Đề chọn đội tuyển Toán 6 năm học 2026 - 2027 Trường THCS Nguyễn Du

TRƯỜNG THCS NGUYỄN DU
ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN TOÁN 6 - NĂM HỌC 2026-2027
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1 (4 điểm)

1. Viết tập hợp \(M\) các chữ số của số \(2026\).

2. Tính giá trị các biểu thức sau:

a) \(\left( \frac{2}{5} \times \frac{13}{131} + \frac{2}{5} \times \frac{118}{131} \right) : \frac{4}{5}\)

b) \(\frac{3}{2} + \frac{3}{6} + \frac{3}{12} + \dots + \frac{3}{2550}\)

3. Với \(n\) là số tự nhiên lớn hơn \(0\), ta ký hiệu \(n! = 1 \times 2 \times 3 \times \dots \times n\). Ví dụ \(4! = 1 \times 2 \times 3 \times 4\).

Hãy tìm chữ số tận cùng của biểu thức \(A = 1! + 2! + 3! + \dots + 9! + 10!\).

Câu 2 (4 điểm)

1. Tìm số tự nhiên \(x\) biết:

a) \(720 : [41 - (17x - 11)] = 40\)

b) \(x + 2x + 3x + \dots + 10x = 275\)

2. Một người đi xe máy từ tỉnh \(A\) và một người đi xe đạp từ tỉnh \(B\). Hai tỉnh cách nhau \(80\text{km}\). Nếu họ đi gặp nhau thì mất \(2\) giờ. Nếu họ đi cùng chiều thì xe máy đuổi kịp người đi xe đạp sau \(4\) giờ. Tính vận tốc của mỗi người. Biết rằng họ cùng khởi hành một lúc.

Câu 3 (4 điểm)

1. Viết tập hợp \(C\) các số tự nhiên \(x\) biết rằng lấy \(x\) chia cho \(12\) ta được thương bằng số dư.

2. Một cầu thang có \(10\) bậc, biết rằng mỗi lần bạn Bình có thể leo được \(2\) bậc hoặc \(3\) bậc. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách để bạn Bình leo đến bậc thứ \(10\).

Câu 4 (6 điểm)

1. Nhà bác Mai có một khu vườn hình chữ nhật chiều dài bằng \(140\text{m}\), chiều rộng bằng nửa chiều dài. Để tiện chăm sóc cây bác Mai làm lối đi hình bình hành có kích thước như hình vẽ bên.

Xem và tải file PDF đầy đủ

[Tải về file PDF]

TRƯỜNG THCS NGUYỄN DU ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN TOÁN 6 - NĂM HỌC 2026-2027 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 (4 điểm) 1. Viết tập hợp \(M\) các chữ số của số \(2026\). 2. Tính giá trị các biểu thức sau: a) \(\left( \frac{2}{5} …

Đề kiểm tra chọn đội tuyển lần I môn Toán 9 năm 2026 - 2027 Trường THCS Nam Từ Liêm

Trường THCS Nam Từ Liêm - Đề kiểm tra chọn đội tuyển học sinh giỏi lần I môn Toán 9 năm học 2026 - 2027. Thời gian làm bài 150 phút, đề thi cấu trúc gồm 5 bài toán tự luận phân loại cao thuộc các lĩnh vực Đại số, Số học, Hình học và Tổ hợp.

ĐỀ KIỂM TRA CHỌN ĐỘI TUYỂN LẦN I - TOÁN 9

Bài I (5,0 điểm).

1) Trong một hộp có 32 thẻ màu xanh, 28 thẻ màu đỏ và 12 thẻ màu vàng. Người ta chia toàn bộ số thẻ thành từng cặp gồm hai thẻ khác màu, sau đó chọn ngẫu nhiên một cặp thẻ. Tính xác suất để thu được cặp thẻ gồm một thẻ màu xanh và một thẻ màu đỏ.

2) Giải hệ phương trình:

\[\begin{cases} x^2 + xy + y^2 = 7, \\ y^3 + 7(x - y) = 8. \end{cases}\]

Bài II (5,0 điểm).

1) Cho \(a, b\) là hai số nguyên có tổng là bội của 2 và thỏa mãn \(2(a+b)^2 - ab\) chia hết cho 36. Chứng minh \(ab\) chia hết cho 36.

2) Xét các số nguyên tố \(p, q\) sao cho \(p^3 + q^2\) là số chính phương. Chứng minh \(p^2 + q^{2027}\) không thể là số chính phương.

Bài III (2,0 điểm).

1) Xét đa thức \(P(x)\) có các hệ số nguyên. Biết rằng đa thức \(P(x) + 27\) có ba nghiệm là ba số nguyên liên tiếp, chứng minh đa thức \(P(x)\) không có nghiệm nguyên.

