Trường chuyên Đại học Vinh - ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI DỰ THI QUỐC GIA THPT - NĂM HỌC 2026 - 2027
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
NỘI DUNG ĐỀ THI (Ngày 1)
Bài 1 (5,0 điểm). Tìm tất cả các số thực \(a,b\) để tồn tại hàm \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) khác hằng và thỏa mãn \[f\left(ax^3 + y^2\right) = f\left(by^3 + x^2\right), \quad \forall x, y \in \mathbb{R}.\]
Bài 2 (5,0 điểm). Cho số nguyên dương \(n\). Tìm tất cả các đa thức \(P(x) \in \mathbb{R}[x]\) khác hằng, chỉ có nghiệm thực và thỏa mãn đẳng thức sau với mọi \(x \in \mathbb{R}\): \[16^n P\left(\frac{x^3 + 3x}{4}\right) = \left(x^4 + 7x^2 + 16\right)^n P(x).\]
Bài 3 (5,0 điểm). Có \(30\) học sinh tham dự một khóa học gồm \(100\) tiết. Kết thúc khóa học, những học sinh đi học ít hơn \(56\) tiết sẽ không được dự thi cuối khóa. Biết rằng trong mỗi tiết học đều có nhiều hơn nửa số học sinh vắng mặt.
a) Chứng minh rằng có ít nhất một học sinh không được dự thi cuối khóa.
b) Tìm số nguyên \(N\) lớn nhất sao cho chắc chắn có ít nhất \(N\) học sinh không được dự thi cuối khóa.
a) Chứng minh rằng có ít nhất một học sinh không được dự thi cuối khóa.
b) Tìm số nguyên \(N\) lớn nhất sao cho chắc chắn có ít nhất \(N\) học sinh không được dự thi cuối khóa.
Bài 4 (5,0 điểm).
a) Giả sử \(a\) là một số nguyên dương và \(p\) là một số nguyên tố. Chứng minh rằng: \[a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p^2} \Leftrightarrow a^{(p-1)^2} \equiv 1 \pmod{p^2}.\]
b) Tìm tất cả các số nguyên dương \(x, y\) và số nguyên tố \(p\) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:
i) \(5^{(p-1)^2} - 1\) không chia hết cho \(p^2\);
ii) \(p^x + 5 = y^p\).
a) Giả sử \(a\) là một số nguyên dương và \(p\) là một số nguyên tố. Chứng minh rằng: \[a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p^2} \Leftrightarrow a^{(p-1)^2} \equiv 1 \pmod{p^2}.\]
b) Tìm tất cả các số nguyên dương \(x, y\) và số nguyên tố \(p\) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:
i) \(5^{(p-1)^2} - 1\) không chia hết cho \(p^2\);
ii) \(p^x + 5 = y^p\).