Đề thi chọn Học sinh giỏi Quốc gia năm học 2026 - 2027 môn Toán - Chuyên ĐH Vinh

Trường chuyên Đại học Vinh - ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI DỰ THI QUỐC GIA THPT - NĂM HỌC 2026 - 2027
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

NỘI DUNG ĐỀ THI (Ngày 1)

Bài 1 (5,0 điểm). Tìm tất cả các số thực \(a,b\) để tồn tại hàm \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) khác hằng và thỏa mãn \[f\left(ax^3 + y^2\right) = f\left(by^3 + x^2\right), \quad \forall x, y \in \mathbb{R}.\]

Bài 2 (5,0 điểm). Cho số nguyên dương \(n\). Tìm tất cả các đa thức \(P(x) \in \mathbb{R}[x]\) khác hằng, chỉ có nghiệm thực và thỏa mãn đẳng thức sau với mọi \(x \in \mathbb{R}\): \[16^n P\left(\frac{x^3 + 3x}{4}\right) = \left(x^4 + 7x^2 + 16\right)^n P(x).\]

Bài 3 (5,0 điểm). Có \(30\) học sinh tham dự một khóa học gồm \(100\) tiết. Kết thúc khóa học, những học sinh đi học ít hơn \(56\) tiết sẽ không được dự thi cuối khóa. Biết rằng trong mỗi tiết học đều có nhiều hơn nửa số học sinh vắng mặt.
a) Chứng minh rằng có ít nhất một học sinh không được dự thi cuối khóa.
b) Tìm số nguyên \(N\) lớn nhất sao cho chắc chắn có ít nhất \(N\) học sinh không được dự thi cuối khóa.

Bài 4 (5,0 điểm).
a) Giả sử \(a\) là một số nguyên dương và \(p\) là một số nguyên tố. Chứng minh rằng: \[a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p^2} \Leftrightarrow a^{(p-1)^2} \equiv 1 \pmod{p^2}.\]
b) Tìm tất cả các số nguyên dương \(x, y\) và số nguyên tố \(p\) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:
    i) \(5^{(p-1)^2} - 1\) không chia hết cho \(p^2\);
    ii) \(p^x + 5 = y^p\).

Xem và tải file PDF đầy đủ

[Tải về file PDF]

Trường chuyên Đại học Vinh - ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI DỰ THI QUỐC GIA THPT - NĂM HỌC 2026 - 2027 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) NỘI DUNG ĐỀ THI (Ngày 1) Bài 1 (5,0 điểm). Tìm tất cả các số thực \(a,b\) để tồn tạ…

Đề thi chọn đội tuyển HSG Quốc gia môn Toán năm 2026 – 2027 Sở GD&ĐT Thanh Hóa

Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh chọn đội tuyển tham dự kỳ thi HSG Quốc gia môn Toán năm học 2026 - 2027 của Sở Giáo dục và Đào tạo Thanh Hóa gồm 3 câu hỏi thuộc các phân môn Đại số, Hình học phẳng và Tổ hợp. Thời gian làm bài: 180 phút.

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Câu 1 (7,0 điểm). Với \(n\) là số nguyên dương, xét các số thực dương \(a_0, a_1, \dots, a_n\) thỏa mãn các điều kiện: \(a_0\) là một số nguyên, \(\sum_{i=1}^n \frac{1}{a_i} \le 1\) và \(a_i \le a_{i-1} + 1\) với mọi \(i \in \{1, 2, \dots, n\}\).

a) Chứng minh rằng \(n \le 2a_0\).

b) Tìm hằng số \(C\) nhỏ nhất để \(n \le C a_0 \sum_{i=1}^n \frac{1}{a_i}\) với mọi \(n \ge 1\).

