Kỳ thi chọn học sinh giỏi THPT cấp tỉnh và chọn đội tuyển dự thi HSG quốc gia năm học 2026 - 2027
Môn thi: TOÁN (Ngày thi thứ hai - 16/9/2026)
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
Cấu trúc: 03 bài tự luận thuộc các mảng Đại số, Số học và Hình học phẳng.
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Bài 5. (6,0 điểm)
Cho số nguyên dương \(n\). Xét các số thực \(x_1, x_2, \dots, x_n\) thoả mãn \(|x_i| \le 1, \forall i = 1, 2, \dots, n\); và \(x_1 + x_2 + \dots + x_n = 0\). Với mỗi \(k \in \{1, 2, \dots, n\}\), đặt \(S_k = x_1 + 2x_2 + \dots + kx_k\).
a) Chứng minh rằng tồn tại các số \(p, q \in \{1, 2, \dots, n\}\) (không nhất thiết phân biệt) sao cho \(S_p \le 0\) và \(|S_q| \le \frac{2q+1}{4}\).
b) Khi \(n \ge 3\), chứng minh rằng tồn tại các số thực \(x_1, x_2, \dots, x_n\) thỏa mãn các điều kiện của bài toán sao cho với mọi \(k \in \{1, 2, \dots, n\}\) ta đều có \(|S_k| \ge \frac{2k+1}{4}\).
Bài 6. (7,0 điểm)
a) Với mỗi số nguyên dương \(n\), gọi \(\sigma(n)\) là tổng các ước dương của \(n\). Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số nguyên dương \(n\) sao cho \(n\) là ước của \(2^{\sigma(n)} - 1\).
b) Cho dãy số nguyên dương \((a_n)_{n \ge 1}\) và dãy các số nguyên tố \((p_n)_{n \ge 1}\) thoả mãn với mỗi \(n \in \mathbb{N}^*\), ta có \(p_n \mid a_n\) và \(a_{n+1} = \frac{a_n}{p_n}(p_n^{1013} - 1)\). Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương \(m\) sao cho \(a_m\) chia hết cho 2026.
Bài 7. (7,0 điểm)
Cho tam giác \(ABC\) nhọn, không cân, nội tiếp đường tròn \((O)\), có ba đường cao \(AD, BE, CF\) đồng quy tại \(H\). Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\). Các đoạn thẳng \(AG, BG, CG\) theo thứ tự cắt đường tròn \((DEF)\) tại \(I, J, K\). Các đường tròn \((AID), (BJE), (CKF)\) cắt lại đường tròn \((O)\) tại các điểm thứ hai tương ứng là \(X, Y, Z\).
a) Chứng minh rằng ba đường thẳng \(AX, BY, CZ\) đồng quy tại một điểm trên đường thẳng \(OH\).
b) Đường thẳng \(AC\) cắt đường tròn \((AHB)\) tại điểm thứ hai là \(N\); đường thẳng \(AB\) cắt đường tròn \((AHC)\) tại điểm thứ hai là \(M\). Đường tròn \((HMN)\) cắt lại các đường thẳng \(AB, AC\) tại các điểm thứ hai tương ứng là \(S, T\). Chứng minh \(ST\) vuông góc với \(OH\).