Tóm tắt lý thuyết và công thức đường Elip - Hình học 10

Tóm tắt nội dung: Tài liệu tổng hợp toàn bộ lý thuyết về Đường Elip trong mặt phẳng tọa độ, bao gồm định nghĩa, phương trình chính tắc, tiêu điểm, tiêu cự, tọa độ các đỉnh, độ dài các trục, hình chữ nhật cơ sở, tâm sai, bán kính qua tiêu và các đường chuẩn.

1. Định nghĩa đường Elip

Cho hai điểm cố định và phân biệt \(F_1, F_2\). Đặt \(F_1 F_2 = 2c > 0\). Với số \(a > c\), tập hợp các điểm \(M\) sao cho \(MF_1 + MF_2 = 2a\) được gọi là đường elip (gọi tắt là elip).

Hai điểm \(F_1, F_2\) được gọi là hai tiêu điểm và \(F_1 F_2 = 2c\) được gọi là tiêu cự của elip.

2. Phương trình chính tắc của Elip

Phương trình chính tắc của elip có dạng:

\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad \text{với } a > b > 0\]

Trong đó \(c^2 = a^2 - b^2\).

3. Các yếu tố và tính chất của Elip

• Tiêu điểm: \(F_1(-c; 0)\) và \(F_2(c; 0)\).
• Tiêu cự: \(2c\).
• Trục đối xứng: \(Ox, Oy\); Tâm đối xứng: Gốc tọa độ \(O\).
• Các đỉnh: \[(A_1(-a; 0), A_2(a; 0), B_1(0; -b), B_2(0; b).\]
• Độ dài trục lớn: \(A_1 A_2 = 2a\).
• Độ dài trục bé: \(B_1 B_2 = 2b\).
• Hình chữ nhật cơ sở: Có bốn đỉnh là \[P(-a; b), Q(a; b), R(a; -b), S(-a; -b).\]
• Bán kính qua tiêu của điểm \(M(x; y)\):\[MF_1 = a + \frac{c}{a}x, \quad MF_2 = a - \frac{c}{a}x\]
• Tâm sai của elip: \(e = \frac{c}{a}\).
• Đường chuẩn của elip: Các đường chuẩn ứng với \(F_1\) và \(F_2\) là \(\Delta: x = \pm \frac{a}{e}\).

Tóm tắt nội dung: Tài liệu tổng hợp toàn bộ lý thuyết về Đường Elip trong mặt phẳng tọa độ, bao gồm định nghĩa, phương trình chính tắc, tiêu điểm, tiêu cự, tọa độ các đỉnh, độ dài các trục, hình chữ…

Tóm tắt lý thuyết Bài: Xác suất có điều kiện - Toán 12

Bài viết tổng hợp toàn bộ kiến thức trọng tâm về Xác suất có điều kiện thuộc chương trình Toán 12, bao gồm các định nghĩa, công thức nhân xác suất, công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes.

1. Định nghĩa xác suất có điều kiện

Định nghĩa: Cho hai biến cố \(A\) và \(B\). Xác suất của biến cố \(A\) với điều kiện biến cố \(B\) đã xảy ra được gọi là xác suất của \(A\) với điều kiện \(B\), kí hiệu là \(P(A | B)\). Nếu \(P(B) > 0\) thì:

\[P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{P(AB)}{P(B)}\]

Với mỗi biến cố ngẫu nhiên \(A\) và \(B\), trong đó \(P(B) > 0\), ta có:

\[P(\overline{A} | B) = 1 - P(A | B)\]

2. Công thức nhân xác suất

Định lí: Cho hai biến cố \(A, B\) là biến cố bất kì. Khi đó:

\[P(AB) = P(A | B) \cdot P(B) = P(B | A) \cdot P(A)\]

Chú ý: Cho hai biến cố \(A\) và \(B\) thỏa mãn \(0 < P(A), P(B) < 1\). Khi đó, \(A\) và \(B\) độc lập khi và chỉ khi \(P(A | B) = P(A)\) và \(P(B | A) = P(B)\).

3. Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

Cho biến cố \(A\) và \(B\). Khi đó, ta có công thức xác suất toàn phần như sau:

\[P(B) = P(B | A) \cdot P(A) + P(B | \overline{A}) \cdot P(\overline{A})\]

Cho \(A\) và \(B\) là biến cố, với \(P(B) > 0\). Khi đó, ta có công thức Bayes như sau:

\[P(A | B) = \frac{P(B | A) \cdot P(A)}{P(B | A) \cdot P(A) + P(B | \overline{A}) \cdot P(\overline{A})}\]

Công thức Bayes có thể viết dưới dạng:

\[P(A | B) = \frac{P(B | A) \cdot P(A)}{P(B)}\]

Bài viết tổng hợp toàn bộ kiến thức trọng tâm về Xác suất có điều kiện thuộc chương trình Toán 12, bao gồm các định nghĩa, công thức nhân xác suất, công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes. 1.…

Bất đẳng thức AM-GM, các hệ quả và Bất đẳng thức cộng mẫu

Tài liệu tổng hợp lý thuyết trọng tâm về Bất đẳng thức AM-GM (Cauchy) từ 2 số, 3 số đến n số thực không âm, các dạng biểu diễn tương đương, hệ quả thường dùng trong biến đổi đại số và Bổ đề bất đẳng thức cộng mẫu (Cauchy-Schwarz dạng Engel).

1. Bất đẳng thức AM-GM (Cauchy)

Cho \(n\) số thực không âm \(x_1, x_2, \dots, x_n\). Khi đó:

$$ \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} \ge \sqrt[n]{x_1 x_2 \dots x_n} $$

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x_1 = x_2 = \dots = x_n\).

Bất đẳng thức này có tên gọi đầy đủ là bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân, viết tắt theo tiếng Anh quốc tế là bất đẳng thức AM-GM (Arithmetic Mean - Geometric Mean). Ở Việt Nam, tên gọi quen thuộc trong sách giáo khoa là bất đẳng thức Cauchy (hoặc Côsi).

Các dạng tương đương hay dùng:

Dạng 1: \(\displaystyle \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} \ge \sqrt[n]{x_1 x_2 \dots x_n}\)

Dạng 2: \(x_1 + x_2 + \dots + x_n \ge n \sqrt[n]{x_1 x_2 \dots x_n}\)

Dạng 3: \(\displaystyle \left(\frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}\right)^n \ge x_1 x_2 \dots x_n\)

Hai trường hợp riêng đặc biệt:

• Với \(x, y \ge 0\): \(x + y \ge 2\sqrt{xy}\) Đẳng thức xảy ra khi \(x = y\).
• Với \(x, y, z \ge 0\): \(x + y + z \ge 3\sqrt[3]{xyz}\) Đẳng thức xảy ra khi \(x = y = z\).

2. Các hệ quả thường dùng

Với mọi số thực \(x, y, z\), ta có các hệ quả bất đẳng thức quen thuộc:

• \(x^2 + y^2 \ge 2xy\)
• \(2(x^2 + y^2) \ge (x+y)^2\)
• \((x+y)^2 \ge 4xy\)
• \(\displaystyle x^2 - xy + y^2 \ge \frac{(x+y)^2}{4}\)
• \(x^2 + y^2 + z^2 \ge xy + yz + zx\)
• \(3(x^2 + y^2 + z^2) \ge (x+y+z)^2\)
• \((x+y+z)^2 \ge 3(xy + yz + zx)\)
• \(x^2 y^2 + y^2 z^2 + z^2 x^2 \ge xyz(x+y+z)\)
• \(3(x^2 y^2 + y^2 z^2 + z^2 x^2) \ge (xy + yz + zx)^2\)

3. Bổ đề (Bất đẳng thức cộng mẫu)

Bổ đề

Với các số dương \(x_1, x_2, \dots, x_n\), ta có:

$$ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \dots + \frac{1}{x_n} \ge \frac{n^2}{x_1 + x_2 + \dots + x_n} $$

Tương đương với:

$$ (x_1 + x_2 + \dots + x_n) \left( \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \dots + \frac{1}{x_n} \right) \ge n^2 $$

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x_1 = x_2 = \dots = x_n\).