Câu 2 (7,0 điểm). Cho tam giác nhọn \(ABC\) (\(AB < AC\)) nội tiếp đường tròn \((O)\), có tâm đường tròn nội tiếp là \(I\). Đường thẳng vuông góc với \(AI\) tại \(I\) cắt \(AB, AC\) lần lượt tại \(E\) và \(F\). Đường tròn ngoại tiếp tam giác \(AEF\) cắt đường tròn \((O)\) và đường thẳng \(AI\) tương ứng tại \(G, H\) (\(G\) khác \(A\)).

a) Gọi \((O_1)\) là đường tròn tiếp xúc với các cạnh \(AB, AC\) và tiếp xúc trong với đường tròn \((O)\) tại \(T\). Chứng minh rằng bốn điểm \(G, T, H, I\) cùng thuộc một đường tròn.

b) Tiếp tuyến tại \(G\) của \((O)\) cắt đường thẳng \(BC\) tại \(J\), đường thẳng \(AJ\) cắt đường tròn \((O)\) tại điểm \(K\) khác \(A\). Gọi \(D\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) lên đường thẳng \(BC\). Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác \(DJK\) và đường tròn ngoại tiếp tam giác \(GHI\) tiếp xúc với nhau.

Câu 3 (6,0 điểm). Một điểm lưới là một điểm \((x; y)\) trên mặt phẳng tọa độ sao cho \(x, y\) là các số nguyên dương không vượt quá 20. Ta nói điểm \(B = (x'; y')\) nằm về phía Đông Bắc của điểm \(A = (x; y)\) nếu \(x' > x\) và \(y' > y\). Ba điểm lưới \(A, B, C\) được gọi là một bộ ba Đông Bắc nếu \(B\) nằm về phía Đông Bắc của \(A\) và \(C\) nằm về phía Đông Bắc của \(B\).

Một tập hợp gồm 20 điểm lưới được gọi là Lam Sơn nếu mọi đường thẳng đi qua hai điểm trong tập hợp đều không song song với các trục tọa độ, đồng thời tập hợp chứa ít nhất một bộ ba Đông Bắc.

a) Chứng minh rằng trong mỗi tập Lam Sơn luôn tồn tại ba điểm \(X, Y, Z\) sao cho \(XY^2 \ge XZ^2 + ZY^2 + 4\).

b) Hỏi có bao nhiêu tập Lam Sơn?

Xem và tải file PDF đầy đủ

[Tải về file PDF]

Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh chọn đội tuyển tham dự kỳ thi HSG Quốc gia môn Toán năm học 2026 - 2027 của Sở Giáo dục và Đào tạo Thanh Hóa gồm 3 câu hỏi thuộc các phân môn Đại số, Hình học phẳng và Tổ hợp. Thời gian làm bài: 180 phút. ĐỀ THI C…

Đề thi chọn đội tuyển HSG Quốc gia môn Toán năm 2026 – 2027 Sở GD-ĐT Đồng Nai

Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi THPT cấp quốc gia môn Toán năm học 2026 – 2027 (Ngày thứ nhất) do Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Đồng Nai tổ chức ngày 27/8/2026. Đề thi gồm 4 câu hỏi tự luận với thời gian làm bài 180 phút, bao gồm các chủ đề: Phương trình hàm, Dãy số, Đa thức và Tập hợp / Số học.

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Câu 1. (4,0 điểm) Tìm tất cả các hàm số \(f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}\) thỏa mãn

\[ f(m + f(n)) = f(m) + 9n, \]

với mọi số nguyên \(m, n\).

Câu 2. (6,0 điểm) Cho dãy số \((u_n)\) xác định bởi \(u_1 = 1\) và \(u_{n+1} = \frac{u_n + 4}{u_n + 1}, \forall n \in \mathbb{N}^*\).

a) Chứng minh dãy số đã cho có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.

b) Chứng minh tồn tại hàm phân thức \(f(x) = \frac{x+a}{x+b}\) \((a \neq b)\) sao cho dãy \((f(u_n))\) lập thành một cấp số nhân.

Câu 3. (5,0 điểm) Đặt \(A = 2026! + 1\) và xét đa thức

\[ P(x) = A x^{4050} + b_1 x^{4048} + b_2 x^{4046} + \dots + b_{2024} x^2 + A, \]

trong đó \(b_1, b_2, \dots, b_{2024}\) là các số nguyên. Chứng minh \(P(x)\) không có nghiệm hữu tỉ trong mỗi trường hợp sau:

a) \(b_1 + b_2 + b_3 + \dots + b_{2024} = 2025\).

b) \(b_1 + b_3 + \dots + b_{2023} = 2025\) và \(b_2 + b_4 + \dots + b_{2024} = 1\).

