Đề thi chọn đội tuyển HSG Quốc gia môn Toán Bảng B năm 2026 - 2027 Sở GD&ĐT Hà Nội

Tài liệu bao gồm toàn bộ nội dung đề thi chính thức môn Toán (Bảng B) kỳ thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi quốc gia lớp 12 THPT năm học 2026 – 2027 của Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội, ngày thi 14/09/2026, thời gian làm bài 180 phút.

Đề thi chính thức môn Toán (Bảng B) - TP. Hà Nội 2026-2027

Bài 1 (5,0 điểm).
Cho dãy số \((u_n)\) xác định bởi \(u_1 = \frac{1}{2}\) và \(u_{n+1} = \frac{3 - u_n^2}{2}\) với mọi số nguyên dương \(n\).
Chứng minh \((u_n)\) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Bài 2 (5,0 điểm).
Tìm tất cả các cặp số nguyên tố lẻ \((p, q)\), với \(p < q\), thỏa mãn \(p^{p^2} + (p+2)^{p^2}\) chia hết cho \(q\) và \(C_{2pq}^{pq}\) chia hết cho \(pq\).

Bài 3 (4,0 điểm).
Cho số nguyên \(n\) lớn hơn 3 và một đa giác đều \(P\) có \(2n\) đỉnh. Một tam giác được gọi là phủ đa giác \(P\) nếu tất cả các đỉnh của \(P\) đều nằm trong tam giác hoặc nằm trên cạnh của tam giác.
Tính số tam giác phủ đa giác \(P\) tạo bởi ba đường thẳng chứa ba cạnh của đa giác \(P\).

Bài 4 (6,0 điểm).
Cho tam giác \(ABC\) (\(AB < AC < BC\)) nội tiếp đường tròn \((O)\). Ba đường cao \(AA_1, BB_1, CC_1\) của tam giác \(ABC\) cắt nhau tại trực tâm \(H\).
a) Gọi \(A_0, B_0, C_0\) tương ứng là trung điểm của các cạnh \(BC, CA, AB\). Gọi \(X\) là giao điểm của hai đường thẳng \(B_0O\) và \(C_0A_0\), \(Y\) là giao điểm của hai đường thẳng \(C_0O\) và \(A_0B_0\). Hai đường thẳng \(XY\) và \(B_0C_0\) cắt nhau tại điểm \(Z\). Chứng minh đường thẳng \(A_0H\) vuông góc với đường thẳng \(A_0Z\).
b) Kẻ đường kính \(AK\) của đường tròn \((O)\). Gọi \(M, N\) tương ứng là trung điểm của các đoạn thẳng \(BB_1, CC_1\). Chứng minh đường thẳng \(MN\) đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác \(A_1HK\).

Xem và tải file PDF đầy đủ

[Tải về file PDF]

Tài liệu bao gồm toàn bộ nội dung đề thi chính thức môn Toán (Bảng B) kỳ thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi quốc gia lớp 12 THPT năm học 2026 – 2027 của Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội, ngày thi 14/09/2026, thời gian làm bài 180 phút. Đề thi chín…

Đề thi chọn học sinh giỏi THPT dự thi Quốc gia môn Toán lớp 12 Bảng B Hà Nội 2026-2027

Tóm tắt đề thi chọn học sinh giỏi dự thi Quốc gia môn Toán lớp 12 (Bảng B) năm học 2026 - 2027 của Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội với các chủ đề Hàm số, Đa thức, Số học và Tổ hợp.

Bài 5 (5,0 điểm)

Xét hàm số \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) thỏa mãn \(f(1) > 0\) và

\[f(a)f(d) - f(b)f(c) = 1\]

với mọi số thực \(a,b,c,d\) thỏa mãn \(ad - bc = 1\).

a) Chứng minh \(f(xy) = f(x)f(y)\) với mọi số thực \(x\) và \(y\).

b) Chứng minh \(f(x) = x\) với mọi số thực \(x\).

Bài 6 (5,0 điểm)

Cho \(P(x)\) là một đa thức với hệ số nguyên có bậc bằng 5 sao cho có vô hạn cặp số nguyên \((x,y)\) thỏa mãn \(xP(x) = yP(y)\) và \(x \neq y\).

a) Chứng minh tồn tại số nguyên \(C\) có tính chất: Nếu \((x,y)\) là cặp số nguyên thỏa mãn \(x \neq y\) và \(xP(x) = yP(y)\) thì \(|x+y| \le C\).

b) Chứng minh \(P(x)\) có nghiệm nguyên.

