Lý thuyết Đại số tổ hợp: Quy tắc cộng, quy tắc nhân và giai thừa

Tài liệu tóm tắt lý thuyết nền tảng Đại số tổ hợp, cung cấp kiến thức toàn diện về các quy tắc đếm cơ bản: Quy tắc cộng, Quy tắc nhân và khái niệm Giai thừa kèm các công thức mở rộng.

A. QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN

1. QUY TẮC CỘNG

Định nghĩa: Một công việc có thể được thực hiện theo một trong \(k\) phương án độc lập với nhau:

• Phương án thứ 1 có \(n_1\) cách thực hiện;
• Phương án thứ 2 có \(n_2\) cách thực hiện;
• ...
• Phương án thứ \(k\) có \(n_k\) cách thực hiện.

Khi đó số cách thực hiện công việc là: \[N = n_1 + n_2 + \dots + n_k\]

Mở rộng: Quy tắc cộng thực chất là quy tắc đếm số phần tử của hợp các tập hợp hữu hạn không giao nhau: Nếu \(A\) và \(B\) là hai tập hợp hữu hạn không giao nhau (\(A \cap B = \emptyset\)) thì: \[|A \cup B| = |A| + |B|\]

2. QUY TẮC NHÂN

Định nghĩa: Một công việc bao gồm \(k\) công đoạn nối tiếp nhau để hoàn thành:

• Công đoạn thứ 1 có \(n_1\) cách thực hiện;
• Ứng với mỗi cách thực hiện công đoạn 1, có \(n_2\) cách thực hiện công đoạn thứ 2;
• ...
• Ứng với mỗi cách thực hiện các công đoạn trước, có \(n_k\) cách thực hiện công đoạn thứ \(k\).

Khi đó số cách hoàn thành công việc là: \[N = n_1 \cdot n_2 \dots n_k\]

B. GIAI THỪA

Định nghĩa: Cho số tự nhiên \(n \ge 1\). Tích của \(n\) số nguyên dương đầu tiên được gọi là \(n\)-giai thừa, ký hiệu là \(n!\). Nghĩa là: \[n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \dots n\]

• Quy ước: \(0! = 1\).
• \(n! = n \cdot (n - 1)! = n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2)!\) với \(n \ge 1\).

Xem và tải file PDF đầy đủ

[Tải về file PDF]

Tài liệu tóm tắt lý thuyết nền tảng Đại số tổ hợp, cung cấp kiến thức toàn diện về các quy tắc đếm cơ bản: Quy tắc cộng, Quy tắc nhân và khái niệm Giai thừa kèm các công thức mở rộng. A. QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN 1. QUY TẮC CỘNG Định nghĩa: Một công việc …

Tóm tắt lý thuyết Phương trình mặt phẳng môn Toán 12 chi tiết

Tài liệu tóm tắt toàn bộ lý thuyết trọng tâm bài Phương trình mặt phẳng thuộc chương trình Toán 12. Nội dung bao gồm định nghĩa véc-tơ pháp tuyến, khái niệm tích có hướng, cặp véc-tơ chỉ phương và phương trình tổng quát của mặt phẳng trong không gian Oxyz.

A. Véc-tơ pháp tuyến và cặp véc-tơ chỉ phương mặt phẳng

1. Véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng:

Véc-tơ \(\vec{n} \neq \vec{0}\) được gọi là véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha)\) nếu giá của \(\vec{n}\) vuông góc với mặt phẳng \((\alpha)\).

• Mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết một điểm và một véc-tơ pháp tuyến của nó.
• Nếu \(\vec{n}\) là véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha)\) thì \(k\vec{n}\) (với \(k \neq 0\)) cũng là một véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha)\).