Hai trường hợp áp dụng nhiều nhất

• \(\displaystyle \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge \frac{4}{x+y}\)
• \(\displaystyle \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \ge \frac{9}{x+y+z}\)

Tài liệu tổng hợp lý thuyết trọng tâm về Bất đẳng thức AM-GM (Cauchy) từ 2 số, 3 số đến n số thực không âm, các dạng biểu diễn tương đương, hệ quả thường dùng trong biến đổi đại số và Bổ đề bất đẳng…

Tóm tắt lý thuyết Biến cố và định nghĩa cổ điển của xác suất Toán 10, 11

Tài liệu hệ thống hóa toàn bộ kiến thức về Biến cố và định nghĩa cổ điển của xác suất trong chương trình Toán học. Bao gồm các định nghĩa nền tảng về phép thử ngẫu nhiên, không gian mẫu, phân loại các biến cố phổ biến và các công thức, quy tắc tính xác suất cơ bản.

1. Biến cố

1.1. Định nghĩa

• Phép thử ngẫu nhiên là một thí nghiệm hay một hành động mà kết quả của nó không thể biết được trước khi phép thử được thực hiện.
• Không gian mẫu của phép thử là tập hợp tất cả các kết quả có thể khi thực hiện phép thử, kí hiệu là \(\Omega\).
• Biến cố \(E\) là một tập con của không gian mẫu \(\Omega\).
• Kết quả thuận lợi cho một biến cố \(E\) liên quan đến phép thử \(T\) là kết quả của phép thử \(T\) làm cho biến cố đó xảy ra.

1.2. Các biến cố thường gặp

Cho hai biến cố \(A\) và \(B\). Khi đó:

• Biến cố đối của biến cố \(A\) là biến cố "\(A\) không xảy ra", kí hiệu là \(\overline{A}\).
• Biến cố giao của hai biến cố \(A\) và \(B\) là biến cố "\(A\) và \(B\) cùng xảy ra", kí hiệu là \(A \cap B\) (hay \(AB\)).
• Biến cố hợp của hai biến cố \(A\) và \(B\) là biến cố "\(A\) hoặc \(B\) xảy ra", kí hiệu là \(A \cup B\).
• Hai biến cố \(A\) và \(B\) được gọi là xung khắc với nhau nếu biến cố \(A\) xảy ra thì biến cố \(B\) không xảy ra và ngược lại. Khi đó \(A \cap B = \emptyset\).
• Hai biến cố \(A\) và \(B\) được gọi là độc lập với nhau nếu sự xảy ra của \(A\) không làm ảnh hưởng đến việc xảy ra của \(B\).

2. Định nghĩa cổ điển của xác suất

2.1. Định nghĩa

Cho phép thử \(T\) có không gian mẫu là \(\Omega\). Giả sử các kết quả có thể của \(T\) là đồng khả năng. Nếu \(E\) là một biến cố liên quan đến phép thử \(T\) thì xác suất của \(E\) được cho bởi công thức:

\[P(E) = \frac{n(E)}{n(\Omega)}\]

trong đó \(n(E)\) và \(n(\Omega)\) tương ứng là số phần tử của biến cố \(E\) và không gian mẫu \(\Omega\).

2.2. Các quy tắc tính xác suất

• \(P(\emptyset) = 0\) và \(P(\Omega) = 1\).
• \(0 \le P(A) \le 1\).
• Cho biến cố \(A\). Xác suất của biến cố đối \(\overline{A}\) của \(A\) là: \(P(\overline{A}) = 1 - P(A)\).
• Cho hai biến cố \(A\) và \(B\) bất kì, khi đó: \[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)\]
• Nếu hai biến cố \(A\) và \(B\) xung khắc thì: \[P(A \cup B) = P(A) + P(B)\]
• Hai biến cố \(AB\) và \(A\overline{B}\) xung khắc với nhau khi đó: \[P(A\overline{B}) + P(AB) = P(A)\]
• Nếu hai biến cố \(A\) và \(B\) độc lập thì: \[P(AB) = P(A) \cdot P(B)\]

Tài liệu hệ thống hóa toàn bộ kiến thức về Biến cố và định nghĩa cổ điển của xác suất trong chương trình Toán học. Bao gồm các định nghĩa nền tảng về phép thử ngẫu nhiên, không gian mẫu, phân loại c…

Tóm tắt lý thuyết Đại số tổ hợp: Quy tắc đếm, Hoán vị, Chỉnh hợp và Tổ hợp

Tóm tắt nội dung: Tài liệu hệ thống hóa các kiến thức cơ bản và trọng tâm của Bài 1 - Đại số tổ hợp (Chương 8: Tổ hợp - Xác suất). Bài viết chi tiết về Quy tắc đếm (quy tắc cộng, quy tắc nhân), định nghĩa, công thức và tính chất của Hoán vị, Chỉnh hợp, Tổ hợp, kèm theo hướng dẫn thao tác trên máy tính cầm tay Casio.

