Tóm tắt đề thi chọn học sinh giỏi dự thi Quốc gia môn Toán lớp 12 (Bảng B) năm học 2026 - 2027 của Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội với các chủ đề Hàm số, Đa thức, Số học và Tổ hợp.
Bài 5 (5,0 điểm)
Xét hàm số \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) thỏa mãn \(f(1) > 0\) và
\[f(a)f(d) - f(b)f(c) = 1\]với mọi số thực \(a,b,c,d\) thỏa mãn \(ad - bc = 1\).
a) Chứng minh \(f(xy) = f(x)f(y)\) với mọi số thực \(x\) và \(y\).
b) Chứng minh \(f(x) = x\) với mọi số thực \(x\).
Bài 6 (5,0 điểm)
Cho \(P(x)\) là một đa thức với hệ số nguyên có bậc bằng 5 sao cho có vô hạn cặp số nguyên \((x,y)\) thỏa mãn \(xP(x) = yP(y)\) và \(x \neq y\).
a) Chứng minh tồn tại số nguyên \(C\) có tính chất: Nếu \((x,y)\) là cặp số nguyên thỏa mãn \(x \neq y\) và \(xP(x) = yP(y)\) thì \(|x+y| \le C\).
b) Chứng minh \(P(x)\) có nghiệm nguyên.
Bài 7 (5,0 điểm)
Cho số nguyên dương lẻ \(n\). Một số nguyên dương \(m\) được gọi là số tốt nếu \(m^x + x^m\) chia hết cho \(n^x + x^n\) với mọi số nguyên dương \(x\).
a) Chứng minh nếu \(m\) là một số tốt thì \(m\) chia hết cho \(n\).
b) Tìm tất cả các số tốt.
Bài 8 (5,0 điểm)
Cho 9 số thực \(a_1, a_2, \dots, a_9\). Khởi đầu với bộ 9 số thực \((a_1, a_2, \dots, a_9)\).
Ở mỗi bước, từ bộ vừa được tạo \((x_1, x_2, \dots, x_9)\), ta tạo ra một bộ mới \((y_1, y_2, \dots, y_9)\) theo quy tắc sau: chọn các số \(\epsilon_1, \dots, \epsilon_9 \in \{-1; 1\}\) sao cho biểu thức \(\left| \sum_{i=1}^9 \epsilon_i \sqrt{i} \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất (nếu có nhiều cách chọn, lấy một cách tùy ý), sau đó đặt \(y_i = x_i + \epsilon_i \sqrt{i}\) với mọi \(i=1,2,\dots,9\).
Chứng minh sau hữu hạn bước, sẽ xuất hiện một bộ \((u_1, u_2, \dots, u_9)\) sao cho tồn tại chỉ số \(i\) để \(|u_i| \ge \frac{15}{2}\).