Tài liệu tổng hợp gồm 7 bài tập mức độ cơ bản được chia làm 2 dạng: khai thác, phân tích số liệu từ biểu đồ cột kép (từ Bài 9.18 đến 9.22) cùng bài tập rèn kỹ năng hoàn thiện và vẽ biểu đồ (Bài 9.23 và 9.24). Hướng dẫn giải một số bài tập Bài 9.18.…
Chuyên đề Cấp số nhân nâng cao Toán 11 có lời giải chi tiết (phần 4)
Tóm tắt kiến thức & Phương pháp:
Hệ thống bài tập nâng cao và ứng dụng thực tế của Cấp số nhân - Cấp số cộng trong chương trình Toán 11. Bao gồm các dạng toán tìm số hạng dựa vào mối liên hệ giữa CSC và CSN, bài toán chuyển động nảy của quả bóng (cấp số nhân lùi vô hạn) và dãy số quy nạp kết hợp tính tổng.
Hệ thống bài tập nâng cao và ứng dụng thực tế của Cấp số nhân - Cấp số cộng trong chương trình Toán 11. Bao gồm các dạng toán tìm số hạng dựa vào mối liên hệ giữa CSC và CSN, bài toán chuyển động nảy của quả bóng (cấp số nhân lùi vô hạn) và dãy số quy nạp kết hợp tính tổng.
Bài tập rèn luyện Cấp số nhân & Cấp số cộng
Câu 95. Cho 3 số tạo thành một cấp số cộng có tổng bằng \(21\). Nếu thêm \(2, 3, 9\) lần lượt vào số thứ nhất, số thứ hai, số thứ ba thì tạo thành một cấp số nhân. Có bao nhiêu bộ 3 số thỏa các điều kiện trên?
Trả lời: 2
Gọi \(u_1; u_2; u_3\) theo thứ tự là ba số cần tìm tạo thành cấp số cộng.
Vì ba số \(u_1; u_2; u_3\) có tổng là \(21\) nên:
\[u_1 + u_2 + u_3 = 21 \quad (1)\]Vì ba số \(u_1; u_2; u_3\) lập thành cấp số cộng nên:
\[u_1 + u_3 = 2u_2 \quad (2)\]Nếu thêm \(2, 3, 9\) lần lượt vào số thứ nhất, số thứ hai, số thứ ba tạo thành một cấp số nhân, ta có:
\[(u_1 + 2)(u_3 + 9) = (u_2 + 3)^2 \quad (3)\]Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình:
\[\begin{cases} u_1 + u_2 + u_3 = 21 \\ u_1 + u_3 = 2u_2 \\ (u_1 + 2)(u_3 + 9) = (u_2 + 3)^2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 3u_2 = 21 \\ u_1 + u_3 = 2u_2 \\ (u_1 + 2)(u_3 + 9) = (u_2 + 3)^2 \end{cases}\] \[\Leftrightarrow \begin{cases} u_2 = 7 \\ u_1 + u_3 = 14 \\ (u_1 + 2)(u_3 + 9) = (7 + 3)^2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u_2 = 7 \\ u_1 = 14 - u_3 \\ (14 - u_3 + 2)(u_3 + 9) = 100 \quad (*) \end{cases}\]Giải phương trình \((*)\):
\[(16 - u_3)(u_3 + 9) = 100 \Leftrightarrow -u_3^2 + 7u_3 + 44 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} u_3 = 11 \\ u_3 = -4 \end{array}\right.\]- Với \(u_3 = 11\) thì \(u_1 = 14 - 11 = 3\).
- Với \(u_3 = -4\) thì \(u_1 = 14 - (-4) = 18\).
Vậy ba số cần tìm là \((3; 7; 11)\) hoặc \((18; 7; -4)\).
Câu 96. Bạn Lan thả quả bóng cao su từ độ cao \(12\text{ m}\) theo phương thẳng đứng. Mỗi khi chạm đất nó lại nảy lên theo phương thẳng đứng với độ cao bằng \(\frac{2}{3}\) độ cao trước đó. Tổng quãng đường bóng đi được đến khi bóng dừng hẳn là bao nhiêu mét?
Trả lời: 60
Các quãng đường khi bóng đi xuống tạo thành một cấp số nhân có \(u_1 = 12\) và \(q = \frac{2}{3}\).
Tổng các quãng đường khi bóng đi xuống là:
\[S = \frac{u_1}{1 - q} = \frac{12}{1 - \frac{2}{3}} = 36\text{ (m)}\]Vậy tổng quãng đường bóng đi được (cả lên và xuống) đến khi bóng dừng hẳn là:
\[2S - 12 = 2 \cdot 36 - 12 = 60\text{ (m)}\]
Câu 97. Cho dãy số \((u_n)\) xác định bởi \(u_1 = \frac{1}{3}\) và \(u_{n+1} = \frac{n+1}{3n} \cdot u_n\). Tổng \(S = u_1 + \frac{u_2}{2} + \frac{u_3}{3} + \ldots + \frac{u_{10}}{10}\) có giá trị bằng bao nhiêu? Kết quả làm tròn đến hàng phần mười.
Trả lời: 0,5
Theo đề bài ta có:
\[u_{n+1} = \frac{n+1}{3n} \cdot u_n \Leftrightarrow \frac{u_{n+1}}{n+1} = \frac{1}{3} \cdot \frac{u_n}{n}\]Mà \(u_1 = \frac{1}{3}\) nên:
\[\frac{u_2}{2} = \frac{1}{3} \cdot \frac{u_1}{1} = \left(\frac{1}{3}\right)^2; \quad \frac{u_3}{3} = \frac{1}{3} \cdot \frac{u_2}{2} = \left(\frac{1}{3}\right)^3; \quad \ldots; \quad \frac{u_{10}}{10} = \left(\frac{1}{3}\right)^{10}\]Do đó dãy \(\left(\frac{u_n}{n}\right)\) là một cấp số nhân có số hạng đầu là \(u_1 = \frac{1}{3}\), công bội \(q = \frac{1}{3}\).