Câu 4. (5,0 điểm) Xét tập hợp \(A\) gồm \(n\) số tự nhiên \(x_1, x_2, \dots, x_n\) thỏa mãn cả hai điều kiện sau:

i) \(1 = x_1 < x_2 < \dots < x_n = 2026\).

ii) Với mọi \(k \in \{2, 3, \dots, n\}\), luôn tồn tại \(i, j \in \mathbb{N}^*\) với \(i < k, j < k\) sao cho \(x_k = x_i + x_j\) (\(x_i\) có thể bằng \(x_j\)).

a) Chỉ ra một tập hợp \(A\) với \(n = 15\).

b) Chứng minh \(n \ge 13\).

Xem và tải file PDF đầy đủ

[Tải về file PDF]

Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi THPT cấp quốc gia môn Toán năm học 2026 – 2027 (Ngày thứ nhất) do Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Đồng Nai tổ chức ngày 27/8/2026. Đề thi gồm 4 câu hỏi tự luận với thời gian làm bài 180 phút, bao gồm các chủ đề: Phươ…

Đề thi chọn HSG THPT môn Toán năm 2026 – 2027 Sở GD&ĐT Hà Nội Bảng A

Tài liệu trích dẫn Phần I - Trả lời ngắn của Đề thi chọn học sinh giỏi thành phố và chọn đội tuyển HSG dự thi Quốc gia môn Toán (Bảng A) lớp 12 THPT năm học 2026 – 2027 do Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội tổ chức ngày 14/09/2026.

PHẦN I. CÂU HỎI TRẢ LỜI NGẮN

Câu 1. Xét \(A\) và \(B\) là hai biến cố của một phép thử. Biết rằng xác suất của các biến cố \(\overline{A}, B, A \cap B\) lần lượt là \(P(\overline{A}) = 0{,}7\); \(P(B) = 0{,}6\) và \(P(A \cap B) = 0{,}1\). Hỏi xác suất của biến cố \(A \cup B\) bằng bao nhiêu?

Câu 2. Một chất điểm chuyển động có phương trình chuyển động là \(s(t) = -\frac{1}{2}t^2 + 20t\) (đơn vị: mét), với \(t \ge 0\) (đơn vị: giây). Sau 8 giây tính từ khi chất điểm bắt đầu chuyển động, vận tốc tức thời của chất điểm bằng bao nhiêu mét/giây?

Câu 3. Ban chấp hành Đoàn thanh niên lớp 10A tổ chức cho các bạn trong lớp đăng kí tham gia các câu lạc bộ (CLB) của trường. Kết quả thu được như sau:

• Tham gia CLB bóng đá: có 10 học sinh;
• Tham gia CLB bóng chuyền: có 7 học sinh;
• Tham gia CLB bóng rổ: có 6 học sinh.

Trong danh sách đăng kí ở trên:

• Có 4 học sinh đăng kí tham gia cả CLB bóng đá và CLB bóng chuyền;
• Có 3 học sinh đăng kí tham gia cả CLB bóng đá và CLB bóng rổ;
• Có 2 học sinh đăng kí tham gia cả CLB bóng chuyền và CLB bóng rổ;
• Có 1 học sinh đăng kí tham gia cả ba câu lạc bộ.

Hỏi có bao nhiêu học sinh lớp 10A đăng kí tham gia ít nhất một trong ba câu lạc bộ?

Câu 4. Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \((0; 2)\) thỏa mãn \(\lim_{x \to 1} \frac{f(x) - 2}{x - 1} = 4\). Giá trị của giới hạn \[\lim_{x \to 1} \frac{2x - \sqrt{f(x) + 2}}{x^2 - 3x + 2}\] bằng bao nhiêu?

