Đề bài
Bài toán: Tìm tất cả các hàm liên tục \(f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), thỏa mãn:
\[\begin{cases} 3f(x) - 2g(x) = -5x, \forall x \in \mathbb{R} \\ 2f(x) - 3g(x) = -5f(5x - 2), \forall x \in \mathbb{R} \end{cases}\]Lời giải
Rút \(g(x)\) từ đẳng thức thứ nhất, thay vào đẳng thức thứ hai, ta được:
\[2f(x) - 3 \cdot \frac{3f(x) + 5x}{2} = -5f(5x - 2), \forall x \in \mathbb{R}\]\[\Leftrightarrow f(x) + 3x = 2f(5x - 2), \forall x \in \mathbb{R}\]Đặt \(f(x) = h(x) + \frac{1}{3}x + \frac{4}{3}, \forall x \in \mathbb{R}\), ta được:
\[h(x) + \frac{1}{3}x + \frac{4}{3} + 3x = 2h(5x - 2) + \frac{2}{3}(5x - 2) + \frac{8}{3}, \forall x \in \mathbb{R}\]\[\Leftrightarrow h(x) = 2h(5x - 2), \forall x \in \mathbb{R}\]\[\Leftrightarrow h(x) = \frac{1}{2}h\left(\frac{x+2}{5}\right), \forall x \in \mathbb{R}\]Xét dãy \((u_n)\): \(u_0 \in \mathbb{R}\), \(u_{n+1} = \frac{u_n + 2}{5}, \forall n\), với \(u_0\) bất kỳ; chứng minh được \(\lim u_n = \frac{1}{2}, \forall u_0 \in \mathbb{R}\).
Ta có: \(h(u_0) = \frac{1}{2}h(u_1) = \frac{1}{2^2}h(u_2) = \dots = \frac{1}{2^n}h(u_n), \forall n\). Do \(f, g\) liên tục nên \(h\) liên tục, cho \(n \to +\infty\), cùng với \(u_n \to \frac{1}{2}\) suy ra \(h(u_0) = \frac{1}{2^n}h(u_n) \to 0, \forall u_0 \in \mathbb{R}\), từ đó ta có \(h(x) = 0, \forall x \in \mathbb{R}\).
Kết luận: \(f(x) = \frac{1}{3}x + \frac{4}{3}, \forall x \in \mathbb{R}\); \(g(x) = 3x + 2, \forall x \in \mathbb{R}\).