Bài 7 (5,0 điểm)

Cho số nguyên dương lẻ \(n\). Một số nguyên dương \(m\) được gọi là số tốt nếu \(m^x + x^m\) chia hết cho \(n^x + x^n\) với mọi số nguyên dương \(x\).

a) Chứng minh nếu \(m\) là một số tốt thì \(m\) chia hết cho \(n\).

b) Tìm tất cả các số tốt.

Bài 8 (5,0 điểm)

Cho 9 số thực \(a_1, a_2, \dots, a_9\). Khởi đầu với bộ 9 số thực \((a_1, a_2, \dots, a_9)\).

Ở mỗi bước, từ bộ vừa được tạo \((x_1, x_2, \dots, x_9)\), ta tạo ra một bộ mới \((y_1, y_2, \dots, y_9)\) theo quy tắc sau: chọn các số \(\epsilon_1, \dots, \epsilon_9 \in \{-1; 1\}\) sao cho biểu thức \(\left| \sum_{i=1}^9 \epsilon_i \sqrt{i} \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất (nếu có nhiều cách chọn, lấy một cách tùy ý), sau đó đặt \(y_i = x_i + \epsilon_i \sqrt{i}\) với mọi \(i=1,2,\dots,9\).

Chứng minh sau hữu hạn bước, sẽ xuất hiện một bộ \((u_1, u_2, \dots, u_9)\) sao cho tồn tại chỉ số \(i\) để \(|u_i| \ge \frac{15}{2}\).

Xem và tải file PDF đầy đủ

[Tải về file PDF]

Tóm tắt đề thi chọn học sinh giỏi dự thi Quốc gia môn Toán lớp 12 (Bảng B) năm học 2026 - 2027 của Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội với các chủ đề Hàm số, Đa thức, Số học và Tổ hợp. Bài 5 (5,0 điểm) Xét hàm số \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) thỏa mãn…

Giải 2 câu bất đẳng thức trong đề chọn đội tuyển HSG QG Quảng Ninh

Bài 1a - Bất đẳng thức (cơ bản)

Với \(a, b, c\) là các số thực bất kỳ thỏa mãn \(a \ge b \ge c > 0\), chứng minh:

\[ \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \le \frac{b}{a} + \frac{c}{b} + \frac{a}{c} \]

Lời giải: Biến đổi tương đương ta được:

\[ a^2 b + b^2 c + c^2 a \ge a b^2 + b c^2 + c a^2 \iff (a - b)(b - c)(a - c) \ge 0 \]

suy ra đpcm.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a = b\) hoặc \(b = c\).

Bài 1b - Bất đẳng thức (mở rộng)

Với \(n \in \mathbb{N}^*\), \(n \ge 2\) và các số thực \(x_1 \ge x_2 \ge \dots \ge x_n > 0\), chứng minh:

\[ \frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_3} + \dots + \frac{x_{n-1}}{x_n} + \frac{x_n}{x_1} \le \frac{x_2}{x_1} + \frac{x_3}{x_2} + \dots + \frac{x_n}{x_{n-1}} + \frac{x_1}{x_n} \]

Lời giải:

Đặt \(\frac{x_1}{x_2} = t_1, \frac{x_2}{x_3} = t_2, \dots, \frac{x_{n-1}}{x_n} = t_{n-1}\) thì \(t_i \ge 1, \forall i = 1, 2, \dots, n - 1\) và \(\frac{x_n}{x_1} = \frac{1}{t_1 t_2 \dots t_{n-1}}\), ta chứng minh:

\[ t_1 + t_2 + \dots + t_{n-1} + \frac{1}{t_1 t_2 \dots t_{n-1}} \le \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} + \dots + \frac{1}{t_{n-1}} + t_1 t_2 \dots t_{n-1} \] \[ \iff f(t_1; t_2; \dots; t_{n-1}) = \sum_{i=1}^{n-1} \left( t_i - \frac{1}{t_i} \right) + \frac{1}{t_1 t_2 \dots t_{n-1}} - t_1 t_2 \dots t_{n-1} \le 0 \]

