Đề thi chọn học sinh giỏi THCS cấp tỉnh môn Toán năm học 2025 - 2026 Sở GD-ĐT Cà Mau

Kỳ thi chọn học sinh giỏi THCS cấp tỉnh năm học 2025 – 2026

Môn thi: Toán | Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Đơn vị tổ chức: Sở Giáo dục và Đào tạo Cà Mau

Ngày thi: 05/04/2026

ĐỀ BÀI

Bài 1. (3,0 điểm)

Cho biểu thức \[A = \frac{2x + \sqrt{16x} + 6}{x + 2\sqrt{x} - 3} + \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 1} + \frac{3}{\sqrt{x} + 3} - 2\] với \(0 \le x \ne 1\).

a) Rút gọn biểu thức \(A\).

b) Tìm tất cả các giá trị \(x\) nguyên để \(A\) là số nguyên.

Bài 2. (3,0 điểm)

a) Giải phương trình \((x+4)(x-2) - 2\sqrt{x^2+2x-5} = 0\).

b) Vừa qua, ngày 15/3/2026, cử tri cả nước nô nức đi bỏ phiếu bầu cử đại biểu Quốc hội và đại biểu Hội đồng nhân dân các cấp nhiệm kỳ mới. Tại một đơn vị bầu cử X, danh sách các ứng cử viên đại biểu Hội đồng nhân dân cấp tỉnh gồm có nam và nữ. Sau khi kết thúc bỏ phiếu và kiểm phiếu, Hội đồng bầu cử công bố ghi nhận số đại biểu trúng cử Hội đồng nhân dân cấp tỉnh ít hơn số ứng cử viên là 3 người. Biết rằng, nếu lấy 5 lần số ứng cử viên nam cộng với 4 lần số ứng cử viên nữ thì được 42 người. Tổng số ứng cử viên bằng 3 lần của hiệu giữa số đại biểu trúng cử và số ứng cử viên nữ. Hãy tính số ứng cử viên nam, ứng cử viên nữ và số đại biểu đã trúng cử Hội đồng nhân dân cấp tỉnh tại đơn vị này.

Bài 3. (2,0 điểm)

Cho đường thẳng \((d): y = x + m\) và parabol \((P): y = 2x^2\).

a) Khi \(m = 3\), hãy tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng \((d)\) và parabol \((P)\).

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để đường thẳng \((d)\) cắt parabol \((P)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \(x_1, x_2\) thỏa mãn \((2x_1^2 - x_2 - m)^2 + (2x_2^2 - x_1 - m)^2 = 504\).

Bài 4. (2,0 điểm)

Viết ngẫu nhiên một số tự nhiên chẵn có 3 chữ số và bé hơn 450.

a) Có tất cả bao nhiêu kết quả xảy ra trong phép thử trên?

b) Tính xác suất để số viết ra là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp.

Xem và tải file PDF đầy đủ

[Tải về file PDF]

Kỳ thi chọn học sinh giỏi THCS cấp tỉnh năm học 2025 – 2026 Môn thi: Toán | Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đơn vị tổ chức: Sở Giáo dục và Đào tạo Cà Mau Ngày thi: 05/04/2026 ĐỀ BÀI Bài 1. (3,0 điểm) Cho biểu thức \[A = …

Phương pháp tính tích phân hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối và nhiều công thức

Tài liệu hệ thống kiến thức trọng tâm và phương pháp giải các dạng toán tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối và tích phân của hàm số cho bởi nhiều công thức liên tục.

Dạng 1: Tích phân của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

Phương pháp: Ta thực hiện theo một trong hai cách sau:

Cách 1:

• Cho \(f(x) = 0\) tìm nghiệm \(\in [a; b]\), giả sử các nghiệm đó là \(x_1, x_2, \dots, x_n \in [a; b]\)
• Khi đó: \[I = \int_{a}^{b} |f(x)| dx = \int_{a}^{x_1} |f(x)| dx + \int_{x_1}^{x_2} |f(x)| dx + \int_{x_2}^{x_3} |f(x)| dx + \dots + \int_{x_n}^{b} |f(x)| dx\] \[\Leftrightarrow I = \left| \int_{a}^{x_1} f(x) dx \right| + \left| \int_{x_1}^{x_2} f(x) dx \right| + \left| \int_{x_2}^{x_3} f(x) dx \right| + \dots + \left| \int_{x_n}^{b} f(x) dx \right|\]
• Tính mỗi tích phân thành phần.