Câu 5. Một vệ tinh nhân tạo bay quanh Trái Đất theo quỹ đạo là một đường elip (tham khảo hình vẽ). Giả sử độ cao \(h\) (km) của vệ tinh so với bề mặt Trái Đất được mô hình hóa bởi công thức \[h = 550 - 450 \cos\left(\frac{\pi}{50}t\right)\] trong đó \(t\) (phút) là thời gian tính từ lúc vệ tinh bắt đầu bay vào quỹ đạo.

Trong khoảng thời gian 200 phút tính từ lúc vệ tinh bắt đầu bay vào quỹ đạo, có bao nhiêu lần độ cao của vệ tinh so với bề mặt Trái Đất là 325 km?

Câu 6. Kết quả đo khối lượng (đơn vị: gam) của 30 củ cà rốt ở một nông trại được cho bởi bảng dưới đây:

Khối lượng (gam)	[70; 80)	[80; 90)	[90; 100)	[100; 110)	[110; 120)
Số củ cà rốt	3	5	12	6	4

Tìm mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Xem và tải file PDF đầy đủ

[Tải về file PDF]

Tài liệu trích dẫn Phần I - Trả lời ngắn của Đề thi chọn học sinh giỏi thành phố và chọn đội tuyển HSG dự thi Quốc gia môn Toán (Bảng A) lớp 12 THPT năm học 2026 – 2027 do Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội tổ chức ngày 14/09/2026. PHẦN I. CÂU HỎI TRẢ LỜ…

Đề thi chọn đội tuyển HSGQG môn Toán năm 2026 – 2027 Sở GD-ĐT Vĩnh Long

Tài liệu gồm 04 câu hỏi tự luận thuộc đề thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi quốc gia THPT năm học 2026 - 2027 môn Toán (Buổi thứ nhất) của Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Vĩnh Long, thời gian làm bài 180 phút.

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Câu 1 (5,00 điểm). Cho dãy số \((u_n)\) được xác định bởi:

\[\begin{cases} u_1 = \frac{1}{2} \\ u_{n+1} = \frac{\sqrt{u_n^2 + 4u_n} + u_n}{2} \end{cases} \quad (\forall n \in \mathbb{N}^*)\]

Đặt \(v_n = \sum_{i=1}^n \frac{1}{u_i^2}\) \((\forall n \in \mathbb{N}^*)\). Chứng minh rằng dãy số \((v_n)\) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Câu 2 (5,00 điểm).

a) Giải phương trình \(\sqrt{(x-3)(x+5)} + \sqrt{x-3} + \sqrt{x+5} = \frac{10-x}{2} + \sqrt{x+12}\).

b) Giải hệ phương trình \(\begin{cases} x^3 - x^2 y = x^2 - x + y + 1 \\ 5\sqrt{x+2} + \sqrt{y+3} = 3x^2 - y + 1 \end{cases}\).

Câu 3 (5,00 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\) cho parabol \((P): y^2 = 4x\). Gọi \(M\) là điểm di động trên \((P)\), \(T\) là điểm trên \((P)\) sao cho \(OT \perp OM\) (\(M\) và \(T\) đều không trùng với \(O\)). Chứng minh rằng khi \(M\) di động trên \((P)\) thì đường thẳng \(MT\) luôn đi qua một điểm cố định và đồng thời trung điểm của đoạn thẳng \(MT\) luôn chạy trên một parabol cố định.

Câu 4 (5,00 điểm). Cho bảng ô vuông kích thước \(2 \times 4\) gồm 8 ô vuông. Sử dụng 4 màu khác nhau để tô cho 8 ô sao cho mỗi ô chỉ được tô đúng một màu. Hỏi có bao nhiêu cách tô màu thỏa mãn trong các cặp ô vuông có chung cạnh, có đúng một cặp được tô cùng màu, còn tất cả các cặp chung cạnh khác đều được tô khác màu?