1. Quy tắc đếm

a) Quy tắc cộng: Một công việc \(X\) có thể thực hiện theo một trong \(k\) phương án khác nhau như sau:

• Phương án 1 có \(n_1\) cách thực hiện.
• Phương án 2 có \(n_2\) cách thực hiện.
• ...
• Phương án \(k\) có \(n_k\) cách thực hiện.

\(\Rightarrow\) Khi đó số cách thực hiện công việc \(X\) là: \[n_1 + n_2 + \dots + n_k \text{ (cách)}\]

* Chú ý: Quy tắc cộng được áp dụng khi công việc được chia thành các phương án phân biệt (chỉ cần thực hiện một trong các phương án là hoàn thành công việc).

b) Quy tắc nhân: Để thực hiện công việc \(X\) thì phải hoàn thành \(k\) công đoạn liên tiếp như sau:

• Công đoạn 1 có \(n_1\) cách thực hiện.
• Công đoạn 2 có \(n_2\) cách thực hiện.
• ...
• Công đoạn \(k\) có \(n_k\) cách thực hiện.

\(\Rightarrow\) Khi đó số cách thực hiện công việc \(X\) là: \[n_1 \times n_2 \times \dots \times n_k \text{ (cách)}\]

* Chú ý: Quy tắc nhân được áp dụng khi công việc có nhiều công đoạn nối tiếp nhau (bắt buộc phải thực hiện tất cả các công đoạn mới hoàn thành công việc).

2. Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

2.1. Hoán vị

• Hoán vị chỉ được sử dụng khi bài toán yêu cầu sắp xếp \(n\) phần tử.
• Số cách sắp xếp \(n\) phần tử vào \(n\) chỗ là: \[P_n = n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \dots n\]
• Để ấn \(5!\) trong máy tính Casio, ta bấm: 5 SHIFT x⁻¹ (hoặc phím x!).

2.2. Tổ hợp

• Tổ hợp được sử dụng khi bài toán yêu cầu chọn \(k\) phần tử từ \(n\) phần tử (mỗi phần tử chỉ xuất hiện một lần và không phân biệt thứ tự).
• Số cách chọn \(k\) phần tử trong \(n\) phần tử là: \[C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]
• Tính chất: \[C_n^k = C_n^{n-k} \quad \text{và} \quad C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^k = C_n^k\]
• Để ấn \(C_7^3\) trong máy tính Casio, ta bấm: 7 SHIFT ÷ 3.

2.3. Chỉnh hợp

• Chỉnh hợp được sử dụng khi bài toán yêu cầu chọn \(k\) phần tử từ \(n\) phần tử, rồi sắp xếp \(k\) phần tử đó.
• Số cách chọn \(k\) phần tử từ \(n\) phần tử rồi sắp xếp là: \[A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}\]
• Mối quan hệ giữa hoán vị, tổ hợp và chỉnh hợp: \[A_n^k = C_n^k \cdot P_k\]
• Để ấn \(A_7^3\) trong máy tính Casio, ta bấm: 7 SHIFT × 3.

* Phân biệt Chỉnh hợp và Tổ hợp: Cả chỉnh hợp và tổ hợp đều chọn \(k\) phần tử từ \(n\) phần tử. Tuy nhiên, chỉnh hợp là chọn có xếp thứ tự, còn tổ hợp là chọn không xếp thứ tự.

Tóm tắt nội dung: Tài liệu hệ thống hóa các kiến thức cơ bản và trọng tâm của Bài 1 - Đại số tổ hợp (Chương 8: Tổ hợp - Xác suất). Bài viết chi tiết về Quy tắc đếm (quy tắc cộng, quy tắc nhân), định…

Hệ thống lý thuyết và bảng công thức Nguyên hàm môn Toán 12

Chuyên đề tóm tắt toàn bộ lý thuyết cốt lõi về Nguyên hàm thuộc Chương 6 Toán học lớp 12. Nội dung bao gồm định nghĩa nguyên hàm, các tính chất cơ bản, bảng công thức nguyên hàm sơ cấp, các công thức nguyên hàm hợp (mở rộng) và ứng dụng ý nghĩa vật lý trong bài toán chuyển động.