Cách 2:

• Cho \(f(x) = 0\) tìm nghiệm \(\in [a; b]\).
• Xét dấu \(f(x)\) trên \([a; b]\).
• Áp dụng công thức giá trị tuyệt đối: \[|A| = \begin{cases} A & \text{khi } A > 0 \\ -A & \text{khi } A < 0 \end{cases}\] để phá trị tuyệt đối trong \(\int_{a}^{b}\).
• Tính mỗi tích phân thành phần.

Dạng 2: Tích phân của hàm số cho bởi nhiều công thức

Phương pháp: Có hai bài toán trong dạng này

Bài toán 1: Cho hàm số \(f(x) = \begin{cases} g(x) & \text{khi } x \le b \\ h(x) & \text{khi } x > b \end{cases}\) liên tục trên \(D\). Tính \(I = \int_{a}^{c} f(x) dx\). Xét \(b \in [a; c]\).

• Bước 1: Kiểm tra hàm số \(f(x)\) có liên tục tại \(x = b\)?
  Tức là kiểm tra: \[\lim_{x \to b^-} f(x) = \lim_{x \to b^+} f(x) = f(b) \Leftrightarrow \lim_{x \to b^-} g(x) = \lim_{x \to b^+} h(x) = f(b)\]
• Bước 2: Tách cận: \[J = \int_{a}^{c} f(x) dx = \int_{a}^{b} g(x) dx + \int_{b}^{c} h(x) dx\]
• Bước 3: Tính các tích phân \(I_1, I_2\) bằng các phương pháp đã học.

Bài toán 2: Cho hàm số \(f(x) = \begin{cases} g(x,m) & \text{khi } x \le b \\ h(x,m) & \text{khi } x > b \end{cases}\) liên tục trên \(D\). Tính \(I = \int_{a}^{c} f(x) dx\). Xét \(b \in [a; c]\).

• Bước 1: Kiểm tra hàm số \(f(x)\) có liên tục tại \(x = b\)?
  Tức là kiểm tra: \[\lim_{x \to b^-} f(x) = \lim_{x \to b^+} f(x) = f(b) \Leftrightarrow \lim_{x \to b^-} g(x,m) = \lim_{x \to b^+} h(x,m) = f(b)\]
• Bước 2: Tách cận: \[J = \int_{a}^{c} f(x) dx = \int_{a}^{b} g(x,m) dx + \int_{b}^{c} h(x,m) dx\]
• Bước 3: Tính các tích phân \(I_1, I_2\) bằng các phương pháp đã học.

Tài liệu hệ thống kiến thức trọng tâm và phương pháp giải các dạng toán tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối và tích phân của hàm số cho bởi nhiều công thức liên tục. Dạng 1: Tích phân của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối Phương pháp: Ta thực hiện…

Tổng hợp công thức Nguyên hàm của hàm số lượng giác và hàm số mũ

Bài viết tổng hợp đầy đủ các công thức nguyên hàm của hàm số lượng giác và hàm số mũ thuộc chương trình Toán lớp 12, kèm theo các công thức biến đổi biến số quan trọng giúp học sinh ôn thi môn Toán hiệu quả.

1. Nguyên hàm của hàm số lượng giác

Các công thức thường dùng:

• \(\int \cos x \, dx = \sin x + C\)
• \(\int \sin x \, dx = -\cos x + C\)
• \(\int \frac{1}{\cos^2 x} \, dx = \tan x + C\)
• \(\int \frac{1}{\sin^2 x} \, dx = -\cot x + C\)

Chú ý các công thức biến đổi lượng giác:

• \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\)
• \(\tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} - 1\)
• \(\cot^2 x = \frac{1}{\sin^2 x} - 1\)
• \(\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}\)
• \(\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}\)
• \(\sin 2x = 2 \sin x \cos x\)
• 3 công thức đối với \(\cos2x\):\[\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 2 \cos^2 x - 1 = 1 - 2 \sin^2 x\]