Khi đó:
\[S = u_1 + \frac{u_2}{2} + \frac{u_3}{3} + \ldots + \frac{u_{10}}{10} = \frac{u_1 \cdot (1 - q^{10})}{1 - q} = \frac{\frac{1}{3}\left[1 - \left(\frac{1}{3}\right)^{10}\right]}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{29524}{59049} \approx 0,5\]
Câu 98. Cho 3 số dương có tổng là \(65\) lập thành một cấp số nhân tăng. Nếu bớt một đơn vị ở số hạng thứ nhất và \(19\) đơn vị ở số hạng thứ ba ta được một cấp số cộng. Tính tích 3 số đó?
Trả lời: 3375
Gọi \(u_1; u_2; u_3\) theo thứ tự là ba số cần tìm lập thành một cấp số nhân.
Vì tổng của ba số \(u_1; u_2; u_3\) cần tìm là \(65\) nên ta có phương trình:
\[u_1 + u_2 + u_3 = 65 \quad (1)\]Vì nếu bớt một đơn vị ở số hạng thứ nhất và \(19\) đơn vị ở số hạng thứ ba ta được một cấp số cộng nên ta có:
\[(u_1 - 1) + (u_3 - 19) = 2u_2 \Leftrightarrow u_1 - 2u_2 + u_3 = 20 \quad (2)\]Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
\[\begin{cases} u_1 + u_2 + u_3 = 65 \\ u_1 - 2u_2 + u_3 = 20 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u_1 + u_1 q + u_1 q^2 = 65 \\ u_1 - 2u_1 q + u_1 q^2 = 20 \end{cases}\]Xem và tải file PDF đầy đủ
Tóm tắt kiến thức & Phương pháp: Hệ thống bài tập nâng cao và ứng dụng thực tế của Cấp số nhân - Cấp số cộng trong chương trình Toán 11. Bao gồm các dạng toán tìm số hạng dựa vào mối liên hệ giữa CSC và CSN, bài toán chuyển động nảy…
Chuyên đề Cấp số nhân Toán 11 có lời giải chi tiết (phần 3)
Kiến thức trọng tâm về Cấp số nhân:
- Số hạng tổng quát: \(u_n = u_1 \cdot q^{n-1}\) với \(n \ge 2\).
- Tính chất ba số hạng liên tiếp: \(u_{k-1} \cdot u_{k+1} = u_k^2\) với \(k \ge 2\).
- Tổng \(n\) số hạng đầu tiên: \[S_n = u_1 + u_2 + \dots + u_n = \frac{u_1(1 - q^n)}{1 - q} \quad (q \ne 1)\]
- Bài toán tăng trưởng (lãi kép, dân số): \[S_n = S_0 \cdot (1 + r)^n\]
Hệ thống bài tập Cấp số nhân
Câu 85. Cho cấp số nhân có \(u_1 = -3\), công bội \(q = \frac{2}{3}\). Số \(-\frac{96}{243}\) là số hạng thứ mấy của cấp số này?
Trả lời: 6
Số hạng tổng quát của cấp số nhân là: \[u_n = u_1 \cdot q^{n-1} = -3 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}\]
Xét: \[u_n = -\frac{96}{243} \Rightarrow -3 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1} = -\frac{96}{243} \Rightarrow \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1} = \frac{32}{243} = \left(\frac{2}{3}\right)^5\]
\[\Rightarrow n - 1 = 5 \Rightarrow n = 6\]
Vậy \(-\frac{96}{243}\) là số hạng thứ 6 của cấp số nhân đã cho.
Câu 86. Cho cấp số nhân \((u_n)\) có \(S_2 = 4\) và \(S_3 = 13\) (trong đó \(S_2, S_3\) theo thứ tự là tổng của hai và của ba số hạng đầu của cấp số nhân). Tổng của năm số hạng đầu của cấp số nhân có công bội dương có giá trị bằng bao nhiêu?
Trả lời: 121
Ta có: \[u_3 = S_3 - S_2 = 9 \Rightarrow u_1 q^2 = 9 \Rightarrow u_1 = \frac{9}{q^2} \quad (1) \quad (\text{vì } q \ne 0)\]
Mặt khác \(S_2 = 4\) nên: \[u_1 + u_1 q = 4 \quad (2)\]
Thay \((1)\) vào \((2)\), ta có: \[\frac{9}{q^2} + \frac{9}{q} = 4 \Leftrightarrow 4q^2 - 9q - 9 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} q = 3 \\ q = -\frac{3}{4} \end{array}\right.\]
Vì công bội dương nên chọn \(q = 3\). Khi đó \(u_1 = 1\). Suy ra tổng của năm số hạng đầu là: \[S_5 = \frac{u_1(1 - q^5)}{1 - q} = \frac{1(1 - 3^5)}{1 - 3} = 121\]
Câu 87. Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(x\) để các số \(2x - 1; x; 2x + 1\) theo thứ tự lập thành một cấp số nhân.
Trả lời: 2
Vì \(2x - 1; x; 2x + 1\) theo thứ tự lập thành một cấp số nhân nên: \[(2x - 1)(2x + 1) = x^2 \Rightarrow 4x^2 - 1 = x^2 \Rightarrow x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}\]
Vậy có hai giá trị \(x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}\) thoả mãn đề bài.
Câu 88. Cho các số \(x + 6y; 5x + 2y; 8x + y\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng; đồng thời các số \(x - 1; y + 2; x - 3y\) theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Tính \(x^2 + y^2\).
