Kỹ thuật chọn điểm rơi là một phương pháp quan trọng giúp xử lý các bài toán bất đẳng thức AM-GM khi điều kiện điểm rơi không xảy ra tại các biến bằng nhau. Tài liệu trình bày quy trình và ví dụ minh họa chi tiết.
Kỹ thuật và ví dụ minh hoạ
Ví dụ: Cho số thực \(a \ge 3\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = a + \frac{1}{a}\).
Phân tích: Trên nửa khoảng \([3; +\infty)\), khi \(a\) tăng thì số hạng \(a\) tăng nhiều hơn mức giảm của số hạng \(\frac{1}{a}\), nên \(A\) tăng theo \(a\). Ta dự đoán \(A\) nhỏ nhất tại biên \(a = 3\). Khi đó \(a = \frac{1}{a}\) không được ghép trực tiếp cặp \((a; \frac{1}{a})\) vì dấu đẳng thức của nó rơi vào \(a = 1\); phải tách \(a\) thành hai phần với một hệ số thích hợp.
Điểm rơi: \(a = 3\). Ghép cặp \(\left(\frac{a}{k}; \frac{1}{a}\right)\) và buộc hai số này bằng nhau tại điểm rơi: $$ \begin{cases} \frac{a}{k} = \frac{1}{a} \\ a = 3 \end{cases} \Rightarrow \frac{3}{k} = \frac{1}{3} \Rightarrow k = 9. $$ • Tách biểu thức: Với hệ số \(k = 9\) vừa tìm, ta viết: $$ A = a + \frac{1}{a} = \frac{a}{9} + \frac{1}{a} + \frac{8a}{9}. $$
Phân tích: Trên nửa khoảng \([3; +\infty)\), khi \(a\) tăng thì số hạng \(a\) tăng nhiều hơn mức giảm của số hạng \(\frac{1}{a}\), nên \(A\) tăng theo \(a\). Ta dự đoán \(A\) nhỏ nhất tại biên \(a = 3\). Khi đó \(a = \frac{1}{a}\) không được ghép trực tiếp cặp \((a; \frac{1}{a})\) vì dấu đẳng thức của nó rơi vào \(a = 1\); phải tách \(a\) thành hai phần với một hệ số thích hợp.
Điểm rơi: \(a = 3\). Ghép cặp \(\left(\frac{a}{k}; \frac{1}{a}\right)\) và buộc hai số này bằng nhau tại điểm rơi: $$ \begin{cases} \frac{a}{k} = \frac{1}{a} \\ a = 3 \end{cases} \Rightarrow \frac{3}{k} = \frac{1}{3} \Rightarrow k = 9. $$ • Tách biểu thức: Với hệ số \(k = 9\) vừa tìm, ta viết: $$ A = a + \frac{1}{a} = \frac{a}{9} + \frac{1}{a} + \frac{8a}{9}. $$
Lời giải ví dụ
• Ráp đánh giá: Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số dương \(\frac{a}{9}\) và \(\frac{1}{a}\), rồi dùng giả thiết \(a \ge 3\) cho phần dư:
$$
A
\ge
2\sqrt{\frac{a}{9} \cdot \frac{1}{a}}
+ \frac{8 \cdot 3}{9}
=
2 \cdot \frac{1}{3}
+ \frac{8}{3}
=
\frac{10}{3}.
$$
• Kiểm tra dấu đẳng thức: Đánh giá thứ nhất trở thành đẳng thức khi
$$
\frac{a}{9} = \frac{1}{a}
\Leftrightarrow a = 3
$$
(do \(a > 0\)); đánh giá thứ hai trở thành đẳng thức cũng khi \(a = 3\). Hai dấu đẳng thức xảy ra đồng thời.
Đáp số: \(\min A = \frac{10}{3}\), đạt được khi \(a = 3\).
Nhận xét: Hệ số \(k = 9\) không được chọn tùy tiện mà là nghiệm của một phương trình bậc nhất, sinh ra từ yêu cầu "hai số đem vào AM-GM phải bằng nhau tại điểm rơi". Bằng cách đặt \(\frac{a}{k}; \frac{1}{a}\), mỗi cách cho một giá trị \(k\) khác nhau nhưng cùng dẫn tới một cách tách.
Đáp số: \(\min A = \frac{10}{3}\), đạt được khi \(a = 3\).
Nhận xét: Hệ số \(k = 9\) không được chọn tùy tiện mà là nghiệm của một phương trình bậc nhất, sinh ra từ yêu cầu "hai số đem vào AM-GM phải bằng nhau tại điểm rơi". Bằng cách đặt \(\frac{a}{k}; \frac{1}{a}\), mỗi cách cho một giá trị \(k\) khác nhau nhưng cùng dẫn tới một cách tách.