CÂU HỎI ĐỀ THI
Câu 1 (5,0 điểm)
Cho dãy số thực dương \((a_n)\) thỏa mãn điều kiện \(a_n(a_{n+1}^2 - 1) = a_{n+1}(a_n^2 + 1), \forall n \in \mathbb{N}^*\).
a) Chứng minh \(\lim a_n = +\infty\).
b) Tính \(\lim \frac{1}{\sqrt{n}} \left( \sum_{i=1}^n \frac{1}{a_i} \right)\).
Câu 2 (5,0 điểm)
Xét hàm số \(f: \mathbb{N}^* \to \mathbb{N}^*\) thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau với mọi số nguyên dương \(m, n, a\):
(i) \(f(f(m)f(n)) = mn\);
(ii) \(f(2027a+1) = 2027a+1\).
a) Tính \(f(1)\).
b) Tìm tất cả các hàm số \(f\) thỏa mãn điều kiện bài toán.
(Cho biết 2027 là một số nguyên tố)
Câu 3 (5,0 điểm)
Xét phương trình
View \[\varphi(\varphi(n)+k) = n - k \text{ với } n, k \text{ nguyên dương.}\]a) Chứng minh với mỗi số nguyên dương \(k\) cố định, chỉ có hữu hạn số \(n\) là hợp số thỏa mãn phương trình.
b) Tìm tất cả các số nguyên dương \(k\) sao cho phương trình có vô số nghiệm nguyên dương \(n\).
(Với \(m\) nguyên dương, ký hiệu \(\varphi(m)\) là số các số nguyên dương không vượt quá \(m\) và nguyên tố cùng nhau với \(m\))
Câu 4 (5,0 điểm)
Cho tam giác \(ABC\) nhọn, không cân (\(AB < AC\)) nội tiếp đường tròn \((O)\). Dựng hai đường kính \(AA', BB'\) của đường tròn \((O)\) và điểm \(D\) sao cho \(A'CB'D\) là hình bình hành. Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(BC\), \(E\) là giao điểm của \(BD\) và \(AC\), \(F\) là giao điểm của \(CD\) và \(AB\). Gọi \(H_1, H_2\) lần lượt là trực tâm của hai tam giác \(BEC\) và \(BFC\).
a) Chứng minh hai tam giác \(ABC\) và \(MH_1H_2\) có cùng trực tâm.
b) Đường thẳng \(BC\) cắt hai đường thẳng \(A'D, H_1H_2\) lần lượt tại \(K, T\). Gọi \(S, G, I\) lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng \((MH_2, KH_1)\), \((KH_2, MH_1)\) và \((SG, H_1H_2)\). Gọi \(X\) là hình chiếu vuông góc của \(G\) lên \(ST\). Chứng minh bốn điểm \(S, X, I\) và trung điểm của đoạn thẳng \(H_1H_2\) cùng nằm trên một đường tròn.