Coi \(t_2, t_3, \dots, t_{n-1}\) là tham số, \(f\) là hàm của \(t_1\), ta có:

\[ f'(t_1) = 1 + \frac{1}{t_1^2} - t_2 t_3 \dots t_{n-1} - \frac{1}{t_1^2 \cdot t_2 t_3 \dots t_{n-1}} \] \[ = 1 + \frac{1}{x^2} - M - \frac{1}{M x^2} \quad (\text{với } x = t_1 \ge 1, M = t_2 t_3 \dots t_{n-1} \ge 1) \] \[ = (1 - M) + \frac{1}{x^2} \left( 1 - \frac{1}{M} \right) \] \[ = (1 - M) \left( 1 - \frac{1}{x^2 M} \right) \le 0 \]

Suy ra \(f(t_1; t_2; \dots; t_{n-1})\) nghịch biến theo từng biến độc lập, nên

\[ f(t_1; t_2; \dots; t_{n-1}) \le f(1; 1; \dots; 1) = 0 \]

ta có đpcm.

Đẳng thức xảy ra khi \(x_1 = x_2 = \dots = x_n\).

Bài 1a - Bất đẳng thức (cơ bản) Với \(a, b, c\) là các số thực bất kỳ thỏa mãn \(a \ge b \ge c > 0\), chứng minh: \[ \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \le \frac{b}{a} + \frac{c}{b} + \frac{a}{c} \] Lời giải: Biến đổi tương đương ta đư…

Lời giải bài toán về tổng số dư và số nguyên tố trong đề thi HSG Toán

Tóm tắt nội dung bài toán: Bài toán yêu cầu chứng minh bất đẳng thức liên quan đến hàm tổng số dư \(f(n)\) và vận dụng sai phân \(f(n) - f(n-1)\) kết hợp với hàm tổng các ước số \(\sigma(n)\) để chứng minh \(n\) là số nguyên tố.

Bài toán (5,0 điểm)

Với mỗi số nguyên dương \(n > 1\), ký hiệu \(f(n)\) là tổng tất cả các số dư khi chia \(n\) cho các số nguyên dương từ \(1\) đến \(n - 1\). Ví dụ \(f(6) = 0 + 0 + 0 + 2 + 1 = 3\).

a. Chứng minh với mọi số nguyên dương \(n > 1\) thì \[f(n) \ge \frac{n^2 - 2n}{8}.\]

b. Biết rằng số nguyên dương \(n > 2\) thỏa mãn \(f(n) - f(n-1) > n - \sqrt{n} - 1\). Chứng minh \(n\) là số nguyên tố.

Lời giải chi tiết

a. Ta có \(f(2) = 0\); \(f(3) = 0 + 1 = 1\); \(f(4) = 0 + 0 + 1 = 1\); \(f(5) = 0 + 1 + 2 + 1 = 4\) đều thỏa mãn.

Ta chỉ cần tính tới các số dư khi chia \(n\) cho các số ở nửa sau của dãy \(1; 2; \dots; n-1\), ta có ngay:

Nếu \(n\) là số chẵn \(\ge 6\) thì \[f(n) \ge 1 + 2 + \dots + \left(\frac{n}{2} - 1\right) = \frac{n^2 - 2n}{8}.\]

Nếu \(n\) là số lẻ \(\ge 5\) thì \[f(n) \ge 1 + 2 + \dots + \frac{n - 1}{2} = \frac{n^2 - 1}{8} > \frac{n^2 - 2n}{8}.\]

---

b. Ký hiệu: \(n \bmod k\) là số dư khi chia \(n\) cho \(k\) với \(1 \le k \le n - 1\). Ta có nhận xét sau đây:

• Nếu \(n \nmid k\) thì \(n \bmod k - (n - 1) \bmod k = 1\).
• Nếu \(n \vdots k\) thì \(n \bmod k - (n - 1) \bmod k = 0 - (k - 1) = -(k - 1)\).

Do đó:

\[\begin{aligned} f(n) - f(n - 1) &= \left( \sum_{k \nmid n} n \bmod k - \sum_{k \nmid n} (n - 1) \bmod k \right) + \left( \sum_{k \mid n} n \bmod k - \sum_{k \mid n} (n - 1) \bmod k \right) \\ &= \sum_{k \nmid n} 1 - \sum_{k \mid n} (k - 1) \\ &= \left( \sum_{k \nmid n} 1 + \sum_{k \mid n} 1 \right) - \sum_{k \mid n} k \\ &= n - 1 - (\sigma(n) - n) \\ &= 2n - 1 - \sigma(n) \end{aligned}\]

và từ giả thiết \(f(n) - f(n-1) > n - \sqrt{n} - 1\) suy ra \[2n - 1 - \sigma(n) > n - \sqrt{n} - 1 \Leftrightarrow \sigma(n) < n + \sqrt{n};\] với \(\sigma(n)\) là tổng các ước dương của số nguyên dương \(n\).

