Tài liệu gồm 04 câu hỏi tự luận thuộc kỳ thi chọn đội tuyển học sinh giỏi THPT cấp tỉnh môn Toán năm học 2026 - 2027 của Sở Giáo dục và Đào tạo Cà Mau (Buổi thi thứ nhất). Đề thi bao phủ các chủ đề Phương trình hàm, Dãy số, Bất đẳng thức, Số học và Hình học phẳng.
ĐỀ THI CHÍNH THỨC - BUỔI THI THỨ NHẤT
Câu 1 (5,0 điểm).
Cho hàm số \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) liên tục, khác hằng và thoả mãn:
\[f(x^3) + 1 = (x f(x) + 2x^2 - 1)^2, \quad \forall x \in \mathbb{R}.\]
Xét dãy số thực \((u_n)\) xác định bởi \(u_1 = m \in \mathbb{R}\) và \(u_{n+1} = f(u_n), \quad \forall n \ge 1.\)
a) Chứng minh rằng tồn tại \(m > 1\) để dãy số \((u_n)\) là dãy hằng.
b) Giả sử \(f\) là đa thức khác hằng, hỏi có bao nhiêu số thực \(m \in (-1; 3)\) để \(u_{2027} = 1\)?
Cho hàm số \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) liên tục, khác hằng và thoả mãn:
\[f(x^3) + 1 = (x f(x) + 2x^2 - 1)^2, \quad \forall x \in \mathbb{R}.\]
Xét dãy số thực \((u_n)\) xác định bởi \(u_1 = m \in \mathbb{R}\) và \(u_{n+1} = f(u_n), \quad \forall n \ge 1.\)
a) Chứng minh rằng tồn tại \(m > 1\) để dãy số \((u_n)\) là dãy hằng.
b) Giả sử \(f\) là đa thức khác hằng, hỏi có bao nhiêu số thực \(m \in (-1; 3)\) để \(u_{2027} = 1\)?
Câu 2 (5,0 điểm).
Với \(n\) nguyên dương, xét các số thực thay đổi \(x_1, x_2, \dots, x_n \in [-1; 1]\). Quy ước rằng \(x_0 = x_n\) và \(x_{n+1} = x_1\). Ký hiệu \(T = \max_{1 \le k \le n} \{x_k (x_{k-1} + x_{k+1})\}\) là số lớn nhất trong \(n\) số:
\[x_1(x_0 + x_2), x_2(x_1 + x_3), \dots, x_n(x_{n-1} + x_{n+1}).\]
a) Khi \(n = 2026\), tìm giá trị nhỏ nhất của \(T\).
b) Khi \(n = 2027\), chứng minh rằng \(T \ge -\dfrac{1}{4}\) và nêu một bộ \(x_1, x_2, \dots, x_n \in [-1; 1]\) để có đẳng thức.
Với \(n\) nguyên dương, xét các số thực thay đổi \(x_1, x_2, \dots, x_n \in [-1; 1]\). Quy ước rằng \(x_0 = x_n\) và \(x_{n+1} = x_1\). Ký hiệu \(T = \max_{1 \le k \le n} \{x_k (x_{k-1} + x_{k+1})\}\) là số lớn nhất trong \(n\) số:
\[x_1(x_0 + x_2), x_2(x_1 + x_3), \dots, x_n(x_{n-1} + x_{n+1}).\]
a) Khi \(n = 2026\), tìm giá trị nhỏ nhất của \(T\).
b) Khi \(n = 2027\), chứng minh rằng \(T \ge -\dfrac{1}{4}\) và nêu một bộ \(x_1, x_2, \dots, x_n \in [-1; 1]\) để có đẳng thức.
Câu 3 (5,0 điểm).
Với mỗi cặp số nguyên dương \(a\) và \(b\), ký hiệu \(f(a, b) = 11a + 6b + 8ab\).
a) Chứng minh rằng với \(a, b, c, d \in \mathbb{Z}^+\) và \(m > 1\) là luỹ thừa của \(2\), nếu có
\[f(a, b) \equiv f(c, d) \pmod m \quad \text{và} \quad f(b, a) \equiv f(d, c) \pmod m\]
thì \(a - c\) và \(b - d\) đều chia hết cho \(m\). Hỏi kết luận còn đúng không nếu \(m\) có ước nguyên tố lẻ?
b) Chứng minh rằng \(k = 2\) là số tự nhiên nhỏ nhất sao cho \(f(a, b) + k\) không là số chính phương với mọi \(a, b \in \mathbb{Z}^+\).
Với mỗi cặp số nguyên dương \(a\) và \(b\), ký hiệu \(f(a, b) = 11a + 6b + 8ab\).
a) Chứng minh rằng với \(a, b, c, d \in \mathbb{Z}^+\) và \(m > 1\) là luỹ thừa của \(2\), nếu có
\[f(a, b) \equiv f(c, d) \pmod m \quad \text{và} \quad f(b, a) \equiv f(d, c) \pmod m\]
thì \(a - c\) và \(b - d\) đều chia hết cho \(m\). Hỏi kết luận còn đúng không nếu \(m\) có ước nguyên tố lẻ?
b) Chứng minh rằng \(k = 2\) là số tự nhiên nhỏ nhất sao cho \(f(a, b) + k\) không là số chính phương với mọi \(a, b \in \mathbb{Z}^+\).
Câu 4 (5,0 điểm).
Cho hai đường tròn \((O_1), (O_2)\) có bán kính khác nhau và cắt nhau tại hai điểm \(A, B\). Kẻ tiếp tuyến chung \(CD\) của hai đường tròn (gần \(B\) hơn) với \(C \in (O_1), D \in (O_2)\). Dựng điểm \(H\) sao cho tam giác \(HCD\) nhận \(B\) làm trực tâm. Kẻ đường kính \(CR\) của \((O_1)\) và đường kính \(DS\) của \((O_2)\). Biết rằng \(BR\) cắt \(HC\) ở \(P\) và \(BS\) cắt \(HD\) ở \(Q\). Dựng các điểm \(I, J\) sao cho các đoạn thẳng \(HI, HJ\) lần lượt nhận \(P, Q\) là trung điểm. Chứng minh rằng hai tam giác \(AIC, AJD\) có cùng bán kính đường tròn ngoại tiếp.
Cho hai đường tròn \((O_1), (O_2)\) có bán kính khác nhau và cắt nhau tại hai điểm \(A, B\). Kẻ tiếp tuyến chung \(CD\) của hai đường tròn (gần \(B\) hơn) với \(C \in (O_1), D \in (O_2)\). Dựng điểm \(H\) sao cho tam giác \(HCD\) nhận \(B\) làm trực tâm. Kẻ đường kính \(CR\) của \((O_1)\) và đường kính \(DS\) của \((O_2)\). Biết rằng \(BR\) cắt \(HC\) ở \(P\) và \(BS\) cắt \(HD\) ở \(Q\). Dựng các điểm \(I, J\) sao cho các đoạn thẳng \(HI, HJ\) lần lượt nhận \(P, Q\) là trung điểm. Chứng minh rằng hai tam giác \(AIC, AJD\) có cùng bán kính đường tròn ngoại tiếp.