2) Với \(a, b, c\) là các số thực không âm có tổng bằng 3, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\[P = \frac{1}{a+1} + \frac{1}{ab+1} + \frac{1}{2abc+1}.\]

Bài IV (6,0 điểm).

Cho tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn và \(AB < AC\). Gọi \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AC\). Kẻ \(MH\) vuông góc với \(BC\) tại điểm \(H\). Đường trung trực của đoạn thẳng \(AC\) cắt \(BC\) tại điểm \(P\). Gọi \(K\) là điểm sao cho \(P\) là trung điểm của \(MK\).

1) Chứng minh \(PM^2 = PH \cdot PC\) và \(\widehat{PKH} = \widehat{PCK}\).

2) Chứng minh đường thẳng \(AH\) vuông góc với đường thẳng \(HK\).

3) Gọi \(I\) là giao điểm của \(AK\) với \(BC\); \(S\) là điểm sao cho \(I\) là trung điểm của \(SK\). Chứng minh \(S\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AI\).

Bài V (2,0 điểm).

Cho \(n\) là một số nguyên dương. Xét bảng ô vuông \(n \times n\), trong đó mỗi ô vuông được tô một trong hai màu: xanh hoặc đỏ. Một hình chữ nhật gồm các ô của bảng là hình chữ nhật tốt nếu hình chữ nhật đó có kích thước \(m \times k\) với \(m \ge 2, k \ge 2, m \le n\) và bốn ô vuông ở bốn đỉnh của hình chữ nhật cùng màu.

1) Chỉ ra một cách tô màu bảng \(4 \times 4\) sao cho không tồn tại hình chữ nhật tốt.

2) Tìm giá trị nhỏ nhất của \(n\) sao cho với mỗi cách tô hai màu bảng \(n \times n\), luôn tồn tại ít nhất một hình chữ nhật tốt.

Xem và tải file PDF đầy đủ

[Tải về file PDF]

Trường THCS Nam Từ Liêm - Đề kiểm tra chọn đội tuyển học sinh giỏi lần I môn Toán 9 năm học 2026 - 2027. Thời gian làm bài 150 phút, đề thi cấu trúc gồm 5 bài toán tự luận phân loại cao thuộc các lĩnh vực Đại số, Số học, Hình học và Tổ hợp. ĐỀ KIỂ…

Đề thi chọn đội tuyển HSG quốc gia môn Toán năm 2026 - 2027 Sở GD&ĐT Đà Nẵng

Nội dung bài viết bao gồm toàn bộ đề thi chọn đội tuyển tham dự kỳ thi chọn học sinh giỏi quốc gia THPT năm học 2026 - 2027 môn Toán ngày thi thứ nhất của Sở Giáo dục và Đào tạo Thành phố Đà Nẵng, tổ chức vào ngày 23/09/2026.

CÂU HỎI ĐỀ THI

Câu 1 (5,0 điểm)

Cho dãy số thực dương \((a_n)\) thỏa mãn điều kiện \(a_n(a_{n+1}^2 - 1) = a_{n+1}(a_n^2 + 1), \forall n \in \mathbb{N}^*\).

a) Chứng minh \(\lim a_n = +\infty\).

b) Tính \(\lim \frac{1}{\sqrt{n}} \left( \sum_{i=1}^n \frac{1}{a_i} \right)\).

Câu 2 (5,0 điểm)

Xét hàm số \(f: \mathbb{N}^* \to \mathbb{N}^*\) thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau với mọi số nguyên dương \(m, n, a\):

(i) \(f(f(m)f(n)) = mn\);

(ii) \(f(2027a+1) = 2027a+1\).

a) Tính \(f(1)\).

b) Tìm tất cả các hàm số \(f\) thỏa mãn điều kiện bài toán.

(Cho biết 2027 là một số nguyên tố)

Câu 3 (5,0 điểm)

Xét phương trình

View \[\varphi(\varphi(n)+k) = n - k \text{ với } n, k \text{ nguyên dương.}\]

a) Chứng minh với mỗi số nguyên dương \(k\) cố định, chỉ có hữu hạn số \(n\) là hợp số thỏa mãn phương trình.

b) Tìm tất cả các số nguyên dương \(k\) sao cho phương trình có vô số nghiệm nguyên dương \(n\).