2. Tích có hướng của hai véc-tơ:

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai véc-tơ \(\vec{u} = (a; b; c)\) và \(\vec{v} = (a'; b'; c')\). Khi đó véc-tơ \(\vec{n} = (bc' - b'c; ca' - c'a; ab' - a'b)\) vuông góc với cả hai véc-tơ \(\vec{u}\) và \(\vec{v}\), được gọi là tích có hướng của \(\vec{u}\) và \(\vec{v}\), ký hiệu là \([\vec{u}, \vec{v}]\).

• \([\vec{u}, \vec{v}] = \vec{0}\) khi và chỉ khi \(\vec{u}, \vec{v}\) cùng phương.
• Với bốn số \(x, y, x', y'\), ta ký hiệu \(\begin{vmatrix} x & y \\ x' & y' \end{vmatrix} = xy' - x'y\). Khi đó, tích có hướng của \(\vec{u} = (a; b; c)\) và \(\vec{v} = (a'; b'; c')\) là:

\[ [\vec{u}, \vec{v}] = \left( \begin{vmatrix} b & c \\ b' & c' \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} c & a \\ c' & a' \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} a & b \\ a' & b' \end{vmatrix} \right) \]

3. Cặp véc-tơ chỉ phương của mặt phẳng:

Trong không gian \(Oxyz\), hai véc-tơ \(\vec{u}, \vec{v}\) được gọi là cặp véc-tơ chỉ phương của mặt phẳng \((P)\) nếu chúng không cùng phương và có giá nằm trong hoặc song song với mặt phẳng \((P)\).

Chú ý: Nếu \(\vec{u}, \vec{v}\) là cặp véc-tơ chỉ phương của \((P)\) thì \([\vec{u}, \vec{v}]\) là một véc-tơ pháp tuyến của \((P)\).

B. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

Trong không gian \(Oxyz\), mỗi mặt phẳng đều có phương trình dạng \(Ax + By + Cz + D = 0\), trong đó \(A, B, C\) không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng đó.

Định lý ngược: Trong không gian \(Oxyz\), mỗi phương trình \(Ax + By + Cz + D = 0\) (các hệ số \(A, B, C\) không đồng thời bằng 0) xác định một mặt phẳng nhận \(\vec{n} = (A; B; C)\) làm một véc-tơ pháp tuyến.

Xem và tải file PDF đầy đủ

[Tải về file PDF]

Tài liệu tóm tắt toàn bộ lý thuyết trọng tâm bài Phương trình mặt phẳng thuộc chương trình Toán 12. Nội dung bao gồm định nghĩa véc-tơ pháp tuyến, khái niệm tích có hướng, cặp véc-tơ chỉ phương và phương trình tổng quát của mặt phẳng trong không gia…

Tóm tắt lý thuyết Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp đầy đủ nhất

Tài liệu hệ thống hóa toàn bộ kiến thức nền tảng về Hoán vị, Chỉnh hợp và Tổ hợp thuộc chương trình Tổ hợp - Xác suất, bao gồm định nghĩa, công thức tính số cách chọn và các tính chất đại số quan trọng.

1. HOÁN VỊ

☼ Định nghĩa: Cho tập hợp \(A\) gồm \(n\) phần tử (\(n \ge 1\)). Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự \(n\) phần tử của tập hợp \(A\) được gọi là một hoán vị của \(n\) phần tử đó.

☼ Số hoán vị: Số các hoán vị của \(n\) phần tử được ký hiệu là \(P_n\) và được tính bởi công thức:

\[P_n = n! = n(n-1)(n-2)\dots 2 \cdot 1\]

2. CHỈNH HỢP

☼ Định nghĩa: Cho tập hợp \(A\) gồm \(n\) phần tử (\(n \ge 1\)). Kết quả của việc lấy \(k\) (\(1 \le k \le n\)) phần tử khác nhau từ tập hợp \(A\) và sắp xếp theo một thứ tự được gọi là một chỉnh hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử.