Trả lời: 40
Theo giả thiết, ta có hệ phương trình: \[\begin{cases} (x + 6y) + (8x + y) = 2(5x + 2y) \\ (x - 1)(x - 3y) = (y + 2)^2 \end{cases}\]
\[\Leftrightarrow \begin{cases} x = 3y \\ (3y - 1)(3y - 3y) = (y + 2)^2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 3y \\ 0 = (y + 2)^2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = -6 \\ y = -2 \end{cases}\]
Suy ra: \[x^2 + y^2 = (-6)^2 + (-2)^2 = 40\]
Câu 89. Kết quả của tổng \(S = 1 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 5^2 + \dots + 79 \cdot 5^{78}\) được viết dưới dạng \(a + \frac{315}{16} \cdot 5^b\) (với \(b \in \mathbb{N}\), \(a\) là phân số tối giản). Tính giá trị biểu thức \(P = a + \frac{b}{16}\).
Trả lời: 5
Từ giả thiết, nhân cả hai vế với 5 ta có: \[5S = 5 + 2 \cdot 5^2 + 3 \cdot 5^3 + \dots + 79 \cdot 5^{79}\]
Do đó: \[-4S = S - 5S = 1 + 5 + 5^2 + \dots + 5^{78} - 79 \cdot 5^{79}\]
Đặt \(S' = 1 + 5 + 5^2 + \dots + 5^{78}\), đây là tổng của 79 số hạng đầu của cấp số nhân có số hạng đầu bằng 1 và công bội bằng 5: \[S' = \frac{1 - 5^{79}}{1 - 5}\]
Vậy: \[-4S = S' - 79 \cdot 5^{79} = \frac{1 - 5^{79}}{1 - 5} - 79 \cdot 5^{79} = -\frac{1}{4} + \frac{315 \cdot 5^{79}}{4}\]
\[\Rightarrow S = \frac{1}{16} + \frac{315}{16} \cdot 5^{79}\]
Đồng nhất với dạng \(S = a + \frac{315}{16} \cdot 5^b\), ta được: \(a = \frac{1}{16}, b = 79\).
Suy ra giá trị của biểu thức: \[P = a + \frac{b}{16} = \frac{1}{16} + \frac{79}{16} = 5\]
Câu 90. Theo báo cáo của Chính phủ, dân số của nước ta tính đến tháng 12 năm 2018 là 95,93 triệu người, nếu tỉ lệ tăng trưởng dân số trung bình hằng năm là \(1,33\%\) thì dân số nước ta vào tháng 12 năm 2025 là bao nhiêu người? (Tính theo đơn vị triệu người, làm tròn đến hàng đơn vị).
Trả lời: 105
Theo tỉ lệ tăng trưởng \(1,33\%\) mỗi năm:
- Tháng 12 năm 2019, dân số nước ta là: \[u_1 = 95{,}93 + 95{,}93 \cdot \frac{1{,}33}{100} = 95{,}93 \left(1 + \frac{1{,}33}{100}\right) \quad (\text{triệu người})\]
- Tháng 12 năm 2020, dân số nước ta là: \[u_2 = 95{,}93 \left(1 + \frac{1{,}33}{100}\right) + 95{,}93 \left(1 + \frac{1{,}33}{100}\right) \cdot \frac{1{,}33}{100} = 95{,}93 \left(1 + \frac{1{,}33}{100}\right)^2 \quad (\text{triệu người})\]
- Theo quy luật đó, dân số nước ta vào tháng 12 năm thứ \(n\) kể từ năm 2018 được tính theo công thức: \[u_n = 95{,}93 \left(1 + \frac{1{,}33}{100}\right)^n \quad (\text{triệu người})\]
- Vào tháng 12 năm 2025 (tức \(n = 2025 - 2018 = 7\)), dân số nước ta là: \[u_7 = 95{,}93 \left(1 + \frac{1{,}33}{100}\right)^7 \approx 105{,}23 \quad (\text{triệu người})\]
Làm tròn đến hàng đơn vị, dân số nước ta vào tháng 12 năm 2025 là 105 triệu người.
Câu 91. Cho cấp số nhân \((u_n)\) có \(u_1 = -3\), công bội \(q = -2\). Hỏi \(-192\) là số hạng thứ mấy của \((u_n)\)?
Trả lời: 7
Xem và tải file PDF đầy đủ
Kiến thức trọng tâm về Cấp số nhân: Số hạng tổng quát: \(u_n = u_1 \cdot q^{n-1}\) với \(n \ge 2\). Tính chất ba số hạng liên tiếp: \(u_{k-1} \cdot u_{k+1} = u_k^2\) với \(k \ge 2\). Tổng \(n\) số hạng đầu tiên: \[S_n = u_1 + u_2 + \dots + …
Hướng Dẫn Giải Bài Tập Về Biểu Đồ Cột - Toán Lớp 6 Kết Nối Tri Thức
Bài học gồm các bài tập rèn luyện hai kỹ năng cốt lõi: đọc hiểu, phân tích số liệu từ biểu đồ cột (các bài tập 9.11, 9.12, 9.13, 9.15) và thực hành vẽ, hoàn thiện biểu đồ cột theo bảng số liệu cho trước (các bài tập 9.14, 9.16, 9.17).
1. Hướng dẫn phân phối và lựa chọn bài tập
Hệ thống bài tập gồm 7 bài ở mức độ cơ bản và thông hiểu:
- Nhóm 1 - Vẽ và hoàn thiện biểu đồ cột: Các bài tập 9.14, 9.16 và 9.17.
- Nhóm 2 - Đọc và phân tích số liệu: Các bài tập 9.11, 9.12, 9.13 và 9.15.
2. Hướng dẫn giải chi tiết một số bài tập
Bài 9.11: Thứ Sáu bạn An dành thời gian tự học ở nhà nhiều nhất với \(120\) phút.
Bài 9.12: Hướng dẫn: Tìm ngày có giá trị tương ứng với thời gian tự học ở nhà là \(0\) (phút) trên biểu đồ.
Bài 9.13: Hướng dẫn: Đọc và xác định chính xác thời gian bạn An tự học ở nhà trong từng ngày của tuần, sau đó cộng tất cả các giá trị lại để tính tổng thời gian.