(Với \(m\) nguyên dương, ký hiệu \(\varphi(m)\) là số các số nguyên dương không vượt quá \(m\) và nguyên tố cùng nhau với \(m\))

Câu 4 (5,0 điểm)

Cho tam giác \(ABC\) nhọn, không cân (\(AB < AC\)) nội tiếp đường tròn \((O)\). Dựng hai đường kính \(AA', BB'\) của đường tròn \((O)\) và điểm \(D\) sao cho \(A'CB'D\) là hình bình hành. Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(BC\), \(E\) là giao điểm của \(BD\) và \(AC\), \(F\) là giao điểm của \(CD\) và \(AB\). Gọi \(H_1, H_2\) lần lượt là trực tâm của hai tam giác \(BEC\) và \(BFC\).

a) Chứng minh hai tam giác \(ABC\) và \(MH_1H_2\) có cùng trực tâm.

b) Đường thẳng \(BC\) cắt hai đường thẳng \(A'D, H_1H_2\) lần lượt tại \(K, T\). Gọi \(S, G, I\) lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng \((MH_2, KH_1)\), \((KH_2, MH_1)\) và \((SG, H_1H_2)\). Gọi \(X\) là hình chiếu vuông góc của \(G\) lên \(ST\). Chứng minh bốn điểm \(S, X, I\) và trung điểm của đoạn thẳng \(H_1H_2\) cùng nằm trên một đường tròn.

Xem và tải file PDF đầy đủ

[Tải về file PDF]

Nội dung bài viết bao gồm toàn bộ đề thi chọn đội tuyển tham dự kỳ thi chọn học sinh giỏi quốc gia THPT năm học 2026 - 2027 môn Toán ngày thi thứ nhất của Sở Giáo dục và Đào tạo Thành phố Đà Nẵng, tổ chức vào ngày 23/09/2026. CÂU HỎI ĐỀ THI Câu 1 (…

Đề thi chọn đội tuyển HSG quốc gia THPT năm học 2026 - 2027 môn Toán Sở GD&ĐT Đà Nẵng ngày 2

Tài liệu cung cấp nội dung đề thi chính thức môn Toán (Ngày thi thứ hai) Kỳ thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi quốc gia THPT năm học 2026 - 2027 do Sở Giáo dục và Đào tạo Thành phố Đà Nẵng tổ chức ngày 24/9/2026.

Đề thi chọn đội tuyển HSG Quốc gia THPT năm học 2026 - 2027 - Sở GD&ĐT Đà Nẵng (Ngày 2)

Câu 5 (6,0 điểm).
Cho đường tròn \((O)\) cố định và điểm \(I\) cố định nằm trong đường tròn đó (\(I\) khác \(O\)). Một đường thẳng \(d\) thay đổi đi qua \(I\) nhưng không qua \(O\) và cắt \((O)\) tại \(A, B\) sao cho \(I\) không trùng với trung điểm \(H\) của đoạn thẳng \(AB\). Các tiếp tuyến tại \(O\) của đường tròn \((OAH)\) và đường tròn \((OBH)\) cắt đường trung trực của đoạn thẳng \(OI\) lần lượt tại \(O_1\) và \(O_2\). Đường tròn \((O_1; O_1O)\) cắt đường tròn \((OAH)\) tại \(C\) (khác \(O\)) và đường tròn \((O_2; O_2O)\) cắt đường tròn \((OBH)\) tại \(D\) (khác \(O\)). Chứng minh đường tròn \((OCD)\) đi qua một điểm cố định khác \(O\) khi \(d\) thay đổi nhưng luôn đi qua \(I\).

Câu 6 (7,0 điểm).
Gọi \(A\) là tập hợp gồm \(2026\) số nguyên dương đầu tiên. Nếu hoán vị \((a_1, a_2, \dots, a_{2026})\) của các phần tử thuộc \(A\) thỏa mãn \(a_i > a_{i+1}\) với \(i \in \{1; 2; \dots; 2025\}\) thì \(a_i\) được gọi là điểm giảm của hoán vị đó.

a) Có bao nhiêu hoán vị \((a_1, a_2, \dots, a_{2026})\) của các phần tử thuộc \(A\) thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

(i) \((a_1, a_2, \dots, a_{2026})\) có duy nhất một điểm giảm là \(a_i = 2026\);

(ii) Điểm giảm \(a_i\) chia hoán vị thành hai phần \(a_1, a_2, \dots, a_{i-1}\) và \(a_{i+1}, a_{i+2}, \dots, a_{2026}\), trong đó tập hợp \(X = \{a_{i+1}; \dots; a_{2026}\}\) chứa ít nhất một số chẵn và ít nhất một số lẻ?

b) Có bao nhiêu hoán vị \((a_1, a_2, \dots, a_{2026})\) của các phần tử thuộc \(A\) có duy nhất một điểm giảm?

Câu 7 (7,0 điểm).
Cho \(c_1, c_2, \dots, c_k\) là các số nguyên dương và \(P(x)\) là đa thức khác hằng có hệ số nguyên.

a) Chứng minh tập hợp các số nguyên tố là ước của ít nhất một giá trị của đa thức \(P(x)\) tại các số nguyên là một tập hợp vô hạn.

b) Chứng minh tồn tại một tập hợp vô hạn \(S\) gồm các số nguyên tố sao cho với mọi \(p\) thuộc \(S\), số \(c_1^n + c_2^n + \dots + c_k^n + P(n)\) chia hết cho \(p\) với vô số số nguyên dương \(n\).