1. Định nghĩa Nguyên hàm

Định nghĩa 6.1: Cho hàm số \(f(x)\) xác định trên khoảng \(K\). Hàm số \(F(x)\) được gọi là nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên \(K\) nếu \(F'(x) = f(x)\) với mọi \(x \in K\).

Nếu \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên \(K\) thì họ tất cả các nguyên hàm của \(f(x)\) trên \(K\) là \(F(x) + C\), với \(C \in \mathbb{R}\):

\[\int f(x) dx = F(x) + C, \quad C \in \mathbb{R}\]

Nhận xét: Nếu \(F(x)\) và \(G(x)\) đều là nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) thì tồn tại hằng số \(C \in \mathbb{R}\) sao cho \(G(x) = F(x) + C\).

2. Tính chất của Nguyên hàm

• \(\int f'(x) dx = f(x) + C\), với \(C \in \mathbb{R}\).
• \(\int k f(x) dx = k \int f(x) dx\), với \(k \in \mathbb{R} \setminus \{0\}\).
• \(\int [f(x) \pm g(x)] dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx\).

3. Bảng nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp

• \(\int 0 dx = C\)
• \(\int 1 dx = x + C\)
• \(\int x^\alpha dx = \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} + C\) (với \(\alpha \neq -1\))
• \(\int \frac{1}{x^2} dx = -\frac{1}{x} + C\)
• \(\int \frac{1}{2\sqrt{x}} dx = \sqrt{x} + C\)
• \(\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C\)
• \(\int \sin x dx = -\cos x + C\)
• \(\int \cos x dx = \sin x + C\)
• \(\int \frac{1}{\cos^2 x} dx = \tan x + C\)
• \(\int \frac{1}{\sin^2 x} dx = -\cot x + C\)
• \(\int e^x dx = e^x + C\)
• \(\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C\)

4. Một số công thức nguyên hàm đặc biệt (Mở rộng)

• \(\int (ax+b)^\alpha dx = \frac{1}{a} \cdot \frac{(ax+b)^{\alpha+1}}{\alpha+1} + C\) (với \(\alpha \neq -1\))
• \(\int \frac{1}{ax+b} dx = \frac{1}{a} \ln|ax+b| + C\)
• \(\int \sin(ax+b) dx = -\frac{1}{a} \cos(ax+b) + C\)
• \(\int \cos(ax+b) dx = \frac{1}{a} \sin(ax+b) + C\)
• \(\int \frac{1}{\cos^2(ax+b)} dx = \frac{1}{a} \tan(ax+b) + C\)
• \(\int \frac{1}{\sin^2(ax+b)} dx = -\frac{1}{a} \cot(ax+b) + C\)
• \(\int e^{ax+b} dx = \frac{1}{a} e^{ax+b} + C\)
• \(\int a^{mx+n} dx = \frac{1}{m} \cdot \frac{a^{mx+n}}{\ln a} + C\)

5. Ý nghĩa vật lý của nguyên hàm

• Một vật chuyển động có phương trình vận tốc theo thời gian \(t\) là \(v(t)\) thì phương trình chuyển động của vật là \(s(t) = \int v(t) dt\).
• Một vật chuyển động có phương trình gia tốc theo thời gian \(t\) là \(a(t)\) thì phương trình vận tốc của vật là \(v(t) = \int a(t) dt\).

Chuyên đề tóm tắt toàn bộ lý thuyết cốt lõi về Nguyên hàm thuộc Chương 6 Toán học lớp 12. Nội dung bao gồm định nghĩa nguyên hàm, các tính chất cơ bản, bảng công thức nguyên hàm sơ cấp, các công thứ…

Chứng minh Bất đẳng thức bằng phương pháp biến đổi tương đương

Tổng hợp kiến thức và bài tập ví dụ chứng minh bất đẳng thức bằng các kỹ thuật biến đổi tương đương, biến đổi nâng vế, tách ghép bình phương và khử mẫu thức.

