ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Câu 1 (5,00 điểm). Cho dãy số \((u_n)\) được xác định bởi:
\[\begin{cases} u_1 = \frac{1}{2} \\ u_{n+1} = \frac{\sqrt{u_n^2 + 4u_n} + u_n}{2} \end{cases} \quad (\forall n \in \mathbb{N}^*)\]Đặt \(v_n = \sum_{i=1}^n \frac{1}{u_i^2}\) \((\forall n \in \mathbb{N}^*)\). Chứng minh rằng dãy số \((v_n)\) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Câu 2 (5,00 điểm).
a) Giải phương trình \(\sqrt{(x-3)(x+5)} + \sqrt{x-3} + \sqrt{x+5} = \frac{10-x}{2} + \sqrt{x+12}\).
b) Giải hệ phương trình \(\begin{cases} x^3 - x^2 y = x^2 - x + y + 1 \\ 5\sqrt{x+2} + \sqrt{y+3} = 3x^2 - y + 1 \end{cases}\).
Câu 3 (5,00 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\) cho parabol \((P): y^2 = 4x\). Gọi \(M\) là điểm di động trên \((P)\), \(T\) là điểm trên \((P)\) sao cho \(OT \perp OM\) (\(M\) và \(T\) đều không trùng với \(O\)). Chứng minh rằng khi \(M\) di động trên \((P)\) thì đường thẳng \(MT\) luôn đi qua một điểm cố định và đồng thời trung điểm của đoạn thẳng \(MT\) luôn chạy trên một parabol cố định.
Câu 4 (5,00 điểm). Cho bảng ô vuông kích thước \(2 \times 4\) gồm 8 ô vuông. Sử dụng 4 màu khác nhau để tô cho 8 ô sao cho mỗi ô chỉ được tô đúng một màu. Hỏi có bao nhiêu cách tô màu thỏa mãn trong các cặp ô vuông có chung cạnh, có đúng một cặp được tô cùng màu, còn tất cả các cặp chung cạnh khác đều được tô khác màu?