☼ Số chỉnh hợp: Số các chỉnh hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử (\(1 \le k \le n\)) được ký hiệu là \(A_n^k\) và được tính theo công thức:

\[A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} = n(n-1)(n-2)\dots(n-k+1)\]

• Hoán vị là trường hợp đặc biệt của chỉnh hợp khi \(k = n\): \(P_n = A_n^n = n!\).
• Quy ước: \(A_n^0 = 1\).

3. TỔ HỢP

☼ Định nghĩa: Cho tập hợp \(A\) gồm \(n\) phần tử (\(n \ge 1\)). Mỗi tập con gồm \(k\) phần tử (\(0 \le k \le n\)) lấy từ tập hợp \(A\) (không phân biệt thứ tự) được gọi là một tổ hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử.

☼ Số tổ hợp: Số các tổ hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử (\(0 \le k \le n\)) được ký hiệu là \(C_n^k\) và được xác định theo công thức:

\[C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} = \frac{A_n^k}{k!}\]

4. CÁC TÍNH CHẤT CỦA SỐ TỔ HỢP

① Tính chất đối xứng:

\[C_n^k = C_n^{n-k} \quad (0 \le k \le n)\]

② Công thức Pascal (hệ thức cộng tổ hợp):

\[C_n^k = C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^k \quad (1 \le k < n)\]

③ Quy ước và giá trị đặc biệt:

\[C_n^0 = C_n^n = 1; \quad C_n^1 = C_n^{n-1} = n\]

Xem và tải file PDF đầy đủ

[Tải về file PDF]

Tài liệu hệ thống hóa toàn bộ kiến thức nền tảng về Hoán vị, Chỉnh hợp và Tổ hợp thuộc chương trình Tổ hợp - Xác suất, bao gồm định nghĩa, công thức tính số cách chọn và các tính chất đại số quan trọng. 1. HOÁN VỊ ☼ Định nghĩa: Cho tập hợp \(A\) gồ…

Tổng hợp đầy đủ các công thức tính xác suất môn Toán THPT

Tổng hợp chi tiết các công thức tính xác suất quan trọng môn Toán bao gồm: xác suất biến cố đối, công thức cộng, nhân xác suất, xác suất có điều kiện cùng các công thức nâng cao như xác suất toàn phần và Bayes.

1. Công thức xác suất của biến cố đối

Xác suất của biến cố đối \(\bar{A}\) liên hệ với xác suất của biến cố \(A\) qua công thức:

\[P(\bar{A}) = 1 - P(A) \iff P(A) + P(\bar{A}) = 1\]

2. Công thức cộng xác suất

① Trường hợp tổng quát (biến cố bất kỳ): Với hai biến cố \(A\) và \(B\) bất kỳ, ta có:

\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\]

② Trường hợp hai biến cố xung khắc (\(A \cap B = \emptyset\)):

\[P(A \cup B) = P(A) + P(B)\]

• Mở rộng: Nếu \(A_1, A_2, \dots, A_k\) đôi một xung khắc thì:

\[P(A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_k) = P(A_1) + P(A_2) + \dots + P(A_k)\]

3. Công thức nhân xác suất

① Áp dụng cho hai biến cố độc lập: Nếu \(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập với nhau thì:

\[P(A \cap B) = P(A \cdot B) = P(A) \cdot P(B)\]

• Mở rộng: Nếu \(A_1, A_2, \dots, A_k\) là các biến cố độc lập toàn phần thì:

\[P(A_1 \cap A_2 \cap \dots \cap A_k) = P(A_1) \cdot P(A_2) \dots P(A_k)\]

• Ghi chú: Nếu \(A\) và \(B\) độc lập thì các cặp biến cố \((A \text{ và } \bar{B})\), \((\bar{A} \text{ và } B)\), \((\bar{A} \text{ và } \bar{B})\) cũng độc lập.