Ví dụ nâng vế và tách ghép bình phương

Ví dụ 1.1: Cho \(a, b, c\) là các số thực tuỳ ý. Chứng minh rằng:

a) \(a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc + ca\)

b) \(a^2 + b^2 + c^2 + 12 \ge 4(a + b + c)\)

Lời giải:

a) Ta có biến đổi tương đương:

\[2(a^2 + b^2 + c^2) - 2(ab + bc + ca) = (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 \ge 0\]

\(\Rightarrow a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc + ca\). Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c\).

b) Tách hằng số 12 để nhóm thành các bình phương hoàn chỉnh:

\[a^2 + b^2 + c^2 + 12 - 4(a + b + c) = (a-2)^2 + (b-2)^2 + (c-2)^2 \ge 0\]

\(\Rightarrow a^2 + b^2 + c^2 + 12 \ge 4(a + b + c)\). Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c = 2\).

Kỹ thuật khử mẫu và đổi biến

Ví dụ 1.2: Cho \(a, b, c\) là các số thực dương tuỳ ý. Chứng minh rằng:

\[{bc \over a} + {ca \over b} + {ab \over c} \ge a + b + c\]

Lời giải:

Vì \(a, b, c > 0\) nên nhân hai vế với \(abc\), bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

\[(bc)^2 + (ca)^2 + (ab)^2 \ge abc(a + b + c)\]

Nhận xét: Đặt \(x = ab, y = bc, z = ca\). Khi đó bất đẳng thức trở thành \(x^2 + y^2 + z^2 \ge xy + yz + zx\) (đúng theo Ví dụ 1.1).

Kỹ thuật nhân số nguyên dương và tách ghép

Ví dụ 1.3: Cho \(a, b, c, d, e\) là các số thực tuỳ ý. Chứng minh rằng:

\[a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 \ge a(b + c + d + e)\]

Lời giải:

Nhân hai vế với 4, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

\[4a^2 + 4b^2 + 4c^2 + 4d^2 + 4e^2 - 4ab - 4ac - 4ad - 4ae \ge 0\] \[\Leftrightarrow (a - 2b)^2 + (a - 2c)^2 + (a - 2d)^2 + (a - 2e)^2 \ge 0\]

Bất đẳng thức cuối luôn đúng. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a = 2b = 2c = 2d = 2e\).

Tổng hợp kiến thức và bài tập ví dụ chứng minh bất đẳng thức bằng các kỹ thuật biến đổi tương đương, biến đổi nâng vế, tách ghép bình phương và khử mẫu thức. Ví dụ nâng vế và tách ghép bình phương Ví …

Các bất bất đẳng thức nền cơ sở và chứng minh

Tài liệu hệ thống hóa các hằng bất đẳng thức cơ bản và quan trọng đối với mọi số thực \(a, b, c\), đi kèm hướng dẫn chứng minh chi tiết từ các đồng nhất thức đại số quen thuộc.

1. Bổ đề các bất bất đẳng thức nền

Với mọi số thực \(a, b, c\) ta luôn có:

\[a^2 \ge 0, \quad (a-b)^2 \ge 0, \quad a^2 + b^2 \ge 2ab, \quad (a+b)^2 \ge 4ab,\]\[a^2 + ab + b^2 \ge 0, \quad a^2 - ab + b^2 \ge \frac{(a+b)^2}{4}, \quad a^2 + ab + b^2 \ge \frac{3(a+b)^2}{4},\]\[a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc + ca, \quad 3(a^2 + b^2 + c^2) \ge (a+b+c)^2 \ge 3(ab + bc + ca).\]

Dấu đẳng thức: Bất đẳng thức \(a^2 \ge 0\) có dấu đẳng thức khi và chỉ khi \(a = 0\); các bất đẳng thức hai biến còn lại có dấu đẳng thức khi và chỉ khi \(a = b\); các bất đẳng thức ba biến có dấu đẳng thức khi và chỉ khi \(a = b = c\).

2. Phương pháp chứng minh

Chứng minh. Toàn bộ Bổ đề trên được suy ra từ hai đồng nhất thức:

\[(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\]\[2(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) = (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2\]

• Khai thác đồng nhất thức thứ nhất. Đồng nhất thức thứ nhất cho \(a^2 + b^2 \ge 2ab\), và cũng cho \((a+b)^2 - 4ab = (a-b)^2 \ge 0\).