Bài 9.14: Hướng dẫn: Dựng thêm một cột tại vị trí ngày Chủ nhật tương ứng với chiều cao bằng \(50\) đơn vị thời gian.
Bài 9.15: Hướng dẫn: Đọc số liệu thời gian tự học của An từ thứ Hai đến thứ Bảy trên biểu đồ, sau đó tiến hành ghi lại và lập thành bảng thống kê tương ứng.
Xem và tải file PDF đầy đủ
Bài học gồm các bài tập rèn luyện hai kỹ năng cốt lõi: đọc hiểu, phân tích số liệu từ biểu đồ cột (các bài tập 9.11, 9.12, 9.13, 9.15) và thực hành vẽ, hoàn thiện biểu đồ cột theo bảng số liệu cho trước (các bài tập 9.14, 9.16, 9.17). 1. Hướng dẫn …
Hướng dẫn giải Bài tập 9.25 đến 9.28 môn Toán lớp 6 Kết nối tri thức
Tóm tắt kiến thức và định hướng rèn luyện:
- Nhận biết và liệt kê các kết quả có thể xuất hiện trong trò chơi, thí nghiệm.
- Liệt kê các kết quả thuận lợi để một biến cố / sự kiện xảy ra.
- Xác định xem một sự kiện có xảy ra hay không sau khi đã biết kết quả cụ thể của phép thử nghiệm hoặc trò chơi.
1. Mục tiêu và định hướng bài tập
Hệ thống gồm 4 bài tập ở mức độ cơ bản nhằm củng cố các kỹ năng:
- Xác định kết quả có thể trong trò chơi (Bài tập 9.26a).
- Liệt kê các kết quả có thể để một sự kiện xảy ra (Bài tập 9.25a, 9.26b).
- Xác định một sự kiện có xảy ra hay không khi biết kết quả của thí nghiệm, trò chơi (Bài tập 9.25b, 9.26c, 9.27, 9.28).
2. Hướng dẫn và đáp án chi tiết các bài tập
Bài tập 9.25
a) Sự kiện "Số chấm xuất hiện là số nguyên tố" xảy ra khi số chấm xuất hiện là \(2, 3, 5\).
b) Sự kiện "Số chấm xuất hiện không phải là 6" xảy ra.
Bài tập 9.26
Hướng dẫn giải:
a) Có 3 kết quả có thể: Nai, Cáo, Gấu;
b) Cáo, Gấu;
c) Sự kiện xảy ra.
Bài tập 9.27
Hướng dẫn giải: Tính số điểm dựa vào kết quả chơi và xác định người thắng.
Bài tập 9.28
Sự kiện Mai thắng xảy ra.
Xem và tải file PDF đầy đủ
Tóm tắt kiến thức và định hướng rèn luyện: Nhận biết và liệt kê các kết quả có thể xuất hiện trong trò chơi, thí nghiệm. Liệt kê các kết quả thuận lợi để một biến cố / sự kiện xảy ra. Xác định xem một sự kiện có xảy ra hay khôn…
Chuyên đề Cấp số nhân Toán 11 có đáp án và lời giải chi tiết (tiếp - phần 2)
Tài liệu tuyển tập các bài toán chọn lọc về chủ đề cấp số nhân lớp 11, bao gồm các dạng toán tính tổng, tìm số hạng và vận dụng cao có hướng dẫn giải chi tiết.
Bài tập Cấp số nhân
» Câu 78.
Biết một cấp số nhân có số hạng đầu bằng 18, số hạng thứ hai bằng 54 và số hạng cuối bằng 39366. Tổng tất cả các số hạng của một cấp số nhân có dạng \( 5a0b \), với \( a, b \) là các số tự nhiên. Tính \( S = a + b \)
Trả lời: 13
Gọi \( (u_n) \) là cấp số nhân cần tìm, \( q \) là công bội của cấp số nhân đó.
Ta có: \( u_1 = 18, u_2 = 54 \to q = \frac{u_2}{u_1} = \frac{54}{18} = 3 \).
Xét số hạng cuối \( u_n = 39366 \)
\[ u_n = u_1 q^{n-1} = 39366 \to 18 \times 3^{n-1} = 39366 \to 3^{n-1} = 3^7 \to n = 8. \]
Vậy tổng tám số hạng của cấp số nhân là: \[ S_8 = \frac{u_1(1-q^8)}{1-q} = 18 \times \frac{1-3^8}{1-3} = 59040. \]
Khi đó \[ \begin{cases} a = 9 \\ b = 4 \end{cases} \to S = a + b = 13 \]
Gọi \( (u_n) \) là cấp số nhân cần tìm, \( q \) là công bội của cấp số nhân đó.
Ta có: \( u_1 = 18, u_2 = 54 \to q = \frac{u_2}{u_1} = \frac{54}{18} = 3 \).
Xét số hạng cuối \( u_n = 39366 \)
\[ u_n = u_1 q^{n-1} = 39366 \to 18 \times 3^{n-1} = 39366 \to 3^{n-1} = 3^7 \to n = 8. \]
Vậy tổng tám số hạng của cấp số nhân là: \[ S_8 = \frac{u_1(1-q^8)}{1-q} = 18 \times \frac{1-3^8}{1-3} = 59040. \]
Khi đó \[ \begin{cases} a = 9 \\ b = 4 \end{cases} \to S = a + b = 13 \]
» Câu 79.
Kết quả của tổng sau theo \( n \): \( S_n = \Big(2+\frac{1}{2^2}\Big) + \Big(4+\frac{1}{2^4}\Big) + \dots + \Big(2^n+\frac{1}{2^{2n}}\Big) \) có dạng \[ -1 + \frac{a^{n+1}}{3} + \frac{1}{3 \times a^n} + \frac{n}{2} \] với \( a \) là số tự nhiên. Giá trị của \( a \) bằng bao nhiêu?