Xem và tải file PDF đầy đủ

[Tải về file PDF]

Tài liệu cung cấp nội dung đề thi chính thức môn Toán (Ngày thi thứ hai) Kỳ thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi quốc gia THPT năm học 2026 - 2027 do Sở Giáo dục và Đào tạo Thành phố Đà Nẵng tổ chức ngày 24/9/2026. Đề thi chọn đội tuyển HSG Quốc…

Đề thi Chọn học sinh giỏi ĐTQG TP Hồ Chí Minh năm 2026 Ngày 2 môn Toán có lời giải

Tài liệu tổng hợp đề thi và lời giải chi tiết Kỳ thi Chọn đội tuyển học sinh giỏi TP. Hồ Chí Minh năm 2026 (Ngày 2). Nội dung bao gồm bài toán đa thức tốt và bài toán phương trình hàm.

I. BÀI TOÁN 0.5 (Lim Olympic - TPHCM TST - P5)

Bài toán 0.5. Một đa thức \(P(x)\) hệ số thực được gọi là đa thức tốt nếu với mọi số thực \(x, y, z\) thỏa mãn \(x + y + z = 3\) thì ta đều có:\[ P(x) + P(y) + P(z) \ge 3P(1). \]

1. Tìm tất cả các đa thức \(P(x)\) có bậc không vượt quá 2.
2. Gọi bậc của đa thức tốt \(P(x)\) là \(n\). Chứng minh rằng nếu \(n > 2\) thì \(n\) là số chẵn.

Lời giải.

1) Xét đa thức \(P(x) = ax^2 + bx + c\). Với các số thực \(x, y, z\) thỏa mãn \(x + y + z = 3\), ta có:\[ P(x) + P(y) + P(z) - 3P(1) = a(x^2 + y^2 + z^2 - 3). \]

Nếu \(a \ge 0\), khi đó ta có:\[ P(x) + P(y) + P(z) - 3P(1) = a(x^2 + y^2 + z^2 - 3) \ge a \left[ \frac{(x + y + z)^2}{3} - 3 \right] \ge 0. \]

Do đó \(P(x)\) là đa thức tốt.

Ngược lại, nếu \(a < 0\), chọn \((x, y, z) = (3, 0, 0)\) thì:\[ P(x) + P(y) + P(z) - 3P(1) = a(3^2 + 0^2 + 0^2 - 3) = -6a < 0. \]

Khi đó \(P(x)\) không là đa thức tốt.

Do đó \(P(x) = ax^2 + bx + c\) với \(a \ge 0\) và \(b, c \in \mathbb{R}\) là các đa thức tốt cần tìm.

2) Giả sử phản chứng \(n > 2\) là số lẻ, xét bộ \((x, y, z) = (1 + 2t, 1 - t, 1 - t)\). Khi đó \(x + y + z = 3\) và:\[ P(1 + 2t) + 2P(1 - t) - 3P(1) \ge 0, \quad \forall t \in \mathbb{R}. \]

Đặt \(Q(t) = P(1 + 2t) + 2P(1 - t) - 3P(1)\) với \(t \in \mathbb{R}\), và gọi hệ số bậc cao nhất của đa thức \(P(x)\) là \(a_n \neq 0\). Khi đó xét hệ số của đơn thức \(t^n\) trong đa thức \(Q(t)\) ta được:\[ a_n(2^n + 2(-1)^n) = a_n(2^n - 2) \neq 0. \]

Do đó đa thức \(Q(t)\) có bậc đúng bằng \(n\) là số lẻ, mâu thuẫn do không tồn tại đa thức bậc lẻ thỏa mãn \(Q(t) \ge 0, \forall t \in \mathbb{R}\). Vậy giả sử sai, ta có điều phải chứng minh.

II. BÀI TOÁN 0.6 (Lim Olympic - TPHCM TST - P6)

Bài toán 0.6. Gọi \(S\) là tập các hàm \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) thỏa mãn \(f\) không hằng, \(f(2) \neq 1\) và\[ f(x f(y) - x + y) + f(xy) = f(2026x) + f(y), \quad \forall x, y \in \mathbb{R}. \]

1. Với \(f \in S\), gọi \(A = \{a \in \mathbb{R} \mid f(a) = 1\}\). Chứng minh rằng \(0 \notin A\) và \(2026 \in A\).
2. Chứng minh rằng \(A = \{2026\}\).
3. Tìm \(S\).