2. Nguyên hàm của hàm số mũ

Các công thức thường dùng:

• \(\int e^x \, dx = e^x + C\)
• \(\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C\)

Chú ý các công thức biến đổi lũy thừa:

• \(a^x \cdot a^y = a^{x+y}\)
• \(\frac{a^x}{a^y} = a^{x-y}\)
• \((a^x)^y = a^{xy}\)

Bài viết tổng hợp đầy đủ các công thức nguyên hàm của hàm số lượng giác và hàm số mũ thuộc chương trình Toán lớp 12, kèm theo các công thức biến đổi biến số quan trọng giúp học sinh ôn thi môn Toán hiệu quả. 1. Nguyên hàm của hàm số lượng giác Các c…

Quy tắc đếm cơ bản: Quy tắc cộng, quy tắc nhân và giai thừa

Tài liệu tóm tắt lý thuyết nền tảng Đại số tổ hợp, cung cấp kiến thức toàn diện về các quy tắc đếm cơ bản: Quy tắc cộng, Quy tắc nhân và khái niệm Giai thừa kèm các công thức mở rộng.

A. QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN

1. QUY TẮC CỘNG

Định nghĩa: Một công việc có thể được thực hiện theo một trong \(k\) phương án độc lập với nhau:

• Phương án thứ 1 có \(n_1\) cách thực hiện;
• Phương án thứ 2 có \(n_2\) cách thực hiện;
• ...
• Phương án thứ \(k\) có \(n_k\) cách thực hiện.

Khi đó số cách thực hiện công việc là: \[N = n_1 + n_2 + \dots + n_k\]

Mở rộng: Quy tắc cộng thực chất là quy tắc đếm số phần tử của hợp các tập hợp hữu hạn không giao nhau: Nếu \(A\) và \(B\) là hai tập hợp hữu hạn không giao nhau (\(A \cap B = \emptyset\)) thì: \[|A \cup B| = |A| + |B|\]

2. QUY TẮC NHÂN

Định nghĩa: Một công việc bao gồm \(k\) công đoạn nối tiếp nhau để hoàn thành:

• Công đoạn thứ 1 có \(n_1\) cách thực hiện;
• Ứng với mỗi cách thực hiện công đoạn 1, có \(n_2\) cách thực hiện công đoạn thứ 2;
• ...
• Ứng với mỗi cách thực hiện các công đoạn trước, có \(n_k\) cách thực hiện công đoạn thứ \(k\).

Khi đó số cách hoàn thành công việc là: \[N = n_1 \cdot n_2 \dots n_k\]

B. GIAI THỪA

Định nghĩa: Cho số tự nhiên \(n \ge 1\). Tích của \(n\) số nguyên dương đầu tiên được gọi là \(n\)-giai thừa, ký hiệu là \(n!\). Nghĩa là: \[n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \dots n\]

• Quy ước: \(0! = 1\).
• \(n! = n \cdot (n - 1)! = n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2)!\) với \(n \ge 1\).

Xem và tải file PDF đầy đủ

[Tải về file PDF]

Tài liệu tóm tắt lý thuyết nền tảng Đại số tổ hợp, cung cấp kiến thức toàn diện về các quy tắc đếm cơ bản: Quy tắc cộng, Quy tắc nhân và khái niệm Giai thừa kèm các công thức mở rộng. A. QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN 1. QUY TẮC CỘNG Định nghĩa: Một công việc …

Tóm tắt lý thuyết Phương trình mặt phẳng môn Toán 12 chi tiết

Tài liệu tóm tắt toàn bộ lý thuyết trọng tâm bài Phương trình mặt phẳng thuộc chương trình Toán 12. Nội dung bao gồm định nghĩa véc-tơ pháp tuyến, khái niệm tích có hướng, cặp véc-tơ chỉ phương và phương trình tổng quát của mặt phẳng trong không gian Oxyz.

A. Véc-tơ pháp tuyến và cặp véc-tơ chỉ phương mặt phẳng

1. Véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng:

Véc-tơ \(\vec{n} \neq \vec{0}\) được gọi là véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha)\) nếu giá của \(\vec{n}\) vuông góc với mặt phẳng \((\alpha)\).

• Mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết một điểm và một véc-tơ pháp tuyến của nó.
• Nếu \(\vec{n}\) là véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha)\) thì \(k\vec{n}\) (với \(k \neq 0\)) cũng là một véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha)\).

2. Tích có hướng của hai véc-tơ:

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai véc-tơ \(\vec{u} = (a; b; c)\) và \(\vec{v} = (a'; b'; c')\). Khi đó véc-tơ \(\vec{n} = (bc' - b'c; ca' - c'a; ab' - a'b)\) vuông góc với cả hai véc-tơ \(\vec{u}\) và \(\vec{v}\), được gọi là tích có hướng của \(\vec{u}\) và \(\vec{v}\), ký hiệu là \([\vec{u}, \vec{v}]\).

• \([\vec{u}, \vec{v}] = \vec{0}\) khi và chỉ khi \(\vec{u}, \vec{v}\) cùng phương.
• Với bốn số \(x, y, x', y'\), ta ký hiệu \(\begin{vmatrix} x & y \\ x' & y' \end{vmatrix} = xy' - x'y\). Khi đó, tích có hướng của \(\vec{u} = (a; b; c)\) và \(\vec{v} = (a'; b'; c')\) là:

\[ [\vec{u}, \vec{v}] = \left( \begin{vmatrix} b & c \\ b' & c' \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} c & a \\ c' & a' \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} a & b \\ a' & b' \end{vmatrix} \right) \]

3. Cặp véc-tơ chỉ phương của mặt phẳng:

Trong không gian \(Oxyz\), hai véc-tơ \(\vec{u}, \vec{v}\) được gọi là cặp véc-tơ chỉ phương của mặt phẳng \((P)\) nếu chúng không cùng phương và có giá nằm trong hoặc song song với mặt phẳng \((P)\).

Chú ý: Nếu \(\vec{u}, \vec{v}\) là cặp véc-tơ chỉ phương của \((P)\) thì \([\vec{u}, \vec{v}]\) là một véc-tơ pháp tuyến của \((P)\).

B. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

Trong không gian \(Oxyz\), mỗi mặt phẳng đều có phương trình dạng \(Ax + By + Cz + D = 0\), trong đó \(A, B, C\) không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng đó.

Định lý ngược: Trong không gian \(Oxyz\), mỗi phương trình \(Ax + By + Cz + D = 0\) (các hệ số \(A, B, C\) không đồng thời bằng 0) xác định một mặt phẳng nhận \(\vec{n} = (A; B; C)\) làm một véc-tơ pháp tuyến.

Xem và tải file PDF đầy đủ

[Tải về file PDF]

Tài liệu tóm tắt toàn bộ lý thuyết trọng tâm bài Phương trình mặt phẳng thuộc chương trình Toán 12. Nội dung bao gồm định nghĩa véc-tơ pháp tuyến, khái niệm tích có hướng, cặp véc-tơ chỉ phương và phương trình tổng quát của mặt phẳng trong không gia…

Tóm tắt lý thuyết Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp đầy đủ nhất

Tài liệu hệ thống hóa toàn bộ kiến thức nền tảng về Hoán vị, Chỉnh hợp và Tổ hợp thuộc chương trình Tổ hợp - Xác suất, bao gồm định nghĩa, công thức tính số cách chọn và các tính chất đại số quan trọng.

1. HOÁN VỊ

☼ Định nghĩa: Cho tập hợp \(A\) gồm \(n\) phần tử (\(n \ge 1\)). Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự \(n\) phần tử của tập hợp \(A\) được gọi là một hoán vị của \(n\) phần tử đó.

☼ Số hoán vị: Số các hoán vị của \(n\) phần tử được ký hiệu là \(P_n\) và được tính bởi công thức:

\[P_n = n! = n(n-1)(n-2)\dots 2 \cdot 1\]

2. CHỈNH HỢP

☼ Định nghĩa: Cho tập hợp \(A\) gồm \(n\) phần tử (\(n \ge 1\)). Kết quả của việc lấy \(k\) (\(1 \le k \le n\)) phần tử khác nhau từ tập hợp \(A\) và sắp xếp theo một thứ tự được gọi là một chỉnh hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử.

