TÓM TẮT CHUYÊN ĐỀ DÃY SỐ (DẠNG 1)
Chuyên đề tập trung vào phương pháp xác định số hạng tổng quát của dãy số thông qua kỹ thuật dự đoán quy luật từ các số hạng đầu tiên, kết hợp phương pháp chứng minh quy nạp toán học. Bên cạnh đó là các bài toán nâng cao về hàm số trên tập số nguyên dương và phương pháp đặt biến phụ đưa về cấp số nhân.
CÁC BÀI TOÁN DÃY SỐ VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT
Bài 1. Cho dãy số \((u_n)\) xác định bởi: \[\begin{cases} u_1 = 11 \\ u_{n+1} = 10u_n + 1 - 9n, \quad \forall n \in \mathbb{N}^* \end{cases}\] Xác định số hạng tổng quát của dãy đã cho.
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(u_1 = 11 = 10 + 1\)
\(u_2 = 10 \cdot 11 + 1 - 9 = 102 = 100 + 2\)
\(u_3 = 10 \cdot 102 + 1 - 9 \cdot 2 = 1003 = 1000 + 3\)
Dự đoán: \(u_n = 10^n + n \quad (1)\).
Chứng minh theo quy nạp:
- Với \(n = 1\): \(u_1 = 11 = 10^1 + 1\), công thức (1) đúng với \(n = 1\).
- Giả sử công thức (1) đúng với \(n = k\), tức là \(u_k = 10^k + k\).
- Ta có: \[u_{k+1} = 10(10^k + k) + 1 - 9k = 10^{k+1} + (k + 1)\]
Công thức (1) đúng với \(n = k + 1\).
Vậy \(u_n = 10^n + n, \quad \forall n \in \mathbb{N}^*\).
Ta có:
\(u_1 = 11 = 10 + 1\)
\(u_2 = 10 \cdot 11 + 1 - 9 = 102 = 100 + 2\)
\(u_3 = 10 \cdot 102 + 1 - 9 \cdot 2 = 1003 = 1000 + 3\)
Dự đoán: \(u_n = 10^n + n \quad (1)\).
Chứng minh theo quy nạp:
- Với \(n = 1\): \(u_1 = 11 = 10^1 + 1\), công thức (1) đúng với \(n = 1\).
- Giả sử công thức (1) đúng với \(n = k\), tức là \(u_k = 10^k + k\).
- Ta có: \[u_{k+1} = 10(10^k + k) + 1 - 9k = 10^{k+1} + (k + 1)\]
Công thức (1) đúng với \(n = k + 1\).
Vậy \(u_n = 10^n + n, \quad \forall n \in \mathbb{N}^*\).
Bài 2. Cho dãy số \((u_n)\) biết: \[\begin{cases} u_1 = -2 \\ u_n = 3u_{n-1} - 1, \quad \forall n \ge 2 \end{cases}\] Xác định số hạng tổng quát của dãy.
Hướng dẫn giải
\[u_n = 3u_{n-1} - 1 \Leftrightarrow u_n - \dfrac{1}{2} = 3u_{n-1} - \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow u_n - \dfrac{1}{2} = 3\left(u_{n-1} - \dfrac{1}{2}\right) \quad (1)\]Đặt \(v_n = u_n - \dfrac{1}{2} \Rightarrow v_1 = u_1 - \dfrac{1}{2} = -\dfrac{5}{2}\).
Từ (1) suy ra \(v_n = 3v_{n-1}, \quad \forall n \ge 2\).
Dãy \((v_n)\) là cấp số nhân với công bội \(q = 3\).
Nên \(v_n = v_1 \cdot q^{n-1} = -\dfrac{5}{2} \cdot 3^{n-1}\).
Do đó \(u_n = v_n + \dfrac{1}{2} = -\dfrac{5}{2} \cdot 3^{n-1} + \dfrac{1}{2}, \quad \forall n = 1, 2, \dots\)
\[u_n = 3u_{n-1} - 1 \Leftrightarrow u_n - \dfrac{1}{2} = 3u_{n-1} - \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow u_n - \dfrac{1}{2} = 3\left(u_{n-1} - \dfrac{1}{2}\right) \quad (1)\]Đặt \(v_n = u_n - \dfrac{1}{2} \Rightarrow v_1 = u_1 - \dfrac{1}{2} = -\dfrac{5}{2}\).