Xem và tải file PDF đầy đủ

[Tải về file PDF]

Tài liệu gồm 04 câu hỏi tự luận thuộc đề thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi quốc gia THPT năm học 2026 - 2027 môn Toán (Buổi thứ nhất) của Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Vĩnh Long, thời gian làm bài 180 phút. ĐỀ THI CHÍNH THỨC Câu 1 (5,00 điểm). …

Đề thi chọn đội tuyển HSG THPT năm học 2026 - 2027 Sở GD-ĐT Cà Mau môn Toán

Tài liệu gồm 04 câu hỏi tự luận thuộc kỳ thi chọn đội tuyển học sinh giỏi THPT cấp tỉnh môn Toán năm học 2026 - 2027 của Sở Giáo dục và Đào tạo Cà Mau (Buổi thi thứ nhất). Đề thi bao phủ các chủ đề Phương trình hàm, Dãy số, Bất đẳng thức, Số học và Hình học phẳng.

ĐỀ THI CHÍNH THỨC - BUỔI THI THỨ NHẤT

Câu 1 (5,0 điểm).
Cho hàm số \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) liên tục, khác hằng và thoả mãn:
\[f(x^3) + 1 = (x f(x) + 2x^2 - 1)^2, \quad \forall x \in \mathbb{R}.\]
Xét dãy số thực \((u_n)\) xác định bởi \(u_1 = m \in \mathbb{R}\) và \(u_{n+1} = f(u_n), \quad \forall n \ge 1.\)
a) Chứng minh rằng tồn tại \(m > 1\) để dãy số \((u_n)\) là dãy hằng.
b) Giả sử \(f\) là đa thức khác hằng, hỏi có bao nhiêu số thực \(m \in (-1; 3)\) để \(u_{2027} = 1\)?

Câu 2 (5,0 điểm).
Với \(n\) nguyên dương, xét các số thực thay đổi \(x_1, x_2, \dots, x_n \in [-1; 1]\). Quy ước rằng \(x_0 = x_n\) và \(x_{n+1} = x_1\). Ký hiệu \(T = \max_{1 \le k \le n} \{x_k (x_{k-1} + x_{k+1})\}\) là số lớn nhất trong \(n\) số:
\[x_1(x_0 + x_2), x_2(x_1 + x_3), \dots, x_n(x_{n-1} + x_{n+1}).\]
a) Khi \(n = 2026\), tìm giá trị nhỏ nhất của \(T\).
b) Khi \(n = 2027\), chứng minh rằng \(T \ge -\dfrac{1}{4}\) và nêu một bộ \(x_1, x_2, \dots, x_n \in [-1; 1]\) để có đẳng thức.

Câu 3 (5,0 điểm).
Với mỗi cặp số nguyên dương \(a\) và \(b\), ký hiệu \(f(a, b) = 11a + 6b + 8ab\).
a) Chứng minh rằng với \(a, b, c, d \in \mathbb{Z}^+\) và \(m > 1\) là luỹ thừa của \(2\), nếu có
\[f(a, b) \equiv f(c, d) \pmod m \quad \text{và} \quad f(b, a) \equiv f(d, c) \pmod m\]
thì \(a - c\) và \(b - d\) đều chia hết cho \(m\). Hỏi kết luận còn đúng không nếu \(m\) có ước nguyên tố lẻ?
b) Chứng minh rằng \(k = 2\) là số tự nhiên nhỏ nhất sao cho \(f(a, b) + k\) không là số chính phương với mọi \(a, b \in \mathbb{Z}^+\).

Câu 4 (5,0 điểm).
Cho hai đường tròn \((O_1), (O_2)\) có bán kính khác nhau và cắt nhau tại hai điểm \(A, B\). Kẻ tiếp tuyến chung \(CD\) của hai đường tròn (gần \(B\) hơn) với \(C \in (O_1), D \in (O_2)\). Dựng điểm \(H\) sao cho tam giác \(HCD\) nhận \(B\) làm trực tâm. Kẻ đường kính \(CR\) của \((O_1)\) và đường kính \(DS\) của \((O_2)\). Biết rằng \(BR\) cắt \(HC\) ở \(P\) và \(BS\) cắt \(HD\) ở \(Q\). Dựng các điểm \(I, J\) sao cho các đoạn thẳng \(HI, HJ\) lần lượt nhận \(P, Q\) là trung điểm. Chứng minh rằng hai tam giác \(AIC, AJD\) có cùng bán kính đường tròn ngoại tiếp.