☼ Số chỉnh hợp: Số các chỉnh hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử (\(1 \le k \le n\)) được ký hiệu là \(A_n^k\) và được tính theo công thức:

\[A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} = n(n-1)(n-2)\dots(n-k+1)\]

• Hoán vị là trường hợp đặc biệt của chỉnh hợp khi \(k = n\): \(P_n = A_n^n = n!\).
• Quy ước: \(A_n^0 = 1\).

3. TỔ HỢP

☼ Định nghĩa: Cho tập hợp \(A\) gồm \(n\) phần tử (\(n \ge 1\)). Mỗi tập con gồm \(k\) phần tử (\(0 \le k \le n\)) lấy từ tập hợp \(A\) (không phân biệt thứ tự) được gọi là một tổ hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử.

☼ Số tổ hợp: Số các tổ hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử (\(0 \le k \le n\)) được ký hiệu là \(C_n^k\) và được xác định theo công thức:

\[C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} = \frac{A_n^k}{k!}\]

4. CÁC TÍNH CHẤT CỦA SỐ TỔ HỢP

① Tính chất đối xứng:

\[C_n^k = C_n^{n-k} \quad (0 \le k \le n)\]

② Công thức Pascal (hệ thức cộng tổ hợp):

\[C_n^k = C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^k \quad (1 \le k < n)\]

③ Quy ước và giá trị đặc biệt:

\[C_n^0 = C_n^n = 1; \quad C_n^1 = C_n^{n-1} = n\]

Xem và tải file PDF đầy đủ

[Tải về file PDF]

Tài liệu hệ thống hóa toàn bộ kiến thức nền tảng về Hoán vị, Chỉnh hợp và Tổ hợp thuộc chương trình Tổ hợp - Xác suất, bao gồm định nghĩa, công thức tính số cách chọn và các tính chất đại số quan trọng. 1. HOÁN VỊ ☼ Định nghĩa: Cho tập hợp \(A\) gồ…

Tổng hợp đầy đủ các công thức tính xác suất môn Toán THPT

Tổng hợp chi tiết các công thức tính xác suất quan trọng môn Toán bao gồm: xác suất biến cố đối, công thức cộng, nhân xác suất, xác suất có điều kiện cùng các công thức nâng cao như xác suất toàn phần và Bayes.

1. Công thức xác suất của biến cố đối

Xác suất của biến cố đối \(\bar{A}\) liên hệ với xác suất của biến cố \(A\) qua công thức:

\[P(\bar{A}) = 1 - P(A) \iff P(A) + P(\bar{A}) = 1\]

2. Công thức cộng xác suất

① Trường hợp tổng quát (biến cố bất kỳ): Với hai biến cố \(A\) và \(B\) bất kỳ, ta có:

\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\]

② Trường hợp hai biến cố xung khắc (\(A \cap B = \emptyset\)):

\[P(A \cup B) = P(A) + P(B)\]

• Mở rộng: Nếu \(A_1, A_2, \dots, A_k\) đôi một xung khắc thì:

\[P(A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_k) = P(A_1) + P(A_2) + \dots + P(A_k)\]

3. Công thức nhân xác suất

① Áp dụng cho hai biến cố độc lập: Nếu \(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập với nhau thì:

\[P(A \cap B) = P(A \cdot B) = P(A) \cdot P(B)\]

• Mở rộng: Nếu \(A_1, A_2, \dots, A_k\) là các biến cố độc lập toàn phần thì:

\[P(A_1 \cap A_2 \cap \dots \cap A_k) = P(A_1) \cdot P(A_2) \dots P(A_k)\]

• Ghi chú: Nếu \(A\) và \(B\) độc lập thì các cặp biến cố \((A \text{ và } \bar{B})\), \((\bar{A} \text{ và } B)\), \((\bar{A} \text{ và } \bar{B})\) cũng độc lập.

