1. Bổ đề các bất bất đẳng thức nền
Với mọi số thực \(a, b, c\) ta luôn có:
\[a^2 \ge 0, \quad (a-b)^2 \ge 0, \quad a^2 + b^2 \ge 2ab, \quad (a+b)^2 \ge 4ab,\]\[a^2 + ab + b^2 \ge 0, \quad a^2 - ab + b^2 \ge \frac{(a+b)^2}{4}, \quad a^2 + ab + b^2 \ge \frac{3(a+b)^2}{4},\]\[a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc + ca, \quad 3(a^2 + b^2 + c^2) \ge (a+b+c)^2 \ge 3(ab + bc + ca).\]Dấu đẳng thức: Bất đẳng thức \(a^2 \ge 0\) có dấu đẳng thức khi và chỉ khi \(a = 0\); các bất đẳng thức hai biến còn lại có dấu đẳng thức khi và chỉ khi \(a = b\); các bất đẳng thức ba biến có dấu đẳng thức khi và chỉ khi \(a = b = c\).
2. Phương pháp chứng minh
Chứng minh. Toàn bộ Bổ đề trên được suy ra từ hai đồng nhất thức:
\[(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\]\[2(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) = (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2\]• Khai thác đồng nhất thức thứ nhất. Đồng nhất thức thứ nhất cho \(a^2 + b^2 \ge 2ab\), và cũng cho \((a+b)^2 - 4ab = (a-b)^2 \ge 0\).
• Khai thác đồng nhất thức thứ hai. Đồng nhất thức thứ hai cho \(a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc + ca\); hai bất đẳng thức ba biến còn lại theo sau vì:
\[3(a^2 + b^2 + c^2) - (a+b+c)^2 = 2(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca),\]\[(a+b+c)^2 - 3(ab + bc + ca) = a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca.\]• Hạ xuống hai biến. Lấy \(c = 0\) trong đồng nhất thức thứ hai rồi thay \(b\) bởi \(-b\) thì được \(a^2 + ab + b^2 \ge 0\).
• Hai đánh giá cuối. Cuối cùng,
\[4\left(a^2 - ab + b^2 - \frac{(a+b)^2}{4}\right) = 3(a-b)^2,\]\[4\left(a^2 + ab + b^2 - \frac{3(a+b)^2}{4}\right) = (a-b)^2,\]nên hai bất đẳng thức hai biến còn lại cũng đúng.