Xem và tải file PDF đầy đủ

[Tải về file PDF]

Tài liệu gồm 04 câu hỏi tự luận thuộc kỳ thi chọn đội tuyển học sinh giỏi THPT cấp tỉnh môn Toán năm học 2026 - 2027 của Sở Giáo dục và Đào tạo Cà Mau (Buổi thi thứ nhất). Đề thi bao phủ các chủ đề Phương trình hàm, Dãy số, Bất đẳng thức, Số học và …

Đề thi chọn học sinh giỏi THCS cấp tỉnh môn Toán năm học 2025 - 2026 Sở GD-ĐT Cà Mau

Kỳ thi chọn học sinh giỏi THCS cấp tỉnh năm học 2025 – 2026

Môn thi: Toán | Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Đơn vị tổ chức: Sở Giáo dục và Đào tạo Cà Mau

Ngày thi: 05/04/2026

ĐỀ BÀI

Bài 1. (3,0 điểm)

Cho biểu thức \[A = \frac{2x + \sqrt{16x} + 6}{x + 2\sqrt{x} - 3} + \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 1} + \frac{3}{\sqrt{x} + 3} - 2\] với \(0 \le x \ne 1\).

a) Rút gọn biểu thức \(A\).

b) Tìm tất cả các giá trị \(x\) nguyên để \(A\) là số nguyên.

Bài 2. (3,0 điểm)

a) Giải phương trình \((x+4)(x-2) - 2\sqrt{x^2+2x-5} = 0\).

b) Vừa qua, ngày 15/3/2026, cử tri cả nước nô nức đi bỏ phiếu bầu cử đại biểu Quốc hội và đại biểu Hội đồng nhân dân các cấp nhiệm kỳ mới. Tại một đơn vị bầu cử X, danh sách các ứng cử viên đại biểu Hội đồng nhân dân cấp tỉnh gồm có nam và nữ. Sau khi kết thúc bỏ phiếu và kiểm phiếu, Hội đồng bầu cử công bố ghi nhận số đại biểu trúng cử Hội đồng nhân dân cấp tỉnh ít hơn số ứng cử viên là 3 người. Biết rằng, nếu lấy 5 lần số ứng cử viên nam cộng với 4 lần số ứng cử viên nữ thì được 42 người. Tổng số ứng cử viên bằng 3 lần của hiệu giữa số đại biểu trúng cử và số ứng cử viên nữ. Hãy tính số ứng cử viên nam, ứng cử viên nữ và số đại biểu đã trúng cử Hội đồng nhân dân cấp tỉnh tại đơn vị này.

Bài 3. (2,0 điểm)

Cho đường thẳng \((d): y = x + m\) và parabol \((P): y = 2x^2\).

a) Khi \(m = 3\), hãy tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng \((d)\) và parabol \((P)\).

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để đường thẳng \((d)\) cắt parabol \((P)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \(x_1, x_2\) thỏa mãn \((2x_1^2 - x_2 - m)^2 + (2x_2^2 - x_1 - m)^2 = 504\).

Bài 4. (2,0 điểm)

Viết ngẫu nhiên một số tự nhiên chẵn có 3 chữ số và bé hơn 450.

a) Có tất cả bao nhiêu kết quả xảy ra trong phép thử trên?

b) Tính xác suất để số viết ra là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp.

Xem và tải file PDF đầy đủ

[Tải về file PDF]

Kỳ thi chọn học sinh giỏi THCS cấp tỉnh năm học 2025 – 2026 Môn thi: Toán | Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đơn vị tổ chức: Sở Giáo dục và Đào tạo Cà Mau Ngày thi: 05/04/2026 ĐỀ BÀI Bài 1. (3,0 điểm) Cho biểu thức \[A = …

Phương pháp tính tích phân hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối và nhiều công thức

Tài liệu hệ thống kiến thức trọng tâm và phương pháp giải các dạng toán tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối và tích phân của hàm số cho bởi nhiều công thức liên tục.