Giả sử \(n\) là hợp số, thì \(n\) có một ước là \(d\) với \(1 < d < n\) thì \(\frac{n}{d}\) cũng là một ước của \(n\), với \(1 < \frac{n}{d} < n\).

+ Nếu \(d = \frac{n}{d}\) thì \(\sigma(n) \ge n + d + 1 = n + \sqrt{n} + 1\),

+ Nếu \(d \neq \frac{n}{d}\) thì \(\sigma(n) \ge n + d + \frac{n}{d} + 1 \ge n + 2\sqrt{n} + 1\)

cả hai đều mâu thuẫn với \(\sigma(n) < n + \sqrt{n}\). Vậy giả sử là sai, \(n\) là số nguyên tố, đpcm.

Xem và tải file PDF đầy đủ

[Tải về file PDF]

Tóm tắt nội dung bài toán: Bài toán yêu cầu chứng minh bất đẳng thức liên quan đến hàm tổng số dư \(f(n)\) và vận dụng sai phân \(f(n) - f(n-1)\) kết hợp với hàm tổng các ước số \(\sigma(n)\) để chứng minh \(n\) là số nguyên tố. Bài toán (5,0 điểm)…

Giải bài toán dãy số truy hồi và tính giới hạn nâng cao

Tài liệu trình bày lời giải chi tiết cho bài toán dãy số cho bởi công thức truy hồi bậc hai. Bài toán gồm hai phần: phần a chứng minh bất đẳng thức tổng dãy số bé hơn 14 bằng phương pháp công thức tổng quát và chuỗi hình học; phần b tính giới hạn của dãy s_n thông qua đẳng thức sai phân và phép thế số hạng tổng quát.

Đề bài

Cho dãy số \((u_n)\) xác định bởi: \[\begin{cases} u_1 = 4, u_2 = 14; \\ u_{n+2} = 4u_{n+1} - u_n, \forall n \in \mathbb{N}^*. \end{cases}\] a. Chứng minh rằng \[\frac{u_1}{4} + \frac{u_2}{4^2} + \dots + \frac{u_n}{4^n} \lt 14, \forall n \in \mathbb{N}^*.\]
b. Đặt \[s_n = \frac{1}{u_1 u_3} + \frac{1}{u_3 u_5} + \dots + \frac{1}{u_{2n+1} u_{2n+3}}, \forall n \in \mathbb{N}^*.\] Chứng minh dãy \((s_n)\) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Sơ lược lời giải

a. Từ công thức truy hồi ở đề bài, suy ra \(u_n = a^n + b^n, \forall n \in \mathbb{N}^*\), với \(a = 2 + \sqrt{3}, b = 2 - \sqrt{3}\).

Khi đó, với mọi \(n\), ta có:

\[\frac{u_1}{4} + \frac{u_2}{4^2} + \dots + \frac{u_n}{4^n} = \sum_{k=1}^n \frac{a^k + b^k}{4^k} = \sum_{k=1}^n \left(\frac{a}{4}\right)^k + \sum_{k=1}^n \left(\frac{b}{4}\right)^k \lt \frac{\frac{a}{4}}{1 - \frac{a}{4}} + \frac{\frac{b}{4}}{1 - \frac{b}{4}} = 14.\]

b. Ta có \[\frac{1}{u_k u_{k+2}} = \frac{u_{k+2} + u_k}{4 u_k u_{k+1} u_{k+2}} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{u_k u_{k+1}} + \frac{1}{u_{k+1} u_{k+2}} \right), \forall n\]

Nên \[s_n = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{u_1 u_2} + \frac{1}{u_2 u_3} + \dots + \frac{1}{u_{2n+2} u_{2n+3}} \right), \forall n.\]

Mặt khác, quy nạp được \[u_{n+2} u_n - u_{n+1}^2 = 12, \forall n\] nên \[\frac{u_{n+2} u_n - u_{n+1}^2}{u_n u_{n+1}} = \frac{12}{u_n u_{n+1}}\]

suy ra \[\frac{1}{u_n u_{n+1}} = \frac{1}{12} \left( \frac{u_{n+2}}{u_{n+1}} - \frac{u_{n+1}}{u_n} \right), \forall n\] nên \[s_n = \frac{1}{48} \left( \frac{u_{2n+4}}{u_{2n+3}} - \frac{u_2}{u_1} \right), \forall n.\]