Trả lời: 4
\[ S_n = \Big(2+2^2+...+2^n\Big) + \Big(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^4}+...+\frac{1}{2^{2n}}\Big) \]
Ta thấy \( S_n \) chứa hai tổng của cấp số nhân: cấp số nhân thứ nhất có \( n \) phần tử, số hạng đầu bằng 2, công bội bằng 2; cấp số nhân thứ hai có \( n \) phần tử, số hạng đầu bằng \( \frac{1}{4} \), công bội bằng \( \frac{1}{4} \).
Do đó \( a = 4 \)
\[ S_n = \Big(2+2^2+...+2^n\Big) + \Big(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^4}+...+\frac{1}{2^{2n}}\Big) \]
Ta thấy \( S_n \) chứa hai tổng của cấp số nhân: cấp số nhân thứ nhất có \( n \) phần tử, số hạng đầu bằng 2, công bội bằng 2; cấp số nhân thứ hai có \( n \) phần tử, số hạng đầu bằng \( \frac{1}{4} \), công bội bằng \( \frac{1}{4} \).
Do đó \( a = 4 \)
» Câu 80.
Kết quả của tổng sau theo \( n \): \( S_n = 8 + 88 + 888 + ... + 8...8 \) có dạng \( \frac{a(10^n-b)}{81} - \frac{8}{9}n \) với \( a, b \) là các số tự nhiên. Giá trị của \( P = a - 30b \) bằng bao nhiêu?
Trả lời: 50
\[ S_n = \frac{8}{9}(9 + 99 + 999 + ... + 9...9) \]
\[ S_n = \frac{8}{9}\Big[(10-1+10^2-1+10^3-1+...+10^n-1)\Big] \]
\[ S_n = \frac{8}{9}\Big[(10+10^2+10^3+...+10^n)-n\Big] = \frac{8}{9}\Big(10 \cdot \frac{1-10^n}{1-10}-n\Big) = \frac{80(10^n-1)}{81}-\frac{8}{9}n \]
Vậy \[ \begin{cases} a = 80 \\ b = 1 \end{cases} \to P = a - 30b = 50 \]
\[ S_n = \frac{8}{9}(9 + 99 + 999 + ... + 9...9) \]
\[ S_n = \frac{8}{9}\Big[(10-1+10^2-1+10^3-1+...+10^n-1)\Big] \]
\[ S_n = \frac{8}{9}\Big[(10+10^2+10^3+...+10^n)-n\Big] = \frac{8}{9}\Big(10 \cdot \frac{1-10^n}{1-10}-n\Big) = \frac{80(10^n-1)}{81}-\frac{8}{9}n \]
Vậy \[ \begin{cases} a = 80 \\ b = 1 \end{cases} \to P = a - 30b = 50 \]
» Câu 81.
Tổng ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng là 21. Nếu lấy số thứ hai trừ đi 1 và số thứ ba cộng thêm 1 thì ba số đó lập thành một cấp số nhân. Tính tích ba số đó biết số hạng đầu có giá trị nhỏ hơn 4
Trả lời: 231
Gọi \( (u_n) \) là cấp số cộng có công sai \( d \).
Ta có: \( u_1 + u_2 + u_3 = 21 \to u_1 + (u_1+d) + (u_1+2d) = 21 \to 3u_1 + 3d = 21 \to u_1 + d = 7 \) (*).
Theo giả thiết: \( u_1, u_2 - 1, u_3 + 1 \) lập thành cấp số nhân nên: \[ (u_1+d-1)^2 = u_1(u_1+2d+1) \]
Kết hợp với (*), ta được \( u_1^2 - 15u_1 + 36 = 0 \to \begin{cases} u_1 = 12 > 4 \text{ (L)} \\ u_1 = 3 \end{cases} \)
Với \( u_1 = 3 \) thì \( d = 4 \to u_2 = 7; u_3 = 11 \).
Vậy tích các số đó bằng 231
Gọi \( (u_n) \) là cấp số cộng có công sai \( d \).
Ta có: \( u_1 + u_2 + u_3 = 21 \to u_1 + (u_1+d) + (u_1+2d) = 21 \to 3u_1 + 3d = 21 \to u_1 + d = 7 \) (*).
Theo giả thiết: \( u_1, u_2 - 1, u_3 + 1 \) lập thành cấp số nhân nên: \[ (u_1+d-1)^2 = u_1(u_1+2d+1) \]
Kết hợp với (*), ta được \( u_1^2 - 15u_1 + 36 = 0 \to \begin{cases} u_1 = 12 > 4 \text{ (L)} \\ u_1 = 3 \end{cases} \)
Với \( u_1 = 3 \) thì \( d = 4 \to u_2 = 7; u_3 = 11 \).
Vậy tích các số đó bằng 231
» Câu 82.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \( m \) để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân: \( x^3 - 7x^2 + 2(m^2+6m)x - 8 = 0 \)
Trả lời: 2
Điều kiện cần: Giả sử phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt \( x_1, x_2, x_3 \) lập thành một cấp số nhân.
Theo tính chất của cấp số nhân: \( x_1 x_3 = x_2^2 \).
Suy ra: \( x_2^3 = 8 \to x_2 = 2 \).
Thay nghiệm \( x_2 = 2 \) vào phương trình đã cho, ta có: \[ 8 - 28 + 2(m^2+6m) \times 2 - 8 = 0 \to 4m^2 + 24m - 28 = 0 \to \left[ \begin{matrix} m = 1 \\ m = -7 \end{matrix} \right.\]
Điều kiện đủ: Thử lại với các giá trị \( m \) tìm được thỏa mãn.
Điều kiện cần: Giả sử phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt \( x_1, x_2, x_3 \) lập thành một cấp số nhân.
Theo tính chất của cấp số nhân: \( x_1 x_3 = x_2^2 \).