Xem và tải file PDF đầy đủ

[Tải về file PDF]

Tài liệu tổng hợp đề thi và lời giải chi tiết Kỳ thi Chọn đội tuyển học sinh giỏi TP. Hồ Chí Minh năm 2026 (Ngày 2). Nội dung bao gồm bài toán đa thức tốt và bài toán phương trình hàm. I. BÀI TOÁN 0.5 (Lim Olympic - TPHCM TST - P5) Bài toán 0.5. M…

Đề thi chọn đội tuyển HSG TP Hồ Chí Minh năm 2026 Ngày 1 có đáp án

Tài liệu tuyển tập Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi TP. Hồ Chí Minh năm 2026 - Ngày 1. Bao gồm các bài toán về Dãy số hội tụ, Tam giác và Đa thức nâng cao có lời giải chi tiết.

Chương 1. CHỌN ĐTQG TP HỒ CHÍ MINH 2026 – NGÀY 1

Bài toán 0.1. (Lim Olympic - TPHCM TST - P1)
Cho các dãy số \((x_n)\), \((y_n)\), \((z_n)\) được xác định bởi \(x_1 = 3, y_1 = 4, z_1 = 5\) và:
\[x_{n+1} = \frac{x_n + y_n}{2}, \quad y_{n+1} = \frac{y_n + z_n}{2}, \quad z_{n+1} = \frac{z_n + x_n}{2}, \quad \forall n \ge 1\]
1) Chứng minh ba số \(x_n, y_n, z_n\) là độ dài ba cạnh của tam giác có chu vi bằng 12 với mọi \(n \ge 1\).
2) Đặt \(d_n = (x_n - y_n)^2 + (y_n - z_n)^2 + (z_n - x_n)^2\). Chứng minh dãy \((d_n)\) hội tụ và tính \(\lim_{n \to +\infty} d_n\).

Lời giải.
1) Trước hết ta có:
\[x_{n+1} + y_{n+1} + z_{n+1} = \frac{x_n + y_n + y_n + z_n + z_n + x_n}{2} = x_n + y_n + z_n = \dots = x_1 + y_1 + z_1 = 12\]
Mặt khác, bằng quy nạp ta có \(3 \le x_n, y_n, z_n \le 5\) với mọi \(n \ge 1\).
Khi đó \(x_n < 6 = 12 - 6 < 12 - x_n = y_n + z_n\). Tương tự, \(y_n < z_n + x_n\) và \(z_n < x_n + y_n\).
Vậy \(x_n, y_n, z_n\) là độ dài ba cạnh của một tam giác, và chu vi của tam giác đó bằng 12.
2) Ta có với mọi \(n \ge 1\) thì:
\[x_{n+1} - y_{n+1} = \frac{x_n - z_n}{2}, \quad y_{n+1} - z_{n+1} = \frac{y_n - x_n}{2}, \quad z_{n+1} - x_{n+1} = \frac{z_n - y_n}{2}\]
Do đó với mọi \(n \in \mathbb{N}\) ta có:
\[d_{n+1} = \frac{1}{4}\left((x_n - z_n)^2 + (y_n - x_n)^2 + (z_n - y_n)^2\right) = \frac{1}{4}d_n = \dots = \frac{1}{4^n} d_1 = \frac{6}{4^n}\]
Vì thế \((d_n)\) là dãy số hội tụ và \(\lim_{n \to +\infty} d_n = 0\).

Bài toán 0.2. (Lim Olympic - TPHCM TST - P2)
Cho đa thức
\[P(x) = a_{2026}x^{2026} + \dots + a_1 x + a_0\]
trong đó \(a_i \in \{1, 3\}\) với mọi \(i = 0, 1, \dots, 2026\). Gọi \(m\) là số hệ số của \(P(x)\) bằng 3.
1) Giả sử \(P(x)\) chia hết cho \(x^2 + x + 1\). Chứng minh rằng \(m \ne 0, 1\).
2) Giả sử \(P(x)\) có nghiệm nguyên. Chứng minh rằng \(m\) là số chẵn.

Lời giải.
1) Đặt \(S(x) = 1 + x + x^2 + \dots + x^{2026}\). Gọi \(A\) là tập các chỉ số \(i\) sao cho \(a_i = 3\). Khi đó \(|A| = m\) và
\[P(x) = 2S(x) + \sum_{i \in A} x^i\]
Để ý \(x^3 \equiv 1 \pmod{x^2 + x + 1}\), suy ra
\[S(x) \equiv 1 + x \pmod{x^2 + x + 1}\]

Xem và tải file PDF đầy đủ

[Tải về file PDF]

Tài liệu tuyển tập Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi TP. Hồ Chí Minh năm 2026 - Ngày 1. Bao gồm các bài toán về Dãy số hội tụ, Tam giác và Đa thức nâng cao có lời giải chi tiết. Chương 1. CHỌN ĐTQG TP HỒ CHÍ MINH 2026 – NGÀY 1 Bài toán 0.1. (Lim…

