Đề bài
b. Đặt \[s_n = \frac{1}{u_1 u_3} + \frac{1}{u_3 u_5} + \dots + \frac{1}{u_{2n+1} u_{2n+3}}, \forall n \in \mathbb{N}^*.\] Chứng minh dãy \((s_n)\) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Sơ lược lời giải
a. Từ công thức truy hồi ở đề bài, suy ra \(u_n = a^n + b^n, \forall n \in \mathbb{N}^*\), với \(a = 2 + \sqrt{3}, b = 2 - \sqrt{3}\).
Khi đó, với mọi \(n\), ta có:
\[\frac{u_1}{4} + \frac{u_2}{4^2} + \dots + \frac{u_n}{4^n} = \sum_{k=1}^n \frac{a^k + b^k}{4^k} = \sum_{k=1}^n \left(\frac{a}{4}\right)^k + \sum_{k=1}^n \left(\frac{b}{4}\right)^k \lt \frac{\frac{a}{4}}{1 - \frac{a}{4}} + \frac{\frac{b}{4}}{1 - \frac{b}{4}} = 14.\]b. Ta có \[\frac{1}{u_k u_{k+2}} = \frac{u_{k+2} + u_k}{4 u_k u_{k+1} u_{k+2}} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{u_k u_{k+1}} + \frac{1}{u_{k+1} u_{k+2}} \right), \forall n\]
Nên \[s_n = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{u_1 u_2} + \frac{1}{u_2 u_3} + \dots + \frac{1}{u_{2n+2} u_{2n+3}} \right), \forall n.\]
Mặt khác, quy nạp được \[u_{n+2} u_n - u_{n+1}^2 = 12, \forall n\] nên \[\frac{u_{n+2} u_n - u_{n+1}^2}{u_n u_{n+1}} = \frac{12}{u_n u_{n+1}}\]
suy ra \[\frac{1}{u_n u_{n+1}} = \frac{1}{12} \left( \frac{u_{n+2}}{u_{n+1}} - \frac{u_{n+1}}{u_n} \right), \forall n\] nên \[s_n = \frac{1}{48} \left( \frac{u_{2n+4}}{u_{2n+3}} - \frac{u_2}{u_1} \right), \forall n.\]
Do đó:
\[\lim s_n = \frac{1}{48} \lim \left( \frac{a^{2n+4} + b^{2n+4}}{a^{2n+3} + b^{2n+3}} - \frac{14}{4} \right) = \frac{1}{48} \left( 2 + \sqrt{3} - \frac{7}{2} \right) = \frac{2\sqrt{3} - 3}{96}.\]