SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH LÀO CAI
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2026 - 2027
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi chính thức gồm 03 câu, 01 trang.
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Câu 1. (7,0 điểm) Giả sử \(a,b,c\) là ba trong bốn nghiệm của đa thức
\[f(x) = x^4 - 4x^3 + 2x^2 + 4x - 2.\]a) Chứng minh rằng \(abc\) là nghiệm của đa thức \(g(x) = x^4 + 4x^3 - 4x^2 - 16x - 8\).
b) Chứng minh rằng \(ab\) là nghiệm của đa thức \(h(x) = x^6 - 2x^5 - 14x^4 + 8x^3 + 28x^2 - 8x - 8\).
Câu 2. (7,0 điểm) Cho tam giác \(ABC\) (\(AB < AC\)) có đường tròn nội tiếp \((I)\) tiếp xúc với \(BC, CA, AB\) lần lượt tại \(D, E, F\). Gọi \(H\) là giao điểm của \(AI\) và \(BC\); \(K, L\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(H\) trên \(IB\) và \(IC\). Qua \(D\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(AI\) cắt \(IB, IC\) lần lượt tại \(X\) và \(Y\). Gọi \(M, N, P\) lần lượt là trung điểm của \(DE, DF\) và \(EF\).
a) Chứng minh rằng \(KL \parallel BC\) và bốn điểm \(K, L, X, Y\) cùng thuộc một đường tròn.
b) Gọi \(O_1, O_2\) lần lượt là tâm của hai đường tròn \((MKL)\) và \((DIP)\). Chứng minh rằng giao điểm của \((MKL)\) và \((DIP)\) thuộc đường tròn đường kính \(O_1O_2\).
Câu 3. (6,0 điểm) Với mỗi số nguyên dương \(n\), ta gọi một hoán vị \((a_0, a_1, \dots, a_{n-1})\) của các số \(0, 1, \dots, n-1\) là tốt nếu \(a_i + i\) là số chính phương với mọi \(i = 0, 1, \dots, n-1\).
a) Chứng minh rằng với \(n = 2026\), trong một hoán vị tốt \((a_0, a_1, \dots, a_{2025})\), luôn tồn tại ít nhất một chỉ số \(i\) sao cho \(a_i + i\) chia hết cho 9.
b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương \(n\), luôn tồn tại ít nhất một hoán vị tốt.