Đề thi chọn học sinh giỏi chọn ĐTQG môn Toán tỉnh Đắk Lắk năm 2026 - 2027 (Ngày 1)

Đề thi chọn học sinh giỏi THPT chọn ĐTQG tỉnh Đắk Lắk năm học 2026 - 2027 (Ngày thi thứ nhất). Đề thi gồm 4 câu hỏi tự luận với thời gian làm bài 180 phút, kiểm tra toàn diện các kiến thức về Bất đẳng thức, Số học - Hàm số, Hình học phẳng và Tổ hợp.

ĐỀ THI CHỌN ĐT HỌC SINH GIỎI TỈNH ĐẮK LẮK 2026-2027

Câu 1 (5,00 điểm). Cho \(a, b, c\) là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

\[P = 4 \left( \frac{1}{2a + b + c} + \frac{1}{a + 2b + c} + \frac{1}{a + b + 2c} \right) - \frac{a^2 + b^2 + c^2 + 3(ab + bc + ca)}{(a + b)(b + c)(c + a)}\]

Câu 2 (5,00 điểm). Cho hàm số \(f : \mathbb{N}^* \to \mathbb{Z}\) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:

i) \(f(p) = 1\), với mọi \(p\) nguyên tố;

ii) \(f(xy) = yf(x) + xf(y), \forall x, y \in \mathbb{N}^*\).

Tìm số tự nhiên \(n\) nhỏ nhất sao cho \(n \ge 2026\) và \(f(n) = n\).

Câu 3 (5,00 điểm). Cho tam giác \(ABC\) (\(AB < AC\)), một đường tròn \((O)\) thay đổi luôn đi qua \(B, C\) và lần lượt cắt các đoạn thẳng \(AB, AC\) tại \(F, E\) (\(F\) khác \(A\) và \(B\); \(E\) khác \(A\) và \(C\)). Gọi \(I\) là giao điểm của \(BE\) và \(CF\), đường thẳng \(EF\) cắt đường thẳng \(BC\) tại \(P\).

a) Gọi \(X, Y\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(I\) lên \(AB\) và \(AC\); đường thẳng \(PO\) cắt \(AB\) và \(AC\) lần lượt tại \(K, L\). Chứng minh rằng \(X, Y, K, L\) cùng nằm trên một đường tròn.

b) Gọi \(D\) là giao điểm của \(AI\) và \(BC\). Đường thẳng qua \(D\) song song với \(EF\) cắt \(AB, AC\) lần lượt tại \(Q\) và \(R\). Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác \(PQR\) luôn đi qua một điểm cố định khi đường tròn \((O)\) thay đổi.

Câu 4 (5,00 điểm). Một số nguyên dương \(n \ge 3\) được gọi là số cân bằng nếu như tồn tại một tập hợp \(S\) gồm \(n\) số nguyên dương sao cho nếu ta bỏ đi bất kì một phần tử nào của \(S\) thì tất cả các phần tử còn lại có thể chia ra làm hai tập mà tổng các phần tử trong mỗi tập bằng nhau (số các số trong các tập có thể khác nhau).

a) Chứng minh rằng nếu \(n\) là số cân bằng thì \(n\) lẻ và \(n \ge 7\).

b) Hãy tìm tất cả các số cân bằng.

Xem và tải file PDF đầy đủ

[Tải về file PDF]

Đề thi chọn học sinh giỏi THPT chọn ĐTQG tỉnh Đắk Lắk năm học 2026 - 2027 (Ngày thi thứ nhất). Đề thi gồm 4 câu hỏi tự luận với thời gian làm bài 180 phút, kiểm tra toàn diện các kiến thức về Bất đẳng thức, Số học - Hàm số, Hình học phẳng và Tổ hợp…

Đề thi chọn ĐTQG HSG môn Toán năm 2026 - 2027 tỉnh Đắk Lắk (Ngày 2)

Tóm tắt: Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi quốc gia môn Toán tỉnh Đắk Lắk năm học 2026–2027 (Ngày thi thứ hai: 23/09/2026). Thời gian làm bài 180 phút, gồm 4 câu hỏi tự luận bao quát các chuyên đề Toán THPT nâng cao: Dãy số, Đa thức, Phương trình số học Diophante và Hình học phẳng.

Kỳ thi chọn ĐTQG tỉnh Đắk Lắk 2026-2027 - Ngày thi thứ hai

Câu 1 (5,0 điểm). Cho dãy số \((x_n)\) xác định bởi:
\[\begin{cases} x_1 = \dfrac{9}{8} \\ 3(n+3)^2 x_n = 3n^2 x_{n+1} - (2n+3)x_{n+1}x_n, \quad \forall n \ge 1 \end{cases}\]
Tìm \(\lim x_n\).

