Ví dụ nâng vế và tách ghép bình phương
Ví dụ 1.1: Cho \(a, b, c\) là các số thực tuỳ ý. Chứng minh rằng:
a) \(a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc + ca\)
b) \(a^2 + b^2 + c^2 + 12 \ge 4(a + b + c)\)
Lời giải:
a) Ta có biến đổi tương đương:
\[2(a^2 + b^2 + c^2) - 2(ab + bc + ca) = (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 \ge 0\]\(\Rightarrow a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc + ca\). Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c\).
b) Tách hằng số 12 để nhóm thành các bình phương hoàn chỉnh:
\[a^2 + b^2 + c^2 + 12 - 4(a + b + c) = (a-2)^2 + (b-2)^2 + (c-2)^2 \ge 0\]\(\Rightarrow a^2 + b^2 + c^2 + 12 \ge 4(a + b + c)\). Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c = 2\).
Kỹ thuật khử mẫu và đổi biến
Ví dụ 1.2: Cho \(a, b, c\) là các số thực dương tuỳ ý. Chứng minh rằng:
\[{bc \over a} + {ca \over b} + {ab \over c} \ge a + b + c\]Lời giải:
Vì \(a, b, c > 0\) nên nhân hai vế với \(abc\), bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
\[(bc)^2 + (ca)^2 + (ab)^2 \ge abc(a + b + c)\]Nhận xét: Đặt \(x = ab, y = bc, z = ca\). Khi đó bất đẳng thức trở thành \(x^2 + y^2 + z^2 \ge xy + yz + zx\) (đúng theo Ví dụ 1.1).
Kỹ thuật nhân số nguyên dương và tách ghép
Ví dụ 1.3: Cho \(a, b, c, d, e\) là các số thực tuỳ ý. Chứng minh rằng:
\[a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 \ge a(b + c + d + e)\]Lời giải:
Nhân hai vế với 4, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
\[4a^2 + 4b^2 + 4c^2 + 4d^2 + 4e^2 - 4ab - 4ac - 4ad - 4ae \ge 0\] \[\Leftrightarrow (a - 2b)^2 + (a - 2c)^2 + (a - 2d)^2 + (a - 2e)^2 \ge 0\]Bất đẳng thức cuối luôn đúng. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a = 2b = 2c = 2d = 2e\).