Tóm tắt hệ thống kiến thức trọng tâm về Tích có hướng của hai vectơ trong hệ tọa độ Oxyz cùng các công thức ứng dụng để tính diện tích tam giác, diện tích hình bình hành, thể tích tứ diện, thể tích hình hộp và xét điều kiện đồng phẳng.
1. Định nghĩa tích có hướng của hai vectơ
Trong không gian \(Oxyz\), cho \(\vec{a} = (a_1; a_2; a_3)\), \(\vec{b} = (b_1; b_2; b_3)\). Khi đó, tích có hướng của \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) là một vectơ, ký hiệu là \([\vec{a}, \vec{b}]\), có tọa độ xác định bởi:
\[[\vec{a}, \vec{b}] = \left( \begin{vmatrix} a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} a_3 & a_1 \\ b_3 & b_1 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix} \right) = (a_2 b_3 - a_3 b_2; a_3 b_1 - a_1 b_3; a_1 b_2 - a_2 b_1)\]2. Tính chất của tích có hướng
- \(\vec{a}\) cùng phương \(\vec{b} \Leftrightarrow [\vec{a}, \vec{b}] = \vec{0}\)
- \([\vec{a}, \vec{b}] = -[\vec{b}, \vec{a}]\)
- \([\vec{a}, \vec{b}] \perp \vec{a}\) và \([\vec{a}, \vec{b}] \perp \vec{b}\)
- \(\left|[\vec{a}, \vec{b}]\right| = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \sin(\vec{a}, \vec{b})\)
3. Ứng dụng trong tính diện tích và thể tích
Diện tích tam giác ABC: \[S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} \left|[\vec{AB}, \vec{AC}]\right|\]
Diện tích hình bình hành ABCD: \[S_{ABCD} = \left|[\vec{AB}, \vec{AD}]\right|\]
Thể tích tứ diện ABCD: \[V = \frac{1}{6} \left|[\vec{AB}, \vec{AC}] \cdot \vec{AD}\right|\]
Thể tích hình hộp ABCD.A'B'C'D': \[V = \left|[\vec{AB}, \vec{AD}] \cdot \vec{AA'}\right|\]
4. Tính đồng phẳng
- \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) đồng phẳng khi \([\vec{a}, \vec{b}] \cdot \vec{c} = 0\)
- \(A, B, C, D\) đồng phẳng khi \([\vec{AB}, \vec{AC}] \cdot \vec{AD} = 0\)