• Khai thác đồng nhất thức thứ hai. Đồng nhất thức thứ hai cho \(a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc + ca\); hai bất đẳng thức ba biến còn lại theo sau vì:

\[3(a^2 + b^2 + c^2) - (a+b+c)^2 = 2(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca),\]\[(a+b+c)^2 - 3(ab + bc + ca) = a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca.\]

• Hạ xuống hai biến. Lấy \(c = 0\) trong đồng nhất thức thứ hai rồi thay \(b\) bởi \(-b\) thì được \(a^2 + ab + b^2 \ge 0\).

• Hai đánh giá cuối. Cuối cùng,

\[4\left(a^2 - ab + b^2 - \frac{(a+b)^2}{4}\right) = 3(a-b)^2,\]\[4\left(a^2 + ab + b^2 - \frac{3(a+b)^2}{4}\right) = (a-b)^2,\]

nên hai bất đẳng thức hai biến còn lại cũng đúng.

Tài liệu hệ thống hóa các hằng bất đẳng thức cơ bản và quan trọng đối với mọi số thực \(a, b, c\), đi kèm hướng dẫn chứng minh chi tiết từ các đồng nhất thức đại số quen thuộc. 1. Bổ đề các bất bất đ…

Bất đẳng thức Schur và các bất đẳng thức đại số cơ bản

Tài liệu hệ thống hóa lý thuyết về Bất đẳng thức Schur (dạng tổng quát, dạng p, q, r) và các bất đẳng thức đại số thường gặp trong đề thi Học sinh giỏi và THPT Quốc gia.

1. Các bất đẳng thức cơ sở

Cần phân biệt rõ điều kiện của biến và điều kiện xảy ra dấu đẳng thức trong từng trường hợp:

Hai biến, đúng với mọi số thực \(a, b\):

\[a^2 + b^2 \ge 2ab, \quad (a+b)^2 \ge 4ab\]

Cả hai bất đẳng thức đạt dấu bằng khi và chỉ khi \(a = b\) (không xuất hiện biến thứ ba).

Ba biến, đúng với mọi số thực \(a, b, c\):

\[a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc + ca\]\[(a+b+c)^2 \ge 3(ab + bc + ca)\]\[3(a^2 + b^2 + c^2) \ge (a+b+c)^2\]

Dấu đẳng thức của cả ba bất đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c\).

Ba biến dương \(a, b, c > 0\):

\[(a+b+c)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right) \ge 9, \quad \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} \ge \frac{3}{2}\]

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c\).

Lưu ý: Điều kiện các biến dương là bắt buộc. Ví dụ, nếu chọn \(a = b = 1, c = -1\) thì vế trái của bất đẳng thức thứ nhất bằng \(1\); nếu chọn \(a = b = 1, c = -3\) thì vế trái của bất đẳng thức thứ hai bằng \(-\frac{5}{2}\).

2. Bất đẳng thức Schur

Với mọi số thực không âm \(a, b, c\) và mọi số thực \(t > 0\):

\[a^t(a-b)(a-c) + b^t(b-a)(b-c) + c^t(c-a)(c-b) \ge 0\]

Trường hợp \(t = 1\) được sử dụng phổ biến nhất: Khi khai triển, bất đẳng thức tương đương với:

\[a^3 + b^3 + c^3 + 3abc \ge ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a)\]

Biểu diễn theo các đại lượng \(p = a+b+c\), \(q = ab+bc+ca\), \(r = abc\), bất đẳng thức có dạng:

\[p^3 + 9r \ge 4pq\]

Dấu đẳng thức xảy ra khi: \(a = b = c\), hoặc hai trong ba số bằng nhau và số còn lại bằng \(0\).

Tài liệu hệ thống hóa lý thuyết về Bất đẳng thức Schur (dạng tổng quát, dạng p, q, r) và các bất đẳng thức đại số thường gặp trong đề thi Học sinh giỏi và THPT Quốc gia. 1. Các bất đẳng thức cơ sở Cần…

Các bất đẳng thức cơ bản: AM-GM và Cauchy–Schwarz

Tài liệu hệ thống các bất đẳng thức cơ bản và bổ đề nâng cao thường dùng trong bài toán đại số, bao gồm AM-GM, Cauchy-Schwarz (dạng thường và dạng Engel), bất đẳng thức Schur cùng với các điều kiện …