1. Các bất đẳng thức cơ sở
Cần phân biệt rõ điều kiện của biến và điều kiện xảy ra dấu đẳng thức trong từng trường hợp:
Hai biến, đúng với mọi số thực \(a, b\):
\[a^2 + b^2 \ge 2ab, \quad (a+b)^2 \ge 4ab\]Cả hai bất đẳng thức đạt dấu bằng khi và chỉ khi \(a = b\) (không xuất hiện biến thứ ba).
Ba biến, đúng với mọi số thực \(a, b, c\):
\[a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc + ca\]\[(a+b+c)^2 \ge 3(ab + bc + ca)\]\[3(a^2 + b^2 + c^2) \ge (a+b+c)^2\]Dấu đẳng thức của cả ba bất đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c\).
Ba biến dương \(a, b, c > 0\):
\[(a+b+c)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right) \ge 9, \quad \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} \ge \frac{3}{2}\]Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c\).
Lưu ý: Điều kiện các biến dương là bắt buộc. Ví dụ, nếu chọn \(a = b = 1, c = -1\) thì vế trái của bất đẳng thức thứ nhất bằng \(1\); nếu chọn \(a = b = 1, c = -3\) thì vế trái của bất đẳng thức thứ hai bằng \(-\frac{5}{2}\).
2. Bất đẳng thức Schur
Với mọi số thực không âm \(a, b, c\) và mọi số thực \(t > 0\):
\[a^t(a-b)(a-c) + b^t(b-a)(b-c) + c^t(c-a)(c-b) \ge 0\]Trường hợp \(t = 1\) được sử dụng phổ biến nhất: Khi khai triển, bất đẳng thức tương đương với:
\[a^3 + b^3 + c^3 + 3abc \ge ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a)\]Biểu diễn theo các đại lượng \(p = a+b+c\), \(q = ab+bc+ca\), \(r = abc\), bất đẳng thức có dạng:
\[p^3 + 9r \ge 4pq\]Dấu đẳng thức xảy ra khi: \(a = b = c\), hoặc hai trong ba số bằng nhau và số còn lại bằng \(0\).