Dạng 1: Tích phân của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

Phương pháp: Ta thực hiện theo một trong hai cách sau:

Cách 1:

• Cho \(f(x) = 0\) tìm nghiệm \(\in [a; b]\), giả sử các nghiệm đó là \(x_1, x_2, \dots, x_n \in [a; b]\)
• Khi đó: \[I = \int_{a}^{b} |f(x)| dx = \int_{a}^{x_1} |f(x)| dx + \int_{x_1}^{x_2} |f(x)| dx + \int_{x_2}^{x_3} |f(x)| dx + \dots + \int_{x_n}^{b} |f(x)| dx\] \[\Leftrightarrow I = \left| \int_{a}^{x_1} f(x) dx \right| + \left| \int_{x_1}^{x_2} f(x) dx \right| + \left| \int_{x_2}^{x_3} f(x) dx \right| + \dots + \left| \int_{x_n}^{b} f(x) dx \right|\]
• Tính mỗi tích phân thành phần.

Cách 2:

• Cho \(f(x) = 0\) tìm nghiệm \(\in [a; b]\).
• Xét dấu \(f(x)\) trên \([a; b]\).
• Áp dụng công thức giá trị tuyệt đối: \[|A| = \begin{cases} A & \text{khi } A > 0 \\ -A & \text{khi } A < 0 \end{cases}\] để phá trị tuyệt đối trong \(\int_{a}^{b}\).
• Tính mỗi tích phân thành phần.

Dạng 2: Tích phân của hàm số cho bởi nhiều công thức

Phương pháp: Có hai bài toán trong dạng này

Bài toán 1: Cho hàm số \(f(x) = \begin{cases} g(x) & \text{khi } x \le b \\ h(x) & \text{khi } x > b \end{cases}\) liên tục trên \(D\). Tính \(I = \int_{a}^{c} f(x) dx\). Xét \(b \in [a; c]\).

• Bước 1: Kiểm tra hàm số \(f(x)\) có liên tục tại \(x = b\)?
  Tức là kiểm tra: \[\lim_{x \to b^-} f(x) = \lim_{x \to b^+} f(x) = f(b) \Leftrightarrow \lim_{x \to b^-} g(x) = \lim_{x \to b^+} h(x) = f(b)\]
• Bước 2: Tách cận: \[J = \int_{a}^{c} f(x) dx = \int_{a}^{b} g(x) dx + \int_{b}^{c} h(x) dx\]
• Bước 3: Tính các tích phân \(I_1, I_2\) bằng các phương pháp đã học.

Bài toán 2: Cho hàm số \(f(x) = \begin{cases} g(x,m) & \text{khi } x \le b \\ h(x,m) & \text{khi } x > b \end{cases}\) liên tục trên \(D\). Tính \(I = \int_{a}^{c} f(x) dx\). Xét \(b \in [a; c]\).

• Bước 1: Kiểm tra hàm số \(f(x)\) có liên tục tại \(x = b\)?
  Tức là kiểm tra: \[\lim_{x \to b^-} f(x) = \lim_{x \to b^+} f(x) = f(b) \Leftrightarrow \lim_{x \to b^-} g(x,m) = \lim_{x \to b^+} h(x,m) = f(b)\]
• Bước 2: Tách cận: \[J = \int_{a}^{c} f(x) dx = \int_{a}^{b} g(x,m) dx + \int_{b}^{c} h(x,m) dx\]
• Bước 3: Tính các tích phân \(I_1, I_2\) bằng các phương pháp đã học.

Tài liệu hệ thống kiến thức trọng tâm và phương pháp giải các dạng toán tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối và tích phân của hàm số cho bởi nhiều công thức liên tục. Dạng 1: Tích phân của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối Phương pháp: Ta thực hiện…

Tổng hợp công thức Nguyên hàm của hàm số lượng giác và hàm số mũ

Bài viết tổng hợp đầy đủ các công thức nguyên hàm của hàm số lượng giác và hàm số mũ thuộc chương trình Toán lớp 12, kèm theo các công thức biến đổi biến số quan trọng giúp học sinh ôn thi môn Toán hiệu quả.