Câu 2 (5,0 điểm). Cho \(P(x)\) là đa thức bậc \(n\) (với \(n \in \mathbb{N}^*\)) có hệ số cao nhất bằng \(1\) và có đúng \(n\) nghiệm thực phân biệt. Biết rằng tồn tại duy nhất số thực \(a\) mà:
\[P(4a^2 + 4a + 2026) = 0\]
Chứng minh đa thức \(P(4x^2 + 4x + 2026)\) chia hết cho đa thức \((2x + 1)^2\) và \(P(2026) \ge 1\).

Câu 3 (5,0 điểm). Tìm tất cả các số nguyên dương \(a, b, c, p\) sao cho \(p\) và \(p + 2\) đều là các số nguyên tố lẻ thỏa mãn:
\[2^a p^b = (p + 2)^c - 1.\]

Câu 4 (5,0 điểm). Cho tam giác \(ABC\) (\(AB < AC\)) nhọn và nội tiếp đường tròn \((O)\) có tâm \(O\), bán kính \(R\). Đường thẳng vuông góc với \(BC\) tại trung điểm \(M\) của \(BC\) cắt các đường thẳng \(AB, AC\) lần lượt tại \(Y\) và \(X\).
a) Gọi \(I, r'\) lần lượt là tâm và bán kính đường tròn đường kính \(XY\). Chứng minh rằng \(OI^2 = R^2 + r'^2\).
b) Tiếp tuyến tại \(B\) của đường tròn \((O)\) cắt đường thẳng \(OM\) tại \(P\). Qua \(I\) kẻ đường thẳng song song với \(AO\) cắt đường thẳng qua \(P\) song song với \(BC\) tại \(Z\). Gọi \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\). Chứng minh rằng \(H, M, Z\) thẳng hàng.

Xem và tải file PDF đầy đủ

[Tải về file PDF]

Tóm tắt: Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi quốc gia môn Toán tỉnh Đắk Lắk năm học 2026–2027 (Ngày thi thứ hai: 23/09/2026). Thời gian làm bài 180 phút, gồm 4 câu hỏi tự luận bao quát các chuyên đề Toán THPT nâng cao: Dãy số, Đa thức, Phương trình…

Đề khảo sát chất lượng đầu năm môn Toán lớp 9 Trường THCS Võ Thị Sáu 2026 - 2027

Tài liệu khảo sát chất lượng đầu năm môn Toán lớp 9 năm học 2026 - 2027 của Trường THCS Võ Thị Sáu, Hải Phòng (Mã đề 902). Thời gian làm bài 90 phút. Nội dung gồm các câu hỏi trắc nghiệm kiến thức tổng hợp Đại số và Hình học.

PHẦN I. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (3,0 điểm)

(Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12 và ghi 1 đáp án đúng vào bài làm)

Câu 1. Kết quả phân tích đa thức \(x^2y - 2xy\) thành nhân tử là:

A. \(xy(x^2 - 2)\)

B. \(x(x^2 - 2)\)

C. \(x(x + 2)\)

D. \(xy(x - 2)\)

Câu 2. Hệ thức nào sau đây là phương trình bậc nhất hai ẩn?

A. \(0x + y = 3\)

B. \(0x + 0y = 2\)

C. \(2x^2 - y = 0\)

D. \(x^2 - 3x = 1\)

Câu 3. Cho hàm số \(y = f(x) = -2x + 4\). Chọn câu trả lời đúng:

A. \(f(-2) = 8\)

B. \(f(-2) = -8\)

C. \(f(2) = -4\)

D. \(f(2) = 4\)

Câu 4. Bộ 3 độ dài nào dưới đây là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác vuông?

A. \(1\text{ cm}, 2\text{ cm}, 3\text{ cm}\)

B. \(2\text{ cm}, 3\text{ cm}, 4\text{ cm}\)

C. \(5\text{ cm}, 12\text{ cm}, 13\text{ cm}\)

D. \(4\text{ cm}, 5\text{ cm}, 6\text{ cm}\)

Câu 5. Tìm hằng đẳng thức Sai trong các hằng đẳng thức sau?

