Tài liệu cung cấp đề thi chọn học sinh giỏi THPT cấp tỉnh và chọn đội tuyển dự thi HSG Quốc gia môn Toán năm học 2026 - 2027 của Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Ninh Bình (Ngày thi thứ nhất - 15/09/2026).
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Bài 1. (5,0 điểm) Cho dãy số \((x_n)\) xác định bởi \(\begin{cases} x_1 = 1 \\ x_{n+1} = (n^2 + 1)x_1 x_2 \dots x_n, \quad \forall n \in \mathbb{N}^* \end{cases}\)
Với mỗi \(n \in \mathbb{N}^*\), đặt \(y_n = \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \dots + \frac{1}{x_n}\).
a) Chứng minh rằng \(x_n \ge 2^{n-1}, \forall n \in \mathbb{N}^*\) và dãy số \((y_n)\) có giới hạn hữu hạn.
b) Chứng minh rằng \(\lim_{n \to +\infty} y_n\) là một số vô tỉ.
Với mỗi \(n \in \mathbb{N}^*\), đặt \(y_n = \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \dots + \frac{1}{x_n}\).
a) Chứng minh rằng \(x_n \ge 2^{n-1}, \forall n \in \mathbb{N}^*\) và dãy số \((y_n)\) có giới hạn hữu hạn.
b) Chứng minh rằng \(\lim_{n \to +\infty} y_n\) là một số vô tỉ.
Bài 2. (5,0 điểm) Cho \(n\) là một số nguyên dương lẻ. Xét các hàm \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) thỏa mãn:\[f(x)f(y+x) = x^n f(f(y)) + (f(x))^2, \quad \forall x, y \in \mathbb{R} \quad (1)\]a) Giả sử \(f\) không là hàm hằng. Chứng minh rằng:
i) \(f(x) = 0\) khi và chỉ khi \(x = 0\).
ii) \(f\) là một đơn ánh.
b) Tìm tất cả các hàm số \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) thỏa mãn (1).
i) \(f(x) = 0\) khi và chỉ khi \(x = 0\).
ii) \(f\) là một đơn ánh.
b) Tìm tất cả các hàm số \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) thỏa mãn (1).
Bài 3. (5,0 điểm) Cho tam giác \(ABC\) nhọn, không cân, có đường cao \(AH\). Gọi \(X, Y\) là hai điểm phân biệt thay đổi trên cạnh \(BC\) sao cho \(\widehat{CAX} = \widehat{BAY}\); \(K, S\) tương ứng là hình chiếu vuông góc của \(B\) lên \(AX, AY\); \(T, L\) tương ứng là hình chiếu vuông góc của \(C\) lên \(AX, AY\).
a) Chứng minh rằng ba đường thẳng \(AH, TL, SK\) đồng quy.
b) Chứng minh rằng giao điểm của \(KL\) và \(ST\) thuộc một đường thẳng cố định khi \(X, Y\) thay đổi trên cạnh \(BC\).
a) Chứng minh rằng ba đường thẳng \(AH, TL, SK\) đồng quy.
b) Chứng minh rằng giao điểm của \(KL\) và \(ST\) thuộc một đường thẳng cố định khi \(X, Y\) thay đổi trên cạnh \(BC\).
Bài 4. (5,0 điểm) Cho các số nguyên dương \(m, n\). Xét một bảng ô vuông kích thước \(3m \times 6n\) (gồm \(3m\) hàng và \(6n\) cột). Trên bảng đó một số ô có màu trắng và các ô còn lại màu đỏ. Gọi \(T\) là số bộ ba \((C_1, C_2, C_3)\) gồm các ô, trong đó hai ô đầu tiên nằm trên cùng một hàng và hai ô cuối cùng nằm trên cùng một cột, với \(C_1\) và \(C_3\) là ô trắng còn \(C_2\) là ô đỏ. Tìm giá trị lớn nhất của \(T\).