Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi THPT cấp quốc gia môn Toán năm học 2026 – 2027 (Ngày thứ nhất) do Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Đồng Nai tổ chức ngày 27/8/2026. Đề thi gồm 4 câu hỏi tự luận với thời gian làm bài 180 phút, bao gồm các chủ đề: Phương trình hàm, Dãy số, Đa thức và Tập hợp / Số học.
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Câu 1. (4,0 điểm) Tìm tất cả các hàm số \(f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}\) thỏa mãn
\[ f(m + f(n)) = f(m) + 9n, \]với mọi số nguyên \(m, n\).
Câu 2. (6,0 điểm) Cho dãy số \((u_n)\) xác định bởi \(u_1 = 1\) và \(u_{n+1} = \frac{u_n + 4}{u_n + 1}, \forall n \in \mathbb{N}^*\).
a) Chứng minh dãy số đã cho có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.
b) Chứng minh tồn tại hàm phân thức \(f(x) = \frac{x+a}{x+b}\) \((a \neq b)\) sao cho dãy \((f(u_n))\) lập thành một cấp số nhân.
Câu 3. (5,0 điểm) Đặt \(A = 2026! + 1\) và xét đa thức
\[ P(x) = A x^{4050} + b_1 x^{4048} + b_2 x^{4046} + \dots + b_{2024} x^2 + A, \]trong đó \(b_1, b_2, \dots, b_{2024}\) là các số nguyên. Chứng minh \(P(x)\) không có nghiệm hữu tỉ trong mỗi trường hợp sau:
a) \(b_1 + b_2 + b_3 + \dots + b_{2024} = 2025\).
b) \(b_1 + b_3 + \dots + b_{2023} = 2025\) và \(b_2 + b_4 + \dots + b_{2024} = 1\).
Câu 4. (5,0 điểm) Xét tập hợp \(A\) gồm \(n\) số tự nhiên \(x_1, x_2, \dots, x_n\) thỏa mãn cả hai điều kiện sau:
i) \(1 = x_1 < x_2 < \dots < x_n = 2026\).
ii) Với mọi \(k \in \{2, 3, \dots, n\}\), luôn tồn tại \(i, j \in \mathbb{N}^*\) với \(i < k, j < k\) sao cho \(x_k = x_i + x_j\) (\(x_i\) có thể bằng \(x_j\)).
a) Chỉ ra một tập hợp \(A\) với \(n = 15\).
b) Chứng minh \(n \ge 13\).