Suy ra: \( x_2^3 = 8 \to x_2 = 2 \).
Thay nghiệm \( x_2 = 2 \) vào phương trình đã cho, ta có: \[ 8 - 28 + 2(m^2+6m) \times 2 - 8 = 0 \to 4m^2 + 24m - 28 = 0 \to \left[ \begin{matrix} m = 1 \\ m = -7 \end{matrix} \right.\]
Điều kiện đủ: Thử lại với các giá trị \( m \) tìm được thỏa mãn.
Xem và tải file PDF đầy đủ
Tài liệu tuyển tập các bài toán chọn lọc về chủ đề cấp số nhân lớp 11, bao gồm các dạng toán tính tổng, tìm số hạng và vận dụng cao có hướng dẫn giải chi tiết. Bài tập Cấp số nhân » Câu 78. Biết một cấp số nhân có số hạng đầu bằng 18, số hạng thứ h…
Chuyên Đề Cấp Số Nhân Toán 11 - Câu Hỏi Trả Lời Ngắn Có Lời Giải Chi Tiết
Tóm tắt kiến thức trọng tâm:
- Số hạng tổng quát của cấp số nhân: \(u_n = u_1 \cdot q^{n-1}\) với \(n \ge 2\).
- Tổng \(n\) số hạng đầu tiên của cấp số nhân: \(S_n = \dfrac{u_1(1 - q^n)}{1 - q} = \dfrac{u_1(q^n - 1)}{q - 1}\) với \(q \ne 1\).
- Mối liên hệ giữa các số hạng: \(u_1 = S_1\) và \(u_n = S_n - S_{n-1}\) với mọi \(n \ge 2\).
C. CÂU HỎI TRẢ LỜI NGẮN – CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 70. Cho cấp số nhân \((u_n)\) có tổng \(n\) số hạng đầu tiên là \(S_n = 5^n - 1\). Tính tổng số hạng đầu \(u_1\) và công bội \(q\) của cấp số nhân đó.
Trả lời: 9
Ta có:
\[ u_1 = S_1 = 5^1 - 1 = 4 \] \[ u_2 = S_2 - S_1 = (5^2 - 1) - (5 - 1) = 24 - 4 = 20 \]Suy ra công bội: \(q = \dfrac{u_2}{u_1} = \dfrac{20}{4} = 5\).
Khi đó, tổng số hạng đầu \(u_1\) và công bội \(q\) của cấp số nhân bằng: \(u_1 + q = 4 + 5 = 9\).
Câu 71. Tìm số hạng đầu của cấp số nhân \((u_n)\), biết:
\[
\begin{cases}
u_1 + u_5 = 51 \\
u_2 + u_6 = 102
\end{cases}
\]
Trả lời: 3
Áp dụng công thức số hạng tổng quát \(u_n = u_1 \cdot q^{n-1}\), ta có hệ phương trình:
\[ \begin{cases} u_1 + u_1 q^4 = 51 \\ u_1 q + u_1 q^5 = 102 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u_1(1 + q^4) = 51 \\ u_1 q(1 + q^4) = 102 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u_1 = \dfrac{51}{1 + q^4} \\ \dfrac{u_1(1 + q^4)}{u_1 q(1 + q^4)} = \dfrac{51}{102} \end{cases} \] \[ \Rightarrow \dfrac{1}{q} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow q = 2 \]Khi đó:
\[ u_1 = \dfrac{51}{1 + 2^4} = \dfrac{51}{17} = 3 \]Vậy \(u_1 = 3\), \(q = 2\).
Câu 72. Biết \((u_1; q)\) là cặp số hạng đầu và công bội của cấp số nhân \((u_n)\) thỏa mãn:
\[
\begin{cases}
u_2 = 6 \\
S_3 = 43
\end{cases}
\]
Có bao nhiêu cặp \((u_1; q)\) thỏa cấp số nhân đã cho?
Trả lời: 2
Áp dụng công thức \(u_n = u_1 \cdot q^{n-1}\) và \(S_n = \dfrac{u_1(1 - q^n)}{1 - q}\), ta có:
\[ \begin{cases} u_1 q = 6 \\ \dfrac{u_1(1 - q^3)}{1 - q} = 43 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u_1 q = 6 \\ u_1(1 + q + q^2) = 43 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u_1 = \dfrac{6}{q} \\ \dfrac{q}{1 + q + q^2} = \dfrac{6}{43} \end{cases} \] \[ \Rightarrow 43q = 6(1 + q + q^2) \Leftrightarrow 6q^2 - 37q + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} q = 6 \\ q = \dfrac{1}{6} \end{array}\right. \]- Với \(q = 6 \Rightarrow u_1 = \dfrac{6}{6} = 1\).
- Với \(q = \dfrac{1}{6} \Rightarrow u_1 = \dfrac{6}{\frac{1}{6}} = 36\).
Vậy có 2 cặp \((u_1; q)\) thỏa mãn là \((1; 6)\) hoặc \((36; \dfrac{1}{6})\).
Câu 73. Biết \((u_1; q)\) là cặp số hạng đầu và công bội của cấp số nhân \((u_n)\) thỏa mãn:
\[
\begin{cases}
u_1 + u_2 + u_3 = 31 \\
u_1 + u_3 = 26
\end{cases}
\]
Có bao nhiêu cặp \((u_1; q)\) có công bội là số nguyên thỏa mãn cấp số nhân đã cho?
Trả lời: 1
Ta có:
\[ \begin{cases} u_1 + u_1 q + u_1 q^2 = 31 \\ u_1 + u_1 q^2 = 26 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u_1(1 + q + q^2) = 31 \\ u_1(1 + q^2) = 26 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \dfrac{1 + q + q^2}{1 + q^2} = \dfrac{31}{26} \\ u_1 = \dfrac{26}{1 + q^2} \end{cases} \] \[ \Rightarrow 26(1 + q + q^2) = 31(1 + q^2) \Leftrightarrow 26 + 26q + 26q^2 = 31 + 31q^2 \] \[ \Leftrightarrow 5q^2 - 26q + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} q = 5 \\ q = \dfrac{1}{5} \end{array}\right. \]- Với \(q = 5\) (nhận do \(q \in \mathbb{Z}\)) \(\Rightarrow u_1 = \dfrac{26}{1 + 5^2} = 1\).