Do đó:

\[\lim s_n = \frac{1}{48} \lim \left( \frac{a^{2n+4} + b^{2n+4}}{a^{2n+3} + b^{2n+3}} - \frac{14}{4} \right) = \frac{1}{48} \left( 2 + \sqrt{3} - \frac{7}{2} \right) = \frac{2\sqrt{3} - 3}{96}.\]

Tài liệu trình bày lời giải chi tiết cho bài toán dãy số cho bởi công thức truy hồi bậc hai. Bài toán gồm hai phần: phần a chứng minh bất đẳng thức tổng dãy số bé hơn 14 bằng phương pháp công thức tổng quát và chuỗi hình học; phần b tính giới hạn củ…

Bài toán phương trình hàm xác định cặp hàm liên tục liên quan đến dãy số

Tóm tắt: Bài toán tìm cặp hàm số liên tục \(f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) thỏa mãn hệ phương trình hàm bằng phương pháp rút thế, đổi biến hàm phụ và đưa về giới hạn của dãy số tái lập.

Đề bài

Bài toán: Tìm tất cả các hàm liên tục \(f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), thỏa mãn:

\[\begin{cases} 3f(x) - 2g(x) = -5x, \forall x \in \mathbb{R} \\ 2f(x) - 3g(x) = -5f(5x - 2), \forall x \in \mathbb{R} \end{cases}\]

Lời giải

Rút \(g(x)\) từ đẳng thức thứ nhất, thay vào đẳng thức thứ hai, ta được:

\[2f(x) - 3 \cdot \frac{3f(x) + 5x}{2} = -5f(5x - 2), \forall x \in \mathbb{R}\]\[\Leftrightarrow f(x) + 3x = 2f(5x - 2), \forall x \in \mathbb{R}\]

Đặt \(f(x) = h(x) + \frac{1}{3}x + \frac{4}{3}, \forall x \in \mathbb{R}\), ta được:

\[h(x) + \frac{1}{3}x + \frac{4}{3} + 3x = 2h(5x - 2) + \frac{2}{3}(5x - 2) + \frac{8}{3}, \forall x \in \mathbb{R}\]\[\Leftrightarrow h(x) = 2h(5x - 2), \forall x \in \mathbb{R}\]\[\Leftrightarrow h(x) = \frac{1}{2}h\left(\frac{x+2}{5}\right), \forall x \in \mathbb{R}\]

Xét dãy \((u_n)\): \(u_0 \in \mathbb{R}\), \(u_{n+1} = \frac{u_n + 2}{5}, \forall n\), với \(u_0\) bất kỳ; chứng minh được \(\lim u_n = \frac{1}{2}, \forall u_0 \in \mathbb{R}\).

Ta có: \[h(u_0) = \frac{1}{2}h(u_1) = \frac{1}{2^2}h(u_2) = \dots = \frac{1}{2^n}h(u_n), \forall n.\] Do \(f, g\) liên tục nên \(h\) liên tục, cho \(n \to +\infty\), cùng với \(u_n \to \frac{1}{2}\) suy ra \(h(u_0) = \frac{1}{2^n}h(u_n) \to 0, \forall u_0 \in \mathbb{R}\), từ đó ta có \(h(x) = 0, \forall x \in \mathbb{R}\).

Kết luận: \(f(x) = \frac{1}{3}x + \frac{4}{3}, \forall x \in \mathbb{R}\); \(g(x) = 3x + 2, \forall x \in \mathbb{R}\).

Tóm tắt: Bài toán tìm cặp hàm số liên tục \(f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) thỏa mãn hệ phương trình hàm bằng phương pháp rút thế, đổi biến hàm phụ và đưa về giới hạn của dãy số tái lập. Đề bài Bài toán: Tìm tất cả các hàm liên tục \(f, g: \mathb…

Đề thi chọn Học sinh giỏi Quốc gia năm học 2026 - 2027 môn Toán - Chuyên ĐH Vinh

Trường chuyên Đại học Vinh - ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI DỰ THI QUỐC GIA THPT - NĂM HỌC 2026 - 2027
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

NỘI DUNG ĐỀ THI (Ngày 1)

