân bố bài tập Bài tập làm tại lớp: Bài 7.5, 7.6, 7.9 và 7.10. Bài …

Hướng dẫn giải chi tiết bài tập ôn tập chương Phân số môn Toán 6

Tài liệu tổng hợp lời giải chi tiết các bài tập ôn tập chương Phân số dành cho học sinh lớp 6. Các dạng bài bao gồm chứng minh phân số bằng nhau, thực hiện phép tính với biểu thức phân số và giải bài toán thực tế liên quan đến phân số.

Bài tập 6.44: Phân số bằng nhau

Sử dụng tính chất cơ bản của phân số hoặc đưa phân số \(\frac{-10}{16}\) về dạng tối giản \(\frac{-5}{8}\) để kiểm tra tính bằng nhau của các phân số: \[ \frac{-10}{16}, \frac{-35}{56}, \frac{-20}{32}, \frac{50}{-80} \]

Rút gọn phân số: \(\frac{-10}{16} = \frac{-5}{8}\) (phân số tối giản).

Sử dụng tính chất cơ bản của phân số, ta có:

\[ \frac{-10}{16} = \frac{-35}{56} = \frac{-20}{32} = \frac{50}{-80} = \frac{-5}{8} \]

Bài tập 6.45: Tính giá trị biểu thức phân số

Tính giá trị các biểu thức sau bằng cách hợp lý:

a) \(A = \left(\frac{-3}{14} + \frac{-25}{14}\right) + \left(\frac{2}{13} + \frac{-15}{13}\right)\)

b) \(B = \frac{5}{3} \cdot \left(\frac{7}{25} + \frac{21}{25} - \frac{7}{25}\right)\)

a) Thực hiện tính biểu thức \(A\):

\[ A = \frac{-28}{14} + \frac{-13}{13} = -2 + (-1) = -3 \]

b) Thực hiện tính biểu thức \(B\):

\[ B = \frac{5}{3} \cdot \left(\frac{7}{25} - \frac{7}{25} + \frac{21}{25}\right) = \frac{5}{3} \cdot \left(0 + \frac{21}{25}\right) = \frac{5}{3} \cdot \frac{21}{25} = \frac{7}{5} \]

Bài tập 6.46: Bài toán thực tế về dung tích

Một hộp sữa tươi có dung tích 1000 ml. Ngày đầu tiên uống \(\frac{1}{5}\) hộp sữa, ngày thứ hai uống \(\frac{1}{4}\) hộp sữa.

a) Sau 2 ngày, hộp sữa còn lại bao nhiêu phần?

b) Lượng sữa tươi còn lại trong hộp là bao nhiêu mililít?

a) Số phần sữa tươi còn lại sau 2 ngày là:

\[ 1 - \frac{1}{5} - \frac{1}{4} = \frac{11}{20} \text{ (phần)} \]

b) Lượng sữa tươi còn lại là:

\[ 1000 \cdot \frac{11}{20} = 550 \text{ (ml)} \]

Bài tập 6.48: Thời gian ngủ trung bình

Cho biết một năm có \(365\frac{1}{4}\) ngày. Mỗi ngày trung bình con người ngủ 8 giờ. Hỏi trung bình trong một năm con người ngủ bao nhiêu ngày?

Đổi: \(365\frac{1}{4} = \frac{1461}{4}\) (ngày).

Tổng số giờ ngủ trung bình trong một năm là:

\[ \frac{1461}{4} \cdot 8 = 2922 \text{ (giờ)} \]

Vì một ngày có 24 giờ nên số ngày ngủ trung bình trong năm là:

\[ 2922 : 24 = \frac{2922}{24} = 121\frac{3}{4} \text{ (ngày)} \]

Bài tập 6.50: Bài toán tìm khối lượng

Biết rằng \(\frac{2}{5}\) viên gạch nặng 1 kg. Hỏi cả viên gạch đó nặng bao nhiêu ki-lô-gam?