A. \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)

B. \((a - b)^2 = a^2 - 2ab - b^2\)

C. \(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\)

D. \((a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)

Câu 6. Cho hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) (hình vẽ). Trung đoạn của hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) là đoạn thẳng

A. \(SH\)

B. \(CH\)

C. \(SO\)

D. \(AB\)

Câu 7. Cho Hình 1, biết \(DE \parallel BC\), \(AB = 10\text{ cm}\), \(AC = 7\text{ cm}\), \(AD = 4\text{ cm}\). Độ dài đoạn thẳng \(AE\) là:

A. \(2,8\text{ cm}\)

B. \(17,5\text{ cm}\)

C. \(4\text{ cm}\)

D. \(4,2\text{ cm}\)

Câu 8. Một hộp có 4 tấm thẻ cùng loại được đánh số lần lượt: 1; 2; 3; 4. Chọn ngẫu nhiên một thẻ từ hộp, kết quả thuận lợi cho biến cố "Số ghi trên thẻ là số nguyên tố" là:

A. Thẻ ghi số 2 và thẻ ghi số 4

B. Thẻ ghi số 1 và thẻ ghi số 3

C. Thẻ ghi số 1 và thẻ ghi số 2

D. Thẻ ghi số 2, và thẻ ghi số 3

Câu 9. Nghiệm tổng quát của phương trình \(2x - 3y = -12\) là

A. \(\begin{cases} x \in \mathbb{R} \\ y = -\dfrac{2}{3}x + 4 \end{cases}\)

B. \(\begin{cases} y \in \mathbb{R} \\ x = -\dfrac{3}{2}y - 6 \end{cases}\)

C. \(\begin{cases} y \in \mathbb{R} \\ x = \dfrac{3}{2}y - 6 \end{cases}\)

D. \(\begin{cases} x \in \mathbb{R} \\ y = \dfrac{2}{3}x - 4 \end{cases}\)

Xem và tải file PDF đầy đủ

[Tải về file PDF]

Tài liệu khảo sát chất lượng đầu năm môn Toán lớp 9 năm học 2026 - 2027 của Trường THCS Võ Thị Sáu, Hải Phòng (Mã đề 902). Thời gian làm bài 90 phút. Nội dung gồm các câu hỏi trắc nghiệm kiến thức tổng hợp Đại số và Hình học. PHẦN I. Trắc nghiệm nhi…

Đề thi chọn HSG cấp tỉnh môn Toán năm 2026 – 2027 Sở GD-ĐT Khánh Hòa Vòng 2

Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 2026 - 2027

Môn thi: TOÁN (Vòng 2) - Sở GD&ĐT Khánh Hòa

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)

Ngày thi: 23/9/2026

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Câu 1: (4,00 điểm)

Cho dãy số \((u_n)\) xác định bởi \(u_1 = -2\) và \(u_{n+1} = \frac{u_n}{1 - u_n}, \forall n \in \mathbb{N}^*\).

a) Chứng minh \(u_n < 0, \forall n \in \mathbb{N}^*\).

b) Đặt \(v_n = \frac{u_n + 1}{u_n}, \forall n \in \mathbb{N}^*\). Chứng minh \((v_n)\) là cấp số cộng và tính \(\lim u_n\).

Câu 2: (5,00 điểm)

Tìm tất cả các hàm số \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) thỏa mãn \(f(xy + f(x^2) - x^2) = x f(y)\) với mọi \(x, y \in \mathbb{R}\).

Câu 3: (6,00 điểm)

Cho tam giác \(ABC\) nhọn, không cân có trực tâm \(H\) và nội tiếp trong đường tròn \((O)\). Điểm \(R\) thay đổi trên cung lớn \(BC\) của đường tròn \((O)\) sao cho \(AR\) không song song với \(BC\). Trên đường thẳng \(BC\) lấy hai điểm \(S, T\) phân biệt sao cho đường tròn ngoại tiếp các tam giác \(ARS\) và \(ART\) cùng tiếp xúc với \(BC\). Các đường thẳng qua \(H\) vuông góc với \(AS\) và \(AT\) cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác \(HBC\) tại điểm thứ hai theo thứ tự là \(M\) và \(N\). Chứng minh:

a) Đường thẳng \(MN\) luôn đi qua một điểm cố định.

b) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(RST\) di chuyển trên một đường thẳng cố định.

Câu 4: (5,00 điểm)

Một công ty tổ chức đánh giá năng lực chuyên môn cho 250 công nhân bằng cách giao 5 nhiệm vụ trong một dây chuyền có 5 nhiệm vụ chuyên môn khác nhau. Kết quả cho thấy mỗi nhiệm vụ đều được ít nhất 170 công nhân hoàn thành. Chứng minh rằng luôn tìm được hai công nhân sao cho xét chung cả hai người mọi nhiệm vụ trong số 5 nhiệm vụ trên đều có ít nhất một người hoàn thành.

Xem và tải file PDF đầy đủ

[Tải về file PDF]

Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 2026 - 2027 Môn thi: TOÁN (Vòng 2) - Sở GD&ĐT Khánh Hòa Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề) Ngày thi: 23/9/2026 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Câu 1: (4,00 điểm) Cho dãy số \((u_n)\) xác định bở…