- Với \(q = \dfrac{1}{5}\) (loại vì không phải là số nguyên).
Vậy có duy nhất 1 cặp thỏa mãn là \((u_1; q) = (1; 5)\).
Câu 74. Tìm số hạng đầu của cấp số nhân \((u_n)\), biết:
\[
\begin{cases}
u_5 + u_2 = 36 \\
u_6 - u_4 = 48
\end{cases}
\]
Trả lời: 2
Ta có:
\[ \begin{cases} u_1 q^4 + u_1 q = 36 \\ u_1 q^5 - u_1 q^3 = 48 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u_1(q^4 + q) = 36 \\ u_1(q^5 - q^3) = 48 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u_1 = \dfrac{36}{q^4 + q} \\ \dfrac{q^4 + q}{q^5 - q^3} = \dfrac{36}{48} = \dfrac{3}{4} \end{cases} \] \[ \Rightarrow 4(q^4 + q) = 3(q^5 - q^3) \Leftrightarrow 4q^4 + 4q = 3q^5 - 3q^3 \] \[ \Leftrightarrow -3q^5 + 4q^4 + 3q^3 + 4q = 0 \Leftrightarrow -q(q + 1)(q - 2)(3q^2 - q + 2) = 0 \] \[ \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} q = 0 \\ q = -1 \\ q = 2 \\ 3q^2 - q + 2 = 0 \text{ (vô nghiệm)} \end{array}\right. \]Do \(q \ne 0\) và \(q \ne \pm 1\) (để biểu thức xác định), ta nhận \(q = 2\).
Với \(q = 2\), ta được số hạng đầu:
\[ u_1 = \dfrac{36}{2^4 + 2} = \dfrac{36}{18} = 2 \]Vậy \(u_1 = 2\), \(q = 2\).
Xem và tải file PDF đầy đủ
Tóm tắt kiến thức trọng tâm: Số hạng tổng quát của cấp số nhân: \(u_n = u_1 \cdot q^{n-1}\) với \(n \ge 2\). Tổng \(n\) số hạng đầu tiên của cấp số nhân: \(S_n = \dfrac{u_1(1 - q^n)}{1 - q} = \dfrac{u_1(q^n - 1)}{q - 1}\) với \(q \n…
Lý thuyết Chuyên đề Dãy số - Toán học lớp 11 đầy đủ và chi tiết
Tóm tắt kiến thức: Bài học cung cấp toàn bộ nền tảng lý thuyết về Dãy số thuộc chương trình Toán 11 bao gồm: Khái niệm dãy số vô hạn, 4 phương pháp xác định dãy số thường gặp, định nghĩa cùng tính chất của dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn kèm các lưu ý quan trọng khi làm bài tập.
1. Khái niệm về dãy số
Định nghĩa:
Mỗi hàm số \(u\) xác định trên tập hợp các số nguyên dương \(\mathbb{N}^*\) được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số). Nghĩa là:
\[ \begin{aligned} u : \mathbb{N}^* &\to \mathbb{R} \\ n &\mapsto u_n = u(n) \end{aligned} \]- Dãy số trên thường được kí hiệu rút gọn là \((u_n)\).
- Dạng khai triển của dãy số: \(u_1, u_2, u_3, \dots, u_n, \dots\)
2. Các cách xác định một dãy số
Một dãy số có thể được cho bằng các cách cơ bản sau:
- Liệt kê các số hạng: Chỉ áp dụng khi dãy số hữu hạn hoặc quy luật các số hạng quá rõ ràng.
- Cho bằng công thức số hạng tổng quát: Cho biết công thức tính số hạng \(u_n\) theo chỉ số vị trí \(n\).
- Cho bằng phương pháp truy hồi: Cho số hạng đầu (hoặc vài số hạng đầu) và hệ thức liên hệ giữa số hạng thứ \(n\) với các số hạng đứng trước nó.
- Cho bằng phương pháp mô tả: Diễn đạt bằng lời cách xác định từng số hạng của dãy.
3. Dãy số tăng và dãy số giảm
Định nghĩa:
- Dãy số \((u_n)\) được gọi là dãy số tăng nếu ta có: \[u_{n+1} > u_n, \quad \forall n \in \mathbb{N}^*\]
- Dãy số \((u_n)\) được gọi là dãy số giảm nếu ta có: \[u_{n+1} < u_n, \quad \forall n \in \mathbb{N}^*\]
* Chú ý: Không phải mọi dãy số đều là dãy số tăng hoặc dãy số giảm (có những dãy số không tăng cũng không giảm, ví dụ dãy đan dấu).
4. Dãy số bị chặn
Định nghĩa:
- Dãy số \((u_n)\) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một hằng số \(M\) sao cho: \[u_n \le M, \quad \forall n \in \mathbb{N}^*\]
- Dãy số \((u_n)\) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một hằng số \(m\) sao cho: \[u_n \ge m, \quad \forall n \in \mathbb{N}^*\]
- Dãy số \((u_n)\) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới. Tức là tồn tại các số thực \(m, M\) sao cho: \[m \le u_n \le M, \quad \forall n \in \mathbb{N}^*\]
* Chú ý:
- Nếu dãy số \((u_n)\) là dãy số tăng thì nó luôn bị chặn dưới bởi số hạng đầu tiên \(u_1\).
- Nếu dãy số \((u_n)\) là dãy số giảm thì nó luôn bị chặn trên bởi số hạng đầu tiên \(u_1\).