Khối lượng của viên gạch là:

\[ 1 : \frac{2}{5} = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} \text{ (kg)} \]

Tài liệu tổng hợp lời giải chi tiết các bài tập ôn tập chương Phân số dành cho học sinh lớp 6. Các dạng bài bao gồm chứng minh phân số bằng nhau, thực hiện phép tính với biểu thức phân số và giải bài toán thực tế liên quan đến phân số. Bài tập 6.44:…

Tổng hợp lý thuyết và sơ đồ tư duy Ôn tập Chương 6 Phân số - Toán 6

Tóm tắt hệ thống kiến thức trọng tâm Chương VI môn Toán lớp 6 về Phân số và các phép tính. Nội dung bao gồm khái niệm phân số, tính chất cơ bản, quy tắc bằng nhau, so sánh, quy đồng mẫu số, các phép tính cơ bản (cộng, trừ, nhân, chia), khái niệm số đối, số nghịch đảo, hỗn số cùng hai bài toán ứng dụng thực tế về phân số.

1. Mục tiêu ôn tập

• Hệ thống hóa toàn bộ kiến thức lý thuyết đã học trong Chương VI.
• Rèn luyện kỹ năng giải bài tập thông qua các bài toán tổng hợp cuối chương.

2. Kiến thức cơ bản về Phân số

a) Khái niệm và Quy tắc bằng nhau:

• Phân số có dạng \(\frac{a}{b}\) (hoặc \(a : b\)) với \(a, b \in \mathbb{Z}, b \neq 0\), trong đó \(a\) là tử số và \(b\) là mẫu số.
• Hai phân số bằng nhau: \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) nếu \(a \cdot d = b \cdot c\) (với \(a, b, c, d \in \mathbb{Z}; b, d \neq 0\)).

b) Tính chất cơ bản của phân số:

• Nhân cả tử và mẫu với cùng một số nguyên khác 0: \(\frac{a}{b} = \frac{a \cdot m}{b \cdot m}\) (với \(m \in \mathbb{Z}, m \neq 0\)).
• Chia cả tử và mẫu cho một ước chung: \(\frac{a}{b} = \frac{a : n}{b : n}\) (với \(n \in \text{ƯC}(a, b)\)).

c) Rút gọn và So sánh phân số:

• Rút gọn: Chia cả tử và mẫu cho ước chung \(n\) khác \(1\) và \(-1\). Phân số tối giản là phân số mà tử và mẫu chỉ có ước chung là \(1\) và \(-1\).
• So sánh: Khi hai phân số có cùng một mẫu dương, phân số nào có tử số lớn hơn thì lớn hơn.
• Quy đồng mẫu nhiều phân số:
  1. Tìm mẫu số chung (thường chọn BCNN của các mẫu).
  2. Tìm thừa số phụ của từng mẫu.
  3. Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng.

d) Hỗn số dương:

Một phân số lớn hơn \(1\) có thể viết dưới dạng hỗn số gồm phần nguyên và phần phân số. Ví dụ: \(\frac{23}{5} = 4 + \frac{3}{5} = 4\frac{3}{5}\).

3. Các phép tính và bài toán về Phân số

a) Số đối và Phân số nghịch đảo:

• Số đối của phân số \(\frac{a}{b}\) là \(-\frac{a}{b}\).
• Phân số nghịch đảo của phân số \(\frac{c}{d}\) (với \(c, d \neq 0\)) là \(\frac{d}{c}\).

b) Phép cộng và phép trừ phân số:

• Cùng mẫu: Cộng/trừ tử số với nhau và giữ nguyên mẫu số.
• Khác mẫu: Quy đồng về cùng mẫu số dương rồi thực hiện cộng/trừ tử số.

c) Phép nhân và phép chia phân số:

• Phép nhân: Nhân tử với tử, nhân mẫu với mẫu: \[\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}\]
• Phép chia: Nhân phân số bị chia với phân số nghịch đảo của số chia: \[\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} \quad (c, d \neq 0)\]

d) Hai bài toán cơ bản về phân số:

• Bài toán 1: Tìm \(\frac{m}{n}\) của một số \(a\) cho trước:
  Ta tính: \(a \cdot \frac{m}{n}\) (với \(m \in \mathbb{N}, n \in \mathbb{N}^*\)).
• Bài toán 2: Tìm một số biết \(\frac{m}{n}\) của số đó bằng \(b\):
  Ta tính: \(b : \frac{m}{n}\) (với \(m, n \in \mathbb{N}^*\)).

Xem và tải file PDF

[Tải file PDF]

Tóm tắt hệ thống kiến thức trọng tâm Chương VI môn Toán lớp 6 về Phân số và các phép tính. Nội dung bao gồm khái niệm phân số, tính chất cơ bản, quy tắc bằng nhau, so sánh, quy đồng mẫu số, các phép tính cơ bản (cộng, trừ, nhân, chia), khái niệm số …