Tóm tắt lý thuyết Đại số tổ hợp: Quy tắc đếm, Hoán vị, Chỉnh hợp và Tổ hợp

Tóm tắt nội dung: Tài liệu hệ thống hóa các kiến thức cơ bản và trọng tâm của Bài 1 - Đại số tổ hợp (Chương 8: Tổ hợp - Xác suất). Bài viết chi tiết về Quy tắc đếm (quy tắc cộng, quy tắc nhân), định nghĩa, công thức và tính chất của Hoán vị, Chỉnh hợp, Tổ hợp, kèm theo hướng dẫn thao tác trên máy tính cầm tay Casio.

1. Quy tắc đếm

a) Quy tắc cộng: Một công việc \(X\) có thể thực hiện theo một trong \(k\) phương án khác nhau như sau:

• Phương án 1 có \(n_1\) cách thực hiện.
• Phương án 2 có \(n_2\) cách thực hiện.
• ...
• Phương án \(k\) có \(n_k\) cách thực hiện.

\(\Rightarrow\) Khi đó số cách thực hiện công việc \(X\) là: \[n_1 + n_2 + \dots + n_k \text{ (cách)}\]

* Chú ý: Quy tắc cộng được áp dụng khi công việc được chia thành các phương án phân biệt (chỉ cần thực hiện một trong các phương án là hoàn thành công việc).

b) Quy tắc nhân: Để thực hiện công việc \(X\) thì phải hoàn thành \(k\) công đoạn liên tiếp như sau:

• Công đoạn 1 có \(n_1\) cách thực hiện.
• Công đoạn 2 có \(n_2\) cách thực hiện.
• ...
• Công đoạn \(k\) có \(n_k\) cách thực hiện.

\(\Rightarrow\) Khi đó số cách thực hiện công việc \(X\) là: \[n_1 \times n_2 \times \dots \times n_k \text{ (cách)}\]

* Chú ý: Quy tắc nhân được áp dụng khi công việc có nhiều công đoạn nối tiếp nhau (bắt buộc phải thực hiện tất cả các công đoạn mới hoàn thành công việc).

2. Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

2.1. Hoán vị

• Hoán vị chỉ được sử dụng khi bài toán yêu cầu sắp xếp \(n\) phần tử.
• Số cách sắp xếp \(n\) phần tử vào \(n\) chỗ là: \[P_n = n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \dots n\]
• Để ấn \(5!\) trong máy tính Casio, ta bấm: 5 SHIFT x⁻¹ (hoặc phím x!).

2.2. Tổ hợp

• Tổ hợp được sử dụng khi bài toán yêu cầu chọn \(k\) phần tử từ \(n\) phần tử (mỗi phần tử chỉ xuất hiện một lần và không phân biệt thứ tự).
• Số cách chọn \(k\) phần tử trong \(n\) phần tử là: \[C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]
• Tính chất: \[C_n^k = C_n^{n-k} \quad \text{và} \quad C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^k = C_n^k\]
• Để ấn \(C_7^3\) trong máy tính Casio, ta bấm: 7 SHIFT ÷ 3.

2.3. Chỉnh hợp

• Chỉnh hợp được sử dụng khi bài toán yêu cầu chọn \(k\) phần tử từ \(n\) phần tử, rồi sắp xếp \(k\) phần tử đó.
• Số cách chọn \(k\) phần tử từ \(n\) phần tử rồi sắp xếp là: \[A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}\]
• Mối quan hệ giữa hoán vị, tổ hợp và chỉnh hợp: \[A_n^k = C_n^k \cdot P_k\]
• Để ấn \(A_7^3\) trong máy tính Casio, ta bấm: 7 SHIFT × 3.

* Phân biệt Chỉnh hợp và Tổ hợp: Cả chỉnh hợp và tổ hợp đều chọn \(k\) phần tử từ \(n\) phần tử. Tuy nhiên, chỉnh hợp là chọn có xếp thứ tự, còn tổ hợp là chọn không xếp thứ tự.

📌 BÀI VIẾT CÙNG CHUYÊN MỤC

• Đang tải bài viết...