4. Công thức xác suất có điều kiện và công thức nhân tổng quát

① Xác suất có điều kiện: Cho hai biến cố \(A\) và \(B\) với \(P(B) > 0\). Xác suất của biến cố \(A\) khi biến cố \(B\) đã xảy ra được ký hiệu là \(P(A|B)\) và được tính bởi:

\[P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\]

② Công thức nhân tổng quát:

\[P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B) = P(A) \cdot P(B|A)\]

5. Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes (Nâng cao)

① Công thức xác suất toàn phần: Giả sử hệ các biến cố \(B_1, B_2, \dots, B_n\) tạo thành một hệ đầy đủ các biến cố (\(B_i \cap B_j = \emptyset\) với \(i \neq j\) và \(\bigcup_{i=1}^n B_i = \Omega\), \(P(B_i) > 0\)). Khi đó với mọi biến cố \(A\):

\[P(A) = \sum_{i=1}^n P(B_i) \cdot P(A|B_i) = P(B_1)P(A|B_1) + \dots + P(B_n)P(A|B_n)\]

② Công thức Bayes: Với \(P(A) > 0\) và \(k \in \{1, 2, \dots, n\}\):

\[P(B_k|A) = \frac{P(B_k) \cdot P(A|B_k)}{P(A)} = \frac{P(B_k) \cdot P(A|B_k)}{\sum_{i=1}^n P(B_i) \cdot P(A|B_i)}\]

Xem và tải file PDF đầy đủ

[Tải về file PDF]

Tổng hợp chi tiết các công thức tính xác suất quan trọng môn Toán bao gồm: xác suất biến cố đối, công thức cộng, nhân xác suất, xác suất có điều kiện cùng các công thức nâng cao như xác suất toàn phần và Bayes. 1. Công thức xác suất của biến cố đối …

Lý thuyết Phương trình đường thẳng trong không gian Oxyz - Toán 12

Tóm tắt bài học: Chuyên đề Phương trình đường thẳng trong không gian Oxyz bao gồm định nghĩa vectơ chỉ phương, phương trình tham số, phương trình chính tắc và phương pháp lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt.

A. Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Vectơ \( \vec{u} \neq \vec{0} \) được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng \( \Delta \) nếu giá của \( \vec{u} \) song song hoặc trùng với \( \Delta \).

Chú ý:

• Đường thẳng hoàn toàn xác định khi biết một điểm mà nó đi qua và một vectơ chỉ phương.
• Nếu \( \vec{u} \) là một vectơ chỉ phương của \( \Delta \) thì \( k\vec{u} \) (với \( k \) là một số khác 0) cũng là một vectơ chỉ phương của \( \Delta \).

B. Phương trình tham số của đường thẳng

Định nghĩa: Trong không gian \( Oxyz \), cho đường thẳng \( \Delta \) đi qua điểm \( A(x_0; y_0; z_0) \) và có vectơ chỉ phương \( \vec{u} = (a; b; c) \).

Hệ phương trình:

\[\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases}\]

được gọi là phương trình tham số của đường thẳng \( \Delta \) (\( t \) là tham số, \( t \in \mathbb{R} \)).

Chú ý: Cho mặt phẳng \( (\alpha) \) có phương trình tổng quát là \( Ax + By + Cz + D = 0 \). Khi đó:

• Với các số \( a, b, c \) không đồng thời bằng 0 thì hệ phương trình:\[\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})\]xác định một đường thẳng đi qua \( M(x_0; y_0; z_0) \) và có vectơ chỉ phương là \( \vec{u} = (a; b; c) \).
• Từ phương trình tham số của đường thẳng, mỗi giá trị của tham số tương ứng với một điểm thuộc đường thẳng đó và ngược lại.

C. Phương trình chính tắc của đường thẳng

Trong không gian \( Oxyz \), cho đường thẳng \( \Delta \) đi qua điểm \( A(x_0; y_0; z_0) \) và có vectơ chỉ phương \( \vec{u} = (a; b; c) \) với \( a, b, c \) là các số khác 0.

Hệ phương trình:

\[\frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c}\]

được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng \( \Delta \).

D. Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm

Trong không gian \( Oxyz \), cho hai điểm phân biệt \( A_1(x_1; y_1; z_1) \) và \( A_2(x_2; y_2; z_2) \).