Xem và tải file PDF đầy đủ
Tóm tắt kiến thức: Bài học cung cấp toàn bộ nền tảng lý thuyết về Dãy số thuộc chương trình Toán 11 bao gồm: Khái niệm dãy số vô hạn, 4 phương pháp xác định dãy số thường gặp, định nghĩa cùng tính chất của dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị …
Lý thuyết Cấp số cộng môn Toán lớp 11 đầy đủ và chi tiết nhất
Tóm tắt nội dung: Tài liệu hệ thống hóa toàn bộ kiến thức nền tảng của bài Cấp số cộng thuộc chương trình Toán 11 mới. Bao gồm định nghĩa, công thức số hạng tổng quát, tính chất đối xứng của các số hạng và công thức tính tổng \(n\) số hạng đầu tiên.
1. Định nghĩa cấp số cộng
Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi \(d\).
Nghĩa là: \[u_{n+1} = u_n + d \quad (n \in \mathbb{N}^*)\]
Số không đổi \(d\) được gọi là công sai của cấp số cộng.
Trường hợp đặc biệt: Khi \(d = 0\), cấp số cộng là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau).
2. Số hạng tổng quát
Nếu một cấp số cộng có số hạng đầu \(u_1\) và công sai \(d\) thì số hạng tổng quát \(u_n\) được xác định theo công thức:
\[u_n = u_1 + (n - 1)d, \quad \forall n \ge 1\]
3. Tính chất các số hạng của cấp số cộng
Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và số hạng cuối) đều bằng trung bình cộng của hai số hạng đứng liền kề với nó, nghĩa là:
\[u_k = \frac{u_{k-1} + u_{k+1}}{2}, \quad \forall k \ge 2\]
Hệ quả: Ba số \(a, b, c\) (theo thứ tự đó) lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi:
\[a + c = 2b\]
4. Tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng
Cho cấp số cộng \((u_n)\) có công sai \(d\). Đặt \(S_n = u_1 + u_2 + \dots + u_n\) là tổng của \(n\) số hạng đầu tiên của cấp số cộng.
Ta có công thức tính tổng:
\[S_n = \frac{n(u_1 + u_n)}{2} = n u_1 + \frac{n(n - 1)}{2}d\]
5. Nhận xét quan trọng
1. Nếu \((u_n)\) là một cấp số cộng thì mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó: \[u_k = \frac{u_{k-1} + u_{k+1}}{2} \quad \text{với } k \ge 2\]
2. Cấp số cộng \((u_n)\) là một dãy số tăng khi và chỉ khi công sai \(d > 0\).
3. Cấp số cộng \((u_n)\) là một dãy số giảm khi và chỉ khi công sai \(d < 0\).
Xem và tải file PDF đầy đủ
Tóm tắt nội dung: Tài liệu hệ thống hóa toàn bộ kiến thức nền tảng của bài Cấp số cộng thuộc chương trình Toán 11 mới. Bao gồm định nghĩa, công thức số hạng tổng quát, tính chất đối xứng của các số hạng và công thức tính tổng \(n\) số hạng đầu ti…
Tóm Tắt Lý Thuyết Cấp Số Nhân Chi Tiết - Toán Lớp 11
Tóm tắt kiến thức trọng tâm:
Chủ đề Cấp số nhân cung cấp nền tảng quan trọng trong chương trình Toán 11. Bài viết hệ thống hoá đầy đủ định nghĩa, công bội, công thức tìm số hạng tổng quát, các tính chất cơ bản giữa các số hạng liên tiếp và công thức tính tổng của \(n\) số hạng đầu tiên của một cấp số nhân.
1. Định nghĩa cấp số nhân
Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó nhân với một số không đổi \(q\).
Nghĩa là:
\[ (u_n) \text{ là cấp số nhân} \Leftrightarrow \forall n \ge 2, \, u_n = q \cdot u_{n-1} \]Số \(q\) được gọi là công bội của cấp số nhân:
\[ q = \frac{u_n}{u_{n-1}} \quad (n \ge 2) \]Trường hợp đặc biệt:
- Khi \(q = 0\), cấp số nhân có dạng: \(u_1, 0, 0, \dots\)
- Khi \(q = 1\), cấp số nhân có dạng: \(u_1, u_1, u_1, \dots\)
- Khi \(u_1 = 0\), cấp số nhân có dạng: \(0, 0, 0, \dots\)
2. Số hạng tổng quát
Định lý: Nếu một cấp số nhân có số hạng đầu là \(u_1\) và công bội \(q\) thì số hạng tổng quát \(u_n\) của nó được xác định bởi công thức:
\[ u_n = u_1 \cdot q^{n-1}, \quad (n \ge 2) \]3. Tính chất các số hạng của cấp số nhân
Định lý: Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là:
\[ u_k = \sqrt{u_{k-1} \cdot u_{k+1}} \quad \text{hay} \quad u_k^2 = u_{k-1} \cdot u_{k+1} \quad (k \ge 2) \]Hệ quả: Nếu \(a, b, c\) là ba số khác \(0\), thì ba số \(a, b, c\) theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân khi và chỉ khi:
\[ ac = b^2 \]4. Tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân
Định lý: Cho cấp số nhân \((u_n)\) với công bội \(q\). Đặt tổng của \(n\) số hạng đầu tiên là:
\[ S_n = u_1 + u_2 + \dots + u_n \]- Nếu \(q = 1\) thì: \[ S_n = n \cdot u_1 \]
- Nếu \(q \ne 1\) thì: \[ S_n = \frac{u_1(1 - q^n)}{1 - q} \]
Xem và tải file PDF đầy đủ
Tóm tắt kiến thức trọng tâm: Chủ đề Cấp số nhân cung cấp nền tảng quan trọng trong chương trình Toán 11. Bài viết hệ thống hoá đầy đủ định nghĩa, công bội, công thức tìm số hạng tổng quát, các tính chất cơ bản giữa các số hạng liên tiếp v…