Bài 1 (5,0 điểm). Tìm tất cả các số thực \(a,b\) để tồn tại hàm \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) khác hằng và thỏa mãn \[f\left(ax^3 + y^2\right) = f\left(by^3 + x^2\right), \quad \forall x, y \in \mathbb{R}.\]

Bài 2 (5,0 điểm). Cho số nguyên dương \(n\). Tìm tất cả các đa thức \(P(x) \in \mathbb{R}[x]\) khác hằng, chỉ có nghiệm thực và thỏa mãn đẳng thức sau với mọi \(x \in \mathbb{R}\): \[16^n P\left(\frac{x^3 + 3x}{4}\right) = \left(x^4 + 7x^2 + 16\right)^n P(x).\]

Bài 3 (5,0 điểm). Có \(30\) học sinh tham dự một khóa học gồm \(100\) tiết. Kết thúc khóa học, những học sinh đi học ít hơn \(56\) tiết sẽ không được dự thi cuối khóa. Biết rằng trong mỗi tiết học đều có nhiều hơn nửa số học sinh vắng mặt.
a) Chứng minh rằng có ít nhất một học sinh không được dự thi cuối khóa.
b) Tìm số nguyên \(N\) lớn nhất sao cho chắc chắn có ít nhất \(N\) học sinh không được dự thi cuối khóa.

Bài 4 (5,0 điểm).
a) Giả sử \(a\) là một số nguyên dương và \(p\) là một số nguyên tố. Chứng minh rằng: \[a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p^2} \Leftrightarrow a^{(p-1)^2} \equiv 1 \pmod{p^2}.\]
b) Tìm tất cả các số nguyên dương \(x, y\) và số nguyên tố \(p\) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:
    i) \(5^{(p-1)^2} - 1\) không chia hết cho \(p^2\);
    ii) \(p^x + 5 = y^p\).

Xem và tải file PDF đầy đủ

[Tải về file PDF]

Trường chuyên Đại học Vinh - ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI DỰ THI QUỐC GIA THPT - NĂM HỌC 2026 - 2027 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) NỘI DUNG ĐỀ THI (Ngày 1) Bài 1 (5,0 điểm). Tìm tất cả các số thực \(a,b\) để tồn tạ…

Đề thi chọn đội tuyển HSG Quốc gia môn Toán năm 2026 – 2027 Sở GD&ĐT Thanh Hóa

Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh chọn đội tuyển tham dự kỳ thi HSG Quốc gia môn Toán năm học 2026 - 2027 của Sở Giáo dục và Đào tạo Thanh Hóa gồm 3 câu hỏi thuộc các phân môn Đại số, Hình học phẳng và Tổ hợp. Thời gian làm bài: 180 phút.

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Câu 1 (7,0 điểm). Với \(n\) là số nguyên dương, xét các số thực dương \(a_0, a_1, \dots, a_n\) thỏa mãn các điều kiện: \(a_0\) là một số nguyên, \(\sum_{i=1}^n \frac{1}{a_i} \le 1\) và \(a_i \le a_{i-1} + 1\) với mọi \(i \in \{1, 2, \dots, n\}\).

a) Chứng minh rằng \(n \le 2a_0\).

b) Tìm hằng số \(C\) nhỏ nhất để \(n \le C a_0 \sum_{i=1}^n \frac{1}{a_i}\) với mọi \(n \ge 1\).

Câu 2 (7,0 điểm). Cho tam giác nhọn \(ABC\) (\(AB < AC\)) nội tiếp đường tròn \((O)\), có tâm đường tròn nội tiếp là \(I\). Đường thẳng vuông góc với \(AI\) tại \(I\) cắt \(AB, AC\) lần lượt tại \(E\) và \(F\). Đường tròn ngoại tiếp tam giác \(AEF\) cắt đường tròn \((O)\) và đường thẳng \(AI\) tương ứng tại \(G, H\) (\(G\) khác \(A\)).

a) Gọi \((O_1)\) là đường tròn tiếp xúc với các cạnh \(AB, AC\) và tiếp xúc trong với đường tròn \((O)\) tại \(T\). Chứng minh rằng bốn điểm \(G, T, H, I\) cùng thuộc một đường tròn.

b) Tiếp tuyến tại \(G\) của \((O)\) cắt đường thẳng \(BC\) tại \(J\), đường thẳng \(AJ\) cắt đường tròn \((O)\) tại điểm \(K\) khác \(A\). Gọi \(D\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) lên đường thẳng \(BC\). Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác \(DJK\) và đường tròn ngoại tiếp tam giác \(GHI\) tiếp xúc với nhau.