4. Công thức xác suất có điều kiện và công thức nhân tổng quát

① Xác suất có điều kiện: Cho hai biến cố \(A\) và \(B\) với \(P(B) > 0\). Xác suất của biến cố \(A\) khi biến cố \(B\) đã xảy ra được ký hiệu là \(P(A|B)\) và được tính bởi:

\[P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\]

② Công thức nhân tổng quát:

\[P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B) = P(A) \cdot P(B|A)\]

5. Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes (Nâng cao)

① Công thức xác suất toàn phần: Giả sử hệ các biến cố \(B_1, B_2, \dots, B_n\) tạo thành một hệ đầy đủ các biến cố (\(B_i \cap B_j = \emptyset\) với \(i \neq j\) và \(\bigcup_{i=1}^n B_i = \Omega\), \(P(B_i) > 0\)). Khi đó với mọi biến cố \(A\):

\[P(A) = \sum_{i=1}^n P(B_i) \cdot P(A|B_i) = P(B_1)P(A|B_1) + \dots + P(B_n)P(A|B_n)\]

② Công thức Bayes: Với \(P(A) > 0\) và \(k \in \{1, 2, \dots, n\}\):

\[P(B_k|A) = \frac{P(B_k) \cdot P(A|B_k)}{P(A)} = \frac{P(B_k) \cdot P(A|B_k)}{\sum_{i=1}^n P(B_i) \cdot P(A|B_i)}\]

Xem và tải file PDF đầy đủ

[Tải về file PDF]

Tổng hợp chi tiết các công thức tính xác suất quan trọng môn Toán bao gồm: xác suất biến cố đối, công thức cộng, nhân xác suất, xác suất có điều kiện cùng các công thức nâng cao như xác suất toàn phần và Bayes. 1. Công thức xác suất của biến cố đối …

Lý thuyết Phương trình đường thẳng trong không gian Oxyz - Toán 12

Tóm tắt bài học: Chuyên đề Phương trình đường thẳng trong không gian Oxyz bao gồm định nghĩa vectơ chỉ phương, phương trình tham số, phương trình chính tắc và phương pháp lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt.

A. Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Vectơ \( \vec{u} \neq \vec{0} \) được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng \( \Delta \) nếu giá của \( \vec{u} \) song song hoặc trùng với \( \Delta \).

Chú ý:

• Đường thẳng hoàn toàn xác định khi biết một điểm mà nó đi qua và một vectơ chỉ phương.
• Nếu \( \vec{u} \) là một vectơ chỉ phương của \( \Delta \) thì \( k\vec{u} \) (với \( k \) là một số khác 0) cũng là một vectơ chỉ phương của \( \Delta \).

B. Phương trình tham số của đường thẳng

Định nghĩa: Trong không gian \( Oxyz \), cho đường thẳng \( \Delta \) đi qua điểm \( A(x_0; y_0; z_0) \) và có vectơ chỉ phương \( \vec{u} = (a; b; c) \).

Hệ phương trình:

\[\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases}\]

được gọi là phương trình tham số của đường thẳng \( \Delta \) (\( t \) là tham số, \( t \in \mathbb{R} \)).

Chú ý: Cho mặt phẳng \( (\alpha) \) có phương trình tổng quát là \( Ax + By + Cz + D = 0 \). Khi đó:

• Với các số \( a, b, c \) không đồng thời bằng 0 thì hệ phương trình:\[\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})\]xác định một đường thẳng đi qua \( M(x_0; y_0; z_0) \) và có vectơ chỉ phương là \( \vec{u} = (a; b; c) \).
• Từ phương trình tham số của đường thẳng, mỗi giá trị của tham số tương ứng với một điểm thuộc đường thẳng đó và ngược lại.

C. Phương trình chính tắc của đường thẳng

Trong không gian \( Oxyz \), cho đường thẳng \( \Delta \) đi qua điểm \( A(x_0; y_0; z_0) \) và có vectơ chỉ phương \( \vec{u} = (a; b; c) \) với \( a, b, c \) là các số khác 0.

Hệ phương trình:

\[\frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c}\]

được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng \( \Delta \).

D. Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm

Trong không gian \( Oxyz \), cho hai điểm phân biệt \( A_1(x_1; y_1; z_1) \) và \( A_2(x_2; y_2; z_2) \).

