1. Bất đẳng thức Schur
Với mọi số thực không âm \(a, b, c\) và mọi số thực \(t > 0\):
\[a^t(a-b)(a-c) + b^t(b-a)(b-c) + c^t(c-a)(c-b) \ge 0\]Trường hợp \(t = 1\) được sử dụng phổ biến nhất: Khi khai triển, bất đẳng thức tương đương với:
\[a^3 + b^3 + c^3 + 3abc \ge ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a)\]Biểu diễn theo các đại lượng \(p = a+b+c\), \(q = ab+bc+ca\), \(r = abc\), bất đẳng thức có dạng:
\[p^3 + 9r \ge 4pq\]Dấu đẳng thức xảy ra khi: \(a = b = c\), hoặc hai trong ba số bằng nhau và số còn lại bằng \(0\).
2. Các hằng đẳng thức cơ sở
Cần phân biệt rõ điều kiện của biến và điều kiện xảy ra dấu đẳng thức trong từng trường hợp:
Hai biến, đúng với mọi số thực \(a, b\):
\[a^2 + b^2 \ge 2ab, \quad (a+b)^2 \ge 4ab\]Cả hai bất đẳng thức đạt dấu bằng khi và chỉ khi \(a = b\) (không xuất hiện biến thứ ba).
Ba biến, đúng với mọi số thực \(a, b, c\):
\[a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc + ca\]\[(a+b+c)^2 \ge 3(ab + bc + ca)\]\[3(a^2 + b^2 + c^2) \ge (a+b+c)^2\]Dấu đẳng thức của cả ba bất đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c\).
Ba biến dương \(a, b, c > 0\):
\[(a+b+c)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right) \ge 9, \quad \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} \ge \frac{3}{2}\]Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c\).
Lưu ý: Điều kiện các biến dương là bắt buộc. Ví dụ, nếu chọn \(a = b = 1, c = -1\) thì vế trái của bất đẳng thức thứ nhất bằng \(1\); nếu chọn \(a = b = 1, c = -3\) thì vế trái của bất đẳng thức thứ hai bằng \(-\frac{5}{2}\).