Đường thẳng \( A_1A_2 \) có vectơ chỉ phương:

\[\overrightarrow{A_1 A_2} = (x_2 - x_1; y_2 - y_1; z_2 - z_1)\]

Xem và tải file PDF đầy đủ

[Tải về file PDF]

Tóm tắt bài học: Chuyên đề Phương trình đường thẳng trong không gian Oxyz bao gồm định nghĩa vectơ chỉ phương, phương trình tham số, phương trình chính tắc và phương pháp lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt. A. Vectơ chỉ phương c…

Công thức tính Góc trong không gian Oxyz Toán 12

Tóm tắt kiến thức lý thuyết và các công thức xác định góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng trong hệ tọa độ Oxyz.

1. Góc giữa hai đường thẳng

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai đường thẳng \(\Delta_1, \Delta_2\) tương ứng có \(\vec{u}_1 = (a_1; b_1; c_1)\) và \(\vec{u}_2 = (a_2; b_2; c_2)\) là hai vectơ chỉ phương. Khi đó, ta có:
\[\cos(\Delta_1, \Delta_2) = |\cos(\vec{u}_1, \vec{u}_2)| = \frac{|\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2|}{|\vec{u}_1| \cdot |\vec{u}_2|} = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \cdot \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}\]

2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(\Delta\) có vectơ chỉ phương \(\vec{u} = (a; b; c)\) và mặt phẳng \((P)\) có vectơ pháp tuyến \(\vec{n} = (A; B; C)\). Khi đó, ta có:
\[\sin(\Delta, (P)) = |\cos(\vec{u}, \vec{n})| = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{n}|} = \frac{|aA + bB + cC|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \cdot \sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\]

3. Góc giữa hai mặt phẳng

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai mặt phẳng \((P_1), (P_2)\) có hai vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\vec{n}_1 = (A_1; B_1; C_1)\) và \(\vec{n}_2 = (A_2; B_2; C_2)\). Khi đó, ta có:
\[\cos((P_1), (P_2)) = |\cos(\vec{n}_1, \vec{n}_2)| = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| \cdot |\vec{n}_2|} = \frac{|A_1 A_2 + B_1 B_2 + C_1 C_2|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} \cdot \sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}}\]

Xem và tải file PDF đầy đủ

[Tải về file PDF]

Tóm tắt kiến thức lý thuyết và các công thức xác định góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng trong hệ tọa độ Oxyz. 1. Góc giữa hai đường thẳng Trong không gian \(Oxyz\), cho hai đường thẳng \(\Delta_1, \D…

Công thức tính khoảng cách trong hệ tọa độ không gian Oxyz

Tóm tắt toàn bộ lý thuyết và công thức tính khoảng cách trong không gian Oxyz: khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng và khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.

Chương: HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN - Chủ đề: KHOẢNG CÁCH

1. Khoảng cách từ điểm tới đường thẳng

Cho đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A\) và có vectơ chỉ phương \(\vec{u}\). Khi đó, khoảng cách từ điểm \(M\) tới đường thẳng \(d\) được tính theo công thức:

\[d(M, d) = \frac{\left| \left[ \overrightarrow{AM}, \vec{u} \right] \right|}{\left| \vec{u} \right|}\]

2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Cho đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\), có vectơ chỉ phương \(\vec{u}\) và đường thẳng \(d'\) đi qua điểm \(M'\), có vectơ chỉ phương \(\vec{u}'\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau \(d\) và \(d'\) là:

\[d(d, d') = \frac{\left| \left[ \vec{u}, \vec{u}' \right] \cdot \overrightarrow{MM'} \right|}{\left| \left[ \vec{u}, \vec{u}' \right] \right|}\]

3. Khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng

Khoảng cách từ điểm \(M(x_0; y_0; z_0)\) tới mặt phẳng \((P)\) có phương trình \(Ax + By + Cz + D = 0\) được tính theo công thức:

\[d(M, (P)) = \frac{\left| Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D \right|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\]

4. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Cho hai mặt phẳng song song \((P): Ax + By + Cz + D = 0\) và \((Q): Ax + By + Cz + D' = 0\). Khi đó:

\[d((P), (Q)) = \frac{\left| D - D' \right|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\]

Tóm tắt toàn bộ lý thuyết và công thức tính khoảng cách trong không gian Oxyz: khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng và khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song. Chương…

Lý thuyết Tích có hướng của hai vectơ và ứng dụng trong không gian Oxyz

Tóm tắt hệ thống kiến thức trọng tâm về Tích có hướng của hai vectơ trong hệ tọa độ Oxyz cùng các công thức ứng dụng để tính diện tích tam giác, diện tích hình bình hành, thể tích tứ diện, thể tích hình hộp và xét điều kiện đồng phẳng.

1. Định nghĩa tích có hướng của hai vectơ

Trong không gian \(Oxyz\), cho \(\vec{a} = (a_1; a_2; a_3)\), \(\vec{b} = (b_1; b_2; b_3)\). Khi đó, tích có hướng của \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) là một vectơ, ký hiệu là \([\vec{a}, \vec{b}]\), có tọa độ xác định bởi:

\[[\vec{a}, \vec{b}] = \left( \begin{vmatrix} a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} a_3 & a_1 \\ b_3 & b_1 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix} \right) = (a_2 b_3 - a_3 b_2; a_3 b_1 - a_1 b_3; a_1 b_2 - a_2 b_1)\]

2. Tính chất của tích có hướng

• \(\vec{a}\) cùng phương \(\vec{b} \Leftrightarrow [\vec{a}, \vec{b}] = \vec{0}\)
• \([\vec{a}, \vec{b}] = -[\vec{b}, \vec{a}]\)
• \([\vec{a}, \vec{b}] \perp \vec{a}\) và \([\vec{a}, \vec{b}] \perp \vec{b}\)
• \(\left|[\vec{a}, \vec{b}]\right| = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \sin(\vec{a}, \vec{b})\)

3. Ứng dụng trong tính diện tích và thể tích

Diện tích tam giác ABC: \[S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} \left|[\vec{AB}, \vec{AC}]\right|\]

Diện tích hình bình hành ABCD: \[S_{ABCD} = \left|[\vec{AB}, \vec{AD}]\right|\]

Thể tích tứ diện ABCD: \[V = \frac{1}{6} \left|[\vec{AB}, \vec{AC}] \cdot \vec{AD}\right|\]

Thể tích hình hộp ABCD.A'B'C'D': \[V = \left|[\vec{AB}, \vec{AD}] \cdot \vec{AA'}\right|\]

4. Tính đồng phẳng

• \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) đồng phẳng khi \([\vec{a}, \vec{b}] \cdot \vec{c} = 0\)
• \(A, B, C, D\) đồng phẳng khi \([\vec{AB}, \vec{AC}] \cdot \vec{AD} = 0\)

Tóm tắt hệ thống kiến thức trọng tâm về Tích có hướng của hai vectơ trong hệ tọa độ Oxyz cùng các công thức ứng dụng để tính diện tích tam giác, diện tích hình bình hành, thể tích tứ diện, thể tích hình hộp và xét điều kiện đồng phẳng. 1. Định nghĩa…

Lý thuyết và phương pháp tính Khoảng cách trong không gian

Bài viết tổng hợp định nghĩa, quy tắc đổi điểm và 4 bước xác định khoảng cách từ một điểm tới mặt phẳng, khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, cùng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song trong hình học không gian. 1. Khoảng cách từ …

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian - Hình học 11

Tóm tắt toàn bộ lý thuyết, khái niệm đoạn vuông góc chung và các phương pháp xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Định nghĩa 1: Cho hai đường thẳng chéo nhau \(a\) và \(b\).…