Đường thẳng \( A_1A_2 \) có vectơ chỉ phương:

\[\overrightarrow{A_1 A_2} = (x_2 - x_1; y_2 - y_1; z_2 - z_1)\]

Xem và tải file PDF đầy đủ

[Tải về file PDF]

Tóm tắt bài học: Chuyên đề Phương trình đường thẳng trong không gian Oxyz bao gồm định nghĩa vectơ chỉ phương, phương trình tham số, phương trình chính tắc và phương pháp lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt. A. Vectơ chỉ phương c…

Công thức tính Góc trong không gian Oxyz Toán 12

Tóm tắt kiến thức lý thuyết và các công thức xác định góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng trong hệ tọa độ Oxyz.

1. Góc giữa hai đường thẳng

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai đường thẳng \(\Delta_1, \Delta_2\) tương ứng có \(\vec{u}_1 = (a_1; b_1; c_1)\) và \(\vec{u}_2 = (a_2; b_2; c_2)\) là hai vectơ chỉ phương. Khi đó, ta có:
\[\cos(\Delta_1, \Delta_2) = |\cos(\vec{u}_1, \vec{u}_2)| = \frac{|\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2|}{|\vec{u}_1| \cdot |\vec{u}_2|} = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \cdot \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}\]

2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(\Delta\) có vectơ chỉ phương \(\vec{u} = (a; b; c)\) và mặt phẳng \((P)\) có vectơ pháp tuyến \(\vec{n} = (A; B; C)\). Khi đó, ta có:
\[\sin(\Delta, (P)) = |\cos(\vec{u}, \vec{n})| = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{n}|} = \frac{|aA + bB + cC|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \cdot \sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\]

3. Góc giữa hai mặt phẳng

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai mặt phẳng \((P_1), (P_2)\) có hai vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\vec{n}_1 = (A_1; B_1; C_1)\) và \(\vec{n}_2 = (A_2; B_2; C_2)\). Khi đó, ta có:
\[\cos((P_1), (P_2)) = |\cos(\vec{n}_1, \vec{n}_2)| = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| \cdot |\vec{n}_2|} = \frac{|A_1 A_2 + B_1 B_2 + C_1 C_2|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} \cdot \sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}}\]

Xem và tải file PDF đầy đủ

[Tải về file PDF]

Tóm tắt kiến thức lý thuyết và các công thức xác định góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng trong hệ tọa độ Oxyz. 1. Góc giữa hai đường thẳng Trong không gian \(Oxyz\), cho hai đường thẳng \(\Delta_1, \D…

Công thức tính khoảng cách trong hệ tọa độ không gian Oxyz

Tóm tắt toàn bộ lý thuyết và công thức tính khoảng cách trong không gian Oxyz: khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng và khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.

Chương: HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN - Chủ đề: KHOẢNG CÁCH

1. Khoảng cách từ điểm tới đường thẳng

Cho đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A\) và có vectơ chỉ phương \(\vec{u}\). Khi đó, khoảng cách từ điểm \(M\) tới đường thẳng \(d\) được tính theo công thức:

\[d(M, d) = \frac{\left| \left[ \overrightarrow{AM}, \vec{u} \right] \right|}{\left| \vec{u} \right|}\]

2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Cho đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\), có vectơ chỉ phương \(\vec{u}\) và đường thẳng \(d'\) đi qua điểm \(M'\), có vectơ chỉ phương \(\vec{u}'\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau \(d\) và \(d'\) là:

\[d(d, d') = \frac{\left| \left[ \vec{u}, \vec{u}' \right] \cdot \overrightarrow{MM'} \right|}{\left| \left[ \vec{u}, \vec{u}' \right] \right|}\]

3. Khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng

Khoảng cách từ điểm \(M(x_0; y_0; z_0)\) tới mặt phẳng \((P)\) có phương trình \(Ax + By + Cz + D = 0\) được tính theo công thức:

\[d(M, (P)) = \frac{\left| Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D \right|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\]

4. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Cho hai mặt phẳng song song \((P): Ax + By + Cz + D = 0\) và \((Q): Ax + By + Cz + D' = 0\). Khi đó:

\[d((P), (Q)) = \frac{\left| D - D' \right|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\]

Tóm tắt toàn bộ lý thuyết và công thức tính khoảng cách trong không gian Oxyz: khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng và khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song. Chương…