Từ (1) suy ra \(v_n = 3v_{n-1}, \quad \forall n \ge 2\).
Dãy \((v_n)\) là cấp số nhân với công bội \(q = 3\).
Nên \(v_n = v_1 \cdot q^{n-1} = -\dfrac{5}{2} \cdot 3^{n-1}\).
Do đó \(u_n = v_n + \dfrac{1}{2} = -\dfrac{5}{2} \cdot 3^{n-1} + \dfrac{1}{2}, \quad \forall n = 1, 2, \dots\)
Bài 3. Cho dãy số \((u_n)\) xác định bởi \(u_1 = 1\) và \[u_{n+1} = \dfrac{3}{2}\left( u_n - \dfrac{n+4}{n^2+3n+2} \right), \quad \forall n \in \mathbb{N}^*\] Tìm công thức số hạng tổng quát \(u_n\) của dãy số theo \(n\).
Hướng dẫn giải
Với mọi \(n \in \mathbb{N}^*\), ta có:
\[2u_{n+1} = 3\left( u_n - \dfrac{n+4}{(n+1)(n+2)} \right) \Leftrightarrow 2u_{n+1} = 3\left( u_n + \dfrac{2}{n+2} - \dfrac{3}{n+1} \right)\]\[\Leftrightarrow 2\left( u_{n+1} - \dfrac{3}{n+2} \right) = 3\left( u_n - \dfrac{3}{n+1} \right) \Leftrightarrow u_{n+1} - \dfrac{3}{n+2} = \dfrac{3}{2}\left( u_n - \dfrac{3}{n+1} \right)\]Dãy số \((v_n)\) với \(v_n = u_n - \dfrac{3}{n+1}\) là cấp số nhân có công bội \(q = \dfrac{3}{2}\) và \(v_1 = -\dfrac{1}{2}\).
Ta có: \[v_n = \left(\dfrac{3}{2}\right)^{n-1} \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right), \quad \forall n \in \mathbb{N}^* \Rightarrow u_n = \dfrac{3}{n+1} - \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n-1}, \quad \forall n \in \mathbb{N}^*\]
Với mọi \(n \in \mathbb{N}^*\), ta có:
\[2u_{n+1} = 3\left( u_n - \dfrac{n+4}{(n+1)(n+2)} \right) \Leftrightarrow 2u_{n+1} = 3\left( u_n + \dfrac{2}{n+2} - \dfrac{3}{n+1} \right)\]\[\Leftrightarrow 2\left( u_{n+1} - \dfrac{3}{n+2} \right) = 3\left( u_n - \dfrac{3}{n+1} \right) \Leftrightarrow u_{n+1} - \dfrac{3}{n+2} = \dfrac{3}{2}\left( u_n - \dfrac{3}{n+1} \right)\]Dãy số \((v_n)\) với \(v_n = u_n - \dfrac{3}{n+1}\) là cấp số nhân có công bội \(q = \dfrac{3}{2}\) và \(v_1 = -\dfrac{1}{2}\).
Ta có: \[v_n = \left(\dfrac{3}{2}\right)^{n-1} \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right), \quad \forall n \in \mathbb{N}^* \Rightarrow u_n = \dfrac{3}{n+1} - \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n-1}, \quad \forall n \in \mathbb{N}^*\]
Bài 4. Cho hàm số \(f : \mathbb{Z}^+ \to \mathbb{Z}^+\) thỏa mãn đồng thời các điều kiện:
(1) \(f(n+1) > f(n), \quad \forall n \in \mathbb{Z}^+\).
(2) \(f[f(n)] > n + 2000, \quad \forall n \in \mathbb{Z}^+\).
a) Chứng minh: \(f(n+1) = f(n) + 1, \quad \forall n \in \mathbb{Z}^+\).
b) Tìm biểu thức \(f(n)\).
(1) \(f(n+1) > f(n), \quad \forall n \in \mathbb{Z}^+\).
