Tài liệu hệ thống hóa toàn bộ kiến thức nền tảng về Hoán vị, Chỉnh hợp và Tổ hợp thuộc chương trình Tổ hợp - Xác suất, bao gồm định nghĩa, công thức tính số cách chọn và các tính chất đại số quan trọng.
1. HOÁN VỊ
☼ Định nghĩa: Cho tập hợp \(A\) gồm \(n\) phần tử (\(n \ge 1\)). Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự \(n\) phần tử của tập hợp \(A\) được gọi là một hoán vị của \(n\) phần tử đó.
☼ Số hoán vị: Số các hoán vị của \(n\) phần tử được ký hiệu là \(P_n\) và được tính bởi công thức:
\[P_n = n! = n(n-1)(n-2)\dots 2 \cdot 1\]2. CHỈNH HỢP
☼ Định nghĩa: Cho tập hợp \(A\) gồm \(n\) phần tử (\(n \ge 1\)). Kết quả của việc lấy \(k\) (\(1 \le k \le n\)) phần tử khác nhau từ tập hợp \(A\) và sắp xếp theo một thứ tự được gọi là một chỉnh hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử.
☼ Số chỉnh hợp: Số các chỉnh hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử (\(1 \le k \le n\)) được ký hiệu là \(A_n^k\) và được tính theo công thức:
\[A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} = n(n-1)(n-2)\dots(n-k+1)\]- Hoán vị là trường hợp đặc biệt của chỉnh hợp khi \(k = n\): \(P_n = A_n^n = n!\).
- Quy ước: \(A_n^0 = 1\).
3. TỔ HỢP
☼ Định nghĩa: Cho tập hợp \(A\) gồm \(n\) phần tử (\(n \ge 1\)). Mỗi tập con gồm \(k\) phần tử (\(0 \le k \le n\)) lấy từ tập hợp \(A\) (không phân biệt thứ tự) được gọi là một tổ hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử.
☼ Số tổ hợp: Số các tổ hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử (\(0 \le k \le n\)) được ký hiệu là \(C_n^k\) và được xác định theo công thức:
\[C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} = \frac{A_n^k}{k!}\]4. CÁC TÍNH CHẤT CỦA SỐ TỔ HỢP
① Tính chất đối xứng:
\[C_n^k = C_n^{n-k} \quad (0 \le k \le n)\]② Công thức Pascal (hệ thức cộng tổ hợp):
\[C_n^k = C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^k \quad (1 \le k < n)\]③ Quy ước và giá trị đặc biệt:
\[C_n^0 = C_n^n = 1; \quad C_n^1 = C_n^{n-1} = n\]