Câu 3 (6,0 điểm). Một điểm lưới là một điểm \((x; y)\) trên mặt phẳng tọa độ sao cho \(x, y\) là các số nguyên dương không vượt quá 20. Ta nói điểm \(B = (x'; y')\) nằm về phía Đông Bắc của điểm \(A = (x; y)\) nếu \(x' > x\) và \(y' > y\). Ba điểm lưới \(A, B, C\) được gọi là một bộ ba Đông Bắc nếu \(B\) nằm về phía Đông Bắc của \(A\) và \(C\) nằm về phía Đông Bắc của \(B\).

Một tập hợp gồm 20 điểm lưới được gọi là Lam Sơn nếu mọi đường thẳng đi qua hai điểm trong tập hợp đều không song song với các trục tọa độ, đồng thời tập hợp chứa ít nhất một bộ ba Đông Bắc.

a) Chứng minh rằng trong mỗi tập Lam Sơn luôn tồn tại ba điểm \(X, Y, Z\) sao cho \(XY^2 \ge XZ^2 + ZY^2 + 4\).

b) Hỏi có bao nhiêu tập Lam Sơn?

Xem và tải file PDF đầy đủ

[Tải về file PDF]

Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh chọn đội tuyển tham dự kỳ thi HSG Quốc gia môn Toán năm học 2026 - 2027 của Sở Giáo dục và Đào tạo Thanh Hóa gồm 3 câu hỏi thuộc các phân môn Đại số, Hình học phẳng và Tổ hợp. Thời gian làm bài: 180 phút. ĐỀ THI C…

Đề thi chọn đội tuyển HSG Quốc gia môn Toán năm 2026 – 2027 Sở GD-ĐT Đồng Nai

Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi THPT cấp quốc gia môn Toán năm học 2026 – 2027 (Ngày thứ nhất) do Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Đồng Nai tổ chức ngày 27/8/2026. Đề thi gồm 4 câu hỏi tự luận với thời gian làm bài 180 phút, bao gồm các chủ đề: Phương trình hàm, Dãy số, Đa thức và Tập hợp / Số học.

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Câu 1. (4,0 điểm) Tìm tất cả các hàm số \(f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}\) thỏa mãn

\[ f(m + f(n)) = f(m) + 9n, \]

với mọi số nguyên \(m, n\).

Câu 2. (6,0 điểm) Cho dãy số \((u_n)\) xác định bởi \(u_1 = 1\) và \(u_{n+1} = \frac{u_n + 4}{u_n + 1}, \forall n \in \mathbb{N}^*\).

a) Chứng minh dãy số đã cho có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.

b) Chứng minh tồn tại hàm phân thức \(f(x) = \frac{x+a}{x+b}\) \((a \neq b)\) sao cho dãy \((f(u_n))\) lập thành một cấp số nhân.

Câu 3. (5,0 điểm) Đặt \(A = 2026! + 1\) và xét đa thức

\[ P(x) = A x^{4050} + b_1 x^{4048} + b_2 x^{4046} + \dots + b_{2024} x^2 + A, \]

trong đó \(b_1, b_2, \dots, b_{2024}\) là các số nguyên. Chứng minh \(P(x)\) không có nghiệm hữu tỉ trong mỗi trường hợp sau:

a) \(b_1 + b_2 + b_3 + \dots + b_{2024} = 2025\).

b) \(b_1 + b_3 + \dots + b_{2023} = 2025\) và \(b_2 + b_4 + \dots + b_{2024} = 1\).

Câu 4. (5,0 điểm) Xét tập hợp \(A\) gồm \(n\) số tự nhiên \(x_1, x_2, \dots, x_n\) thỏa mãn cả hai điều kiện sau:

i) \(1 = x_1 < x_2 < \dots < x_n = 2026\).

ii) Với mọi \(k \in \{2, 3, \dots, n\}\), luôn tồn tại \(i, j \in \mathbb{N}^*\) với \(i < k, j < k\) sao cho \(x_k = x_i + x_j\) (\(x_i\) có thể bằng \(x_j\)).

a) Chỉ ra một tập hợp \(A\) với \(n = 15\).

b) Chứng minh \(n \ge 13\).