1. Nguyên hàm của hàm số lượng giác

Các công thức thường dùng:

• \(\int \cos x \, dx = \sin x + C\)
• \(\int \sin x \, dx = -\cos x + C\)
• \(\int \frac{1}{\cos^2 x} \, dx = \tan x + C\)
• \(\int \frac{1}{\sin^2 x} \, dx = -\cot x + C\)

Chú ý các công thức biến đổi lượng giác:

• \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\)
• \(\tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} - 1\)
• \(\cot^2 x = \frac{1}{\sin^2 x} - 1\)
• \(\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}\)
• \(\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}\)
• \(\sin 2x = 2 \sin x \cos x\)
• 3 công thức đối với \(\cos2x\):\[\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 2 \cos^2 x - 1 = 1 - 2 \sin^2 x\]

2. Nguyên hàm của hàm số mũ

Các công thức thường dùng:

• \(\int e^x \, dx = e^x + C\)
• \(\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C\)

Chú ý các công thức biến đổi lũy thừa:

• \(a^x \cdot a^y = a^{x+y}\)
• \(\frac{a^x}{a^y} = a^{x-y}\)
• \((a^x)^y = a^{xy}\)

Bài viết tổng hợp đầy đủ các công thức nguyên hàm của hàm số lượng giác và hàm số mũ thuộc chương trình Toán lớp 12, kèm theo các công thức biến đổi biến số quan trọng giúp học sinh ôn thi môn Toán hiệu quả. 1. Nguyên hàm của hàm số lượng giác Các c…

Quy tắc đếm cơ bản: Quy tắc cộng, quy tắc nhân và giai thừa

Tài liệu tóm tắt lý thuyết nền tảng Đại số tổ hợp, cung cấp kiến thức toàn diện về các quy tắc đếm cơ bản: Quy tắc cộng, Quy tắc nhân và khái niệm Giai thừa kèm các công thức mở rộng.

A. QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN

1. QUY TẮC CỘNG

Định nghĩa: Một công việc có thể được thực hiện theo một trong \(k\) phương án độc lập với nhau:

• Phương án thứ 1 có \(n_1\) cách thực hiện;
• Phương án thứ 2 có \(n_2\) cách thực hiện;
• ...
• Phương án thứ \(k\) có \(n_k\) cách thực hiện.

Khi đó số cách thực hiện công việc là: \[N = n_1 + n_2 + \dots + n_k\]

Mở rộng: Quy tắc cộng thực chất là quy tắc đếm số phần tử của hợp các tập hợp hữu hạn không giao nhau: Nếu \(A\) và \(B\) là hai tập hợp hữu hạn không giao nhau (\(A \cap B = \emptyset\)) thì: \[|A \cup B| = |A| + |B|\]

2. QUY TẮC NHÂN

Định nghĩa: Một công việc bao gồm \(k\) công đoạn nối tiếp nhau để hoàn thành:

• Công đoạn thứ 1 có \(n_1\) cách thực hiện;
• Ứng với mỗi cách thực hiện công đoạn 1, có \(n_2\) cách thực hiện công đoạn thứ 2;
• ...
• Ứng với mỗi cách thực hiện các công đoạn trước, có \(n_k\) cách thực hiện công đoạn thứ \(k\).

Khi đó số cách hoàn thành công việc là: \[N = n_1 \cdot n_2 \dots n_k\]

B. GIAI THỪA

Định nghĩa: Cho số tự nhiên \(n \ge 1\). Tích của \(n\) số nguyên dương đầu tiên được gọi là \(n\)-giai thừa, ký hiệu là \(n!\). Nghĩa là: \[n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \dots n\]

• Quy ước: \(0! = 1\).
• \(n! = n \cdot (n - 1)! = n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2)!\) với \(n \ge 1\).

Xem và tải file PDF đầy đủ

[Tải về file PDF]

Tài liệu tóm tắt lý thuyết nền tảng Đại số tổ hợp, cung cấp kiến thức toàn diện về các quy tắc đếm cơ bản: Quy tắc cộng, Quy tắc nhân và khái niệm Giai thừa kèm các công thức mở rộng. A. QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN 1. QUY TẮC CỘNG Định nghĩa: Một công việc …