Bài viết tổng hợp đầy đủ các công thức nguyên hàm của hàm số lượng giác và hàm số mũ thuộc chương trình Toán lớp 12, kèm theo các công thức biến đổi biến số quan trọng giúp học sinh ôn thi môn Toán hiệu quả.
1. Nguyên hàm của hàm số lượng giác
Các công thức thường dùng:
- \(\int \cos x \, dx = \sin x + C\)
- \(\int \sin x \, dx = -\cos x + C\)
- \(\int \frac{1}{\cos^2 x} \, dx = \tan x + C\)
- \(\int \frac{1}{\sin^2 x} \, dx = -\cot x + C\)
Chú ý các công thức biến đổi lượng giác:
- \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\)
- \(\tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} - 1\)
- \(\cot^2 x = \frac{1}{\sin^2 x} - 1\)
- \(\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}\)
- \(\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}\)
- \(\sin 2x = 2 \sin x \cos x\)
- 3 công thức đối với \(\cos2x\):\[\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 2 \cos^2 x - 1 = 1 - 2 \sin^2 x\]
2. Nguyên hàm của hàm số mũ
Các công thức thường dùng:
- \(\int e^x \, dx = e^x + C\)
- \(\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C\)
Chú ý các công thức biến đổi lũy thừa:
- \(a^x \cdot a^y = a^{x+y}\)
- \(\frac{a^x}{a^y} = a^{x-y}\)
- \((a^x)^y = a^{xy}\)