Trường THCS Nam Từ Liêm - Đề kiểm tra chọn đội tuyển học sinh giỏi lần I môn Toán 9 năm học 2026 - 2027. Thời gian làm bài 150 phút, đề thi cấu trúc gồm 5 bài toán tự luận phân loại cao thuộc các lĩnh vực Đại số, Số học, Hình học và Tổ hợp.
ĐỀ KIỂM TRA CHỌN ĐỘI TUYỂN LẦN I - TOÁN 9
Bài I (5,0 điểm).
1) Trong một hộp có 32 thẻ màu xanh, 28 thẻ màu đỏ và 12 thẻ màu vàng. Người ta chia toàn bộ số thẻ thành từng cặp gồm hai thẻ khác màu, sau đó chọn ngẫu nhiên một cặp thẻ. Tính xác suất để thu được cặp thẻ gồm một thẻ màu xanh và một thẻ màu đỏ.
2) Giải hệ phương trình:
\[\begin{cases} x^2 + xy + y^2 = 7, \\ y^3 + 7(x - y) = 8. \end{cases}\]Bài II (5,0 điểm).
1) Cho \(a, b\) là hai số nguyên có tổng là bội của 2 và thỏa mãn \(2(a+b)^2 - ab\) chia hết cho 36. Chứng minh \(ab\) chia hết cho 36.
2) Xét các số nguyên tố \(p, q\) sao cho \(p^3 + q^2\) là số chính phương. Chứng minh \(p^2 + q^{2027}\) không thể là số chính phương.
Bài III (2,0 điểm).
1) Xét đa thức \(P(x)\) có các hệ số nguyên. Biết rằng đa thức \(P(x) + 27\) có ba nghiệm là ba số nguyên liên tiếp, chứng minh đa thức \(P(x)\) không có nghiệm nguyên.
2) Với \(a, b, c\) là các số thực không âm có tổng bằng 3, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\[P = \frac{1}{a+1} + \frac{1}{ab+1} + \frac{1}{2abc+1}.\]Bài IV (6,0 điểm).
Cho tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn và \(AB < AC\). Gọi \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AC\). Kẻ \(MH\) vuông góc với \(BC\) tại điểm \(H\). Đường trung trực của đoạn thẳng \(AC\) cắt \(BC\) tại điểm \(P\). Gọi \(K\) là điểm sao cho \(P\) là trung điểm của \(MK\).
1) Chứng minh \(PM^2 = PH \cdot PC\) và \(\widehat{PKH} = \widehat{PCK}\).
2) Chứng minh đường thẳng \(AH\) vuông góc với đường thẳng \(HK\).
3) Gọi \(I\) là giao điểm của \(AK\) với \(BC\); \(S\) là điểm sao cho \(I\) là trung điểm của \(SK\). Chứng minh \(S\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AI\).
Bài V (2,0 điểm).
Cho \(n\) là một số nguyên dương. Xét bảng ô vuông \(n \times n\), trong đó mỗi ô vuông được tô một trong hai màu: xanh hoặc đỏ. Một hình chữ nhật gồm các ô của bảng là hình chữ nhật tốt nếu hình chữ nhật đó có kích thước \(m \times k\) với \(m \ge 2, k \ge 2, m \le n\) và bốn ô vuông ở bốn đỉnh của hình chữ nhật cùng màu.
1) Chỉ ra một cách tô màu bảng \(4 \times 4\) sao cho không tồn tại hình chữ nhật tốt.
2) Tìm giá trị nhỏ nhất của \(n\) sao cho với mỗi cách tô hai màu bảng \(n \times n\), luôn tồn tại ít nhất một hình chữ nhật tốt.