Xem và tải file PDF đầy đủ

[Tải về file PDF]

Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi THPT cấp quốc gia môn Toán năm học 2026 – 2027 (Ngày thứ nhất) do Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Đồng Nai tổ chức ngày 27/8/2026. Đề thi gồm 4 câu hỏi tự luận với thời gian làm bài 180 phút, bao gồm các chủ đề: Phươ…

Đề thi chọn HSG THPT môn Toán năm 2026 – 2027 Sở GD&ĐT Hà Nội Bảng A

Tài liệu trích dẫn Phần I - Trả lời ngắn của Đề thi chọn học sinh giỏi thành phố và chọn đội tuyển HSG dự thi Quốc gia môn Toán (Bảng A) lớp 12 THPT năm học 2026 – 2027 do Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội tổ chức ngày 14/09/2026.

PHẦN I. CÂU HỎI TRẢ LỜI NGẮN

Câu 1. Xét \(A\) và \(B\) là hai biến cố của một phép thử. Biết rằng xác suất của các biến cố \(\overline{A}, B, A \cap B\) lần lượt là \(P(\overline{A}) = 0{,}7\); \(P(B) = 0{,}6\) và \(P(A \cap B) = 0{,}1\). Hỏi xác suất của biến cố \(A \cup B\) bằng bao nhiêu?

Câu 2. Một chất điểm chuyển động có phương trình chuyển động là \(s(t) = -\frac{1}{2}t^2 + 20t\) (đơn vị: mét), với \(t \ge 0\) (đơn vị: giây). Sau 8 giây tính từ khi chất điểm bắt đầu chuyển động, vận tốc tức thời của chất điểm bằng bao nhiêu mét/giây?

Câu 3. Ban chấp hành Đoàn thanh niên lớp 10A tổ chức cho các bạn trong lớp đăng kí tham gia các câu lạc bộ (CLB) của trường. Kết quả thu được như sau:

• Tham gia CLB bóng đá: có 10 học sinh;
• Tham gia CLB bóng chuyền: có 7 học sinh;
• Tham gia CLB bóng rổ: có 6 học sinh.

Trong danh sách đăng kí ở trên:

• Có 4 học sinh đăng kí tham gia cả CLB bóng đá và CLB bóng chuyền;
• Có 3 học sinh đăng kí tham gia cả CLB bóng đá và CLB bóng rổ;
• Có 2 học sinh đăng kí tham gia cả CLB bóng chuyền và CLB bóng rổ;
• Có 1 học sinh đăng kí tham gia cả ba câu lạc bộ.

Hỏi có bao nhiêu học sinh lớp 10A đăng kí tham gia ít nhất một trong ba câu lạc bộ?

Câu 4. Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \((0; 2)\) thỏa mãn \(\lim_{x \to 1} \frac{f(x) - 2}{x - 1} = 4\). Giá trị của giới hạn \[\lim_{x \to 1} \frac{2x - \sqrt{f(x) + 2}}{x^2 - 3x + 2}\] bằng bao nhiêu?

Câu 5. Một vệ tinh nhân tạo bay quanh Trái Đất theo quỹ đạo là một đường elip (tham khảo hình vẽ). Giả sử độ cao \(h\) (km) của vệ tinh so với bề mặt Trái Đất được mô hình hóa bởi công thức \[h = 550 - 450 \cos\left(\frac{\pi}{50}t\right)\] trong đó \(t\) (phút) là thời gian tính từ lúc vệ tinh bắt đầu bay vào quỹ đạo.

Trong khoảng thời gian 200 phút tính từ lúc vệ tinh bắt đầu bay vào quỹ đạo, có bao nhiêu lần độ cao của vệ tinh so với bề mặt Trái Đất là 325 km?

Câu 6. Kết quả đo khối lượng (đơn vị: gam) của 30 củ cà rốt ở một nông trại được cho bởi bảng dưới đây:

Khối lượng (gam)	[70; 80)	[80; 90)	[90; 100)	[100; 110)	[110; 120)
Số củ cà rốt	3	5	12	6	4

Tìm mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Xem và tải file PDF đầy đủ

[Tải về file PDF]

Tài liệu trích dẫn Phần I - Trả lời ngắn của Đề thi chọn học sinh giỏi thành phố và chọn đội tuyển HSG dự thi Quốc gia môn Toán (Bảng A) lớp 12 THPT năm học 2026 – 2027 do Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội tổ chức ngày 14/09/2026. PHẦN I. CÂU HỎI TRẢ LỜ…