(2) \(f[f(n)] > n + 2000, \quad \forall n \in \mathbb{Z}^+\).
a) Chứng minh: \(f(n+1) = f(n) + 1, \quad \forall n \in \mathbb{Z}^+\).
b) Tìm biểu thức \(f(n)\).
Hướng dẫn giải
Câu a.
Vì \(f(n) \in \mathbb{Z}^+\) nên từ giả thiết (1) ta được: \(f(n+1) \ge f(n) + 1, \quad \forall n \in \mathbb{Z}^+\).
Kết hợp giả thiết (2) ta được với mọi \(n \in \mathbb{Z}^+\):
\[n + 2001 = (n+1) + 2000 = f[f(n+1)] \ge f[f(n)+1] \ge f[f(n)] + 1 = n + 2001\]Do đó: \(f(n+1) = f(n) + 1, \quad \forall n \in \mathbb{Z}^+\).
Câu b.
\(f(n) = f(1) + n - 1, \quad \forall n \in \mathbb{Z}^+ \Rightarrow f\{f(1)\} = f(1) + f(1) - 1\).
Suy ra: \(1 + 2000 = 2f(1) - 1 \Rightarrow f(1) = 1001 \Rightarrow f(n) = n + 1000, \quad \forall n \in \mathbb{Z}^+\).
Thử lại thỏa mãn các điều kiện, nên \(f(n) = n + 1000, \quad \forall n \in \mathbb{Z}^+\).
Câu a.
Vì \(f(n) \in \mathbb{Z}^+\) nên từ giả thiết (1) ta được: \(f(n+1) \ge f(n) + 1, \quad \forall n \in \mathbb{Z}^+\).
Kết hợp giả thiết (2) ta được với mọi \(n \in \mathbb{Z}^+\):
\[n + 2001 = (n+1) + 2000 = f[f(n+1)] \ge f[f(n)+1] \ge f[f(n)] + 1 = n + 2001\]Do đó: \(f(n+1) = f(n) + 1, \quad \forall n \in \mathbb{Z}^+\).
Câu b.
\(f(n) = f(1) + n - 1, \quad \forall n \in \mathbb{Z}^+ \Rightarrow f\{f(1)\} = f(1) + f(1) - 1\).
Suy ra: \(1 + 2000 = 2f(1) - 1 \Rightarrow f(1) = 1001 \Rightarrow f(n) = n + 1000, \quad \forall n \in \mathbb{Z}^+\).
Thử lại thỏa mãn các điều kiện, nên \(f(n) = n + 1000, \quad \forall n \in \mathbb{Z}^+\).
Bài 5.
a) Xác định ba số hạng đầu của một cấp số cộng, biết tổng của chúng bằng 9 và tổng các bình phương của chúng là 125.
b) Cho dãy số \((u_n)\) có: \[\begin{cases} u_1 = 16 \\ u_{n+1} + 14 = \dfrac{15(u_n + 1)}{n+1}, \quad \forall n \ge 1 \end{cases}\] Tìm số hạng tổng quát \(u_n\).
a) Xác định ba số hạng đầu của một cấp số cộng, biết tổng của chúng bằng 9 và tổng các bình phương của chúng là 125.
b) Cho dãy số \((u_n)\) có: \[\begin{cases} u_1 = 16 \\ u_{n+1} + 14 = \dfrac{15(u_n + 1)}{n+1}, \quad \forall n \ge 1 \end{cases}\] Tìm số hạng tổng quát \(u_n\).
Hướng dẫn giải
a) Xác định ba số hạng đầu của một cấp số cộng, biết tổng của chúng bằng 9 và tổng các bình phương của chúng là 125.
a) Xác định ba số hạng đầu của một cấp số cộng, biết tổng của chúng bằng 9 và tổng các bình phương của chúng là 125.
Xem và tải file PDF đầy đủ
TÓM TẮT CHUYÊN ĐỀ DÃY SỐ (DẠNG 1) Chuyên đề tập trung vào phương pháp xác định số hạng tổng quát của dãy số thông qua kỹ thuật dự đoán quy luật từ các số hạng đầu tiên, kết hợp phương pháp chứng minh quy nạp toán học. Bên cạnh đó là các bài toán nâ…