Tóm tắt nội dung bài toán: Bài toán yêu cầu chứng minh bất đẳng thức liên quan đến hàm tổng số dư \(f(n)\) và vận dụng sai phân \(f(n) - f(n-1)\) kết hợp với hàm tổng các ước số \(\sigma(n)\) để chứng minh \(n\) là số nguyên tố.
Bài toán (5,0 điểm)
Với mỗi số nguyên dương \(n > 1\), ký hiệu \(f(n)\) là tổng tất cả các số dư khi chia \(n\) cho các số nguyên dương từ \(1\) đến \(n - 1\). Ví dụ \(f(6) = 0 + 0 + 0 + 2 + 1 = 3\).
a. Chứng minh với mọi số nguyên dương \(n > 1\) thì \[f(n) \ge \frac{n^2 - 2n}{8}.\]
b. Biết rằng số nguyên dương \(n > 2\) thỏa mãn \(f(n) - f(n-1) > n - \sqrt{n} - 1\). Chứng minh \(n\) là số nguyên tố.
Lời giải chi tiết
a. Ta có \(f(2) = 0\); \(f(3) = 0 + 1 = 1\); \(f(4) = 0 + 0 + 1 = 1\); \(f(5) = 0 + 1 + 2 + 1 = 4\) đều thỏa mãn.
Ta chỉ cần tính tới các số dư khi chia \(n\) cho các số ở nửa sau của dãy \(1; 2; \dots; n-1\), ta có ngay:
Nếu \(n\) là số chẵn \(\ge 6\) thì \[f(n) \ge 1 + 2 + \dots + \left(\frac{n}{2} - 1\right) = \frac{n^2 - 2n}{8}.\]
Nếu \(n\) là số lẻ \(\ge 5\) thì \[f(n) \ge 1 + 2 + \dots + \frac{n - 1}{2} = \frac{n^2 - 1}{8} > \frac{n^2 - 2n}{8}.\]
b. Ký hiệu: \(n \bmod k\) là số dư khi chia \(n\) cho \(k\) với \(1 \le k \le n - 1\). Ta có nhận xét sau đây:
- Nếu \(n \nmid k\) thì \(n \bmod k - (n - 1) \bmod k = 1\).
- Nếu \(n \vdots k\) thì \(n \bmod k - (n - 1) \bmod k = 0 - (k - 1) = -(k - 1)\).
Do đó:
\[\begin{aligned} f(n) - f(n - 1) &= \left( \sum_{k \nmid n} n \bmod k - \sum_{k \nmid n} (n - 1) \bmod k \right) + \left( \sum_{k \mid n} n \bmod k - \sum_{k \mid n} (n - 1) \bmod k \right) \\ &= \sum_{k \nmid n} 1 - \sum_{k \mid n} (k - 1) \\ &= \left( \sum_{k \nmid n} 1 + \sum_{k \mid n} 1 \right) - \sum_{k \mid n} k \\ &= n - 1 - (\sigma(n) - n) \\ &= 2n - 1 - \sigma(n) \end{aligned}\]và từ giả thiết \(f(n) - f(n-1) > n - \sqrt{n} - 1\) suy ra \[2n - 1 - \sigma(n) > n - \sqrt{n} - 1 \Leftrightarrow \sigma(n) < n + \sqrt{n};\] với \(\sigma(n)\) là tổng các ước dương của số nguyên dương \(n\).
Giả sử \(n\) là hợp số, thì \(n\) có một ước là \(d\) với \(1 < d < n\) thì \(\frac{n}{d}\) cũng là một ước của \(n\), với \(1 < \frac{n}{d} < n\).
+ Nếu \(d = \frac{n}{d}\) thì \(\sigma(n) \ge n + d + 1 = n + \sqrt{n} + 1\),
+ Nếu \(d \neq \frac{n}{d}\) thì \(\sigma(n) \ge n + d + \frac{n}{d} + 1 \ge n + 2\sqrt{n} + 1\)
cả hai đều mâu thuẫn với \(\sigma(n) < n + \sqrt{n}\). Vậy giả sử là sai, \(n\) là số nguyên tố, đpcm.