Công thức hạ bậc \(\tan^2x\) và \(\cot^2x\) theo \(\cos2x\) (có chứng minh)

Ngày bởi MATH.VN chủ đề: ,
📝 Công thức

Với các điều kiện làm cho hai vế có nghĩa, ta có công thức hạ bậc cho \(\tan^2 x\) và \(\cot^2 x\) theo \(\cos 2x\):

\[\tan^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{1 + \cos 2x}\]

\[\cot^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{1 - \cos 2x}\]

💡 Chứng minh

1. Chứng minh công thức cho \(\tan^2 x\):

Ta có công thức định nghĩa \(\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}\), suy ra:

\[\tan^2 x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}\]

Áp dụng hai công thức hạ bậc cơ bản cho \(\sin^2 x\) và \(\cos^2 x\):

\[\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}\]

\[\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}\]

Thay vào biểu thức trên, ta được:

\[\tan^2 x = \frac{\frac{1 - \cos 2x}{2}}{\frac{1 + \cos 2x}{2}} = \frac{1 - \cos 2x}{1 + \cos 2x}.\]

2. Chứng minh công thức cho \(\cot^2 x\):

Ta có công thức định nghĩa \(\cot x = \dfrac{\cos x}{\sin x}\), suy ra:

\[\cot^2 x = \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}\]

Thay các công thức hạ bậc \[\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}\] \[\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}\] vào biểu thức, ta được:

\[\cot^2 x = \frac{\frac{1 + \cos 2x}{2}}{\frac{1 - \cos 2x}{2}} = \frac{1 + \cos 2x}{1 - \cos 2x}.\]

📝 Công thức Với các điều kiện làm cho hai vế có nghĩa, ta có công thức hạ bậc cho \(\tan^2 x\) và \(\cot^2 x\) theo \(\cos 2x\): \[\tan^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{1 + \cos 2x}\] \[\cot^2 x = \frac{1 + \…
Xem thêm »

Công thức tính tan(x), cot(x) theo sin(2x) và cos(2x) có chứng minh

Ngày bởi MATH.VN chủ đề: ,
📝 Công thức

Với các điều kiện làm cho hai vế có nghĩa, ta có công thức biểu diễn \(\tan x\) và \(\cot x\) theo \(\sin 2x, \cos 2x\):

\[\tan x = \frac{1 - \cos 2x}{\sin 2x} = \frac{\sin 2x}{1 + \cos 2x}\]

\[\cot x = \frac{1 + \cos 2x}{\sin 2x} = \frac{\sin 2x}{1 - \cos 2x}\]

💡 Chứng minh

1. Chứng minh công thức cho \(\tan x\):

Áp dụng công thức nhân đôi \[\sin 2x = 2\sin x \cos x\] và \[\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x = 2\cos^2 x - 1\] ta có:

\[\frac{1 - \cos 2x}{\sin 2x} = \frac{1 - (1 - 2\sin^2 x)}{2\sin x \cos x} = \frac{2\sin^2 x}{2\sin x \cos x} = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x.\]

\[\frac{\sin 2x}{1 + \cos 2x} = \frac{2\sin x \cos x}{1 + (2\cos^2 x - 1)} = \frac{2\sin x \cos x}{2\cos^2 x} = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x.\]

2. Chứng minh công thức cho \(\cot x\):

Tương tự, ta có:

\[\frac{1 + \cos 2x}{\sin 2x} = \frac{1 + (2\cos^2 x - 1)}{2\sin x \cos x} = \frac{2\cos^2 x}{2\sin x \cos x} = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x.\]

\[\frac{\sin 2x}{1 - \cos 2x} = \frac{2\sin x \cos x}{1 - (1 - 2\sin^2 x)} = \frac{2\sin x \cos x}{2\sin^2 x} = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x.\]

📝 Công thức Với các điều kiện làm cho hai vế có nghĩa, ta có công thức biểu diễn \(\tan x\) và \(\cot x\) theo \(\sin 2x, \cos 2x\): \[\tan x = \frac{1 - \cos 2x}{\sin 2x} = \frac{\sin 2x}{1 + \cos 2…
Xem thêm »

Công thức nghiệm của phương trình mũ cơ bản và đặc biệt

Ngày bởi MATH.VN chủ đề: ,

📝 Nghiệm của phương trình mũ cơ bản

Nghiệm của phương trình mũ cơ bản dạng \[ a^x=b \] là \[ \boxed{x=\log_a b} \] với điều kiện cơ số \(0\lt a\ne1\) và \(b>0\).

💡 Nghiệm của các phương trình mũ đặc biệt

Ta xét cơ số \(a\) thoả \(0\lt a\ne1\).

1. Phương trình \(a^x=1\)

Ta có: \[ x=\log_a1=0. \]

Vậy phương trình có nghiệm: \[ \boxed{x=0}. \]

2. Phương trình \(a^x=a\)

Ta có: \[ x=\log_a a=1. \]

Vậy phương trình có nghiệm: \[ \boxed{x=1}. \]

3. Phương trình \(a^x=\dfrac{1}{a}\)

Ta có: \[ \frac{1}{a}=a^{-1} \] nên \[ x=\log_a\left(a^{-1}\right)=-1. \]

Vậy phương trình có nghiệm: \[ \boxed{x=-1}. \]

📌 Phương trình mũ với cơ số cụ thể

Xét riêng hai trường hợp thường gặp: cơ số \(a=e\) và cơ số \(a=10\).

1. Cơ số \(a=e\)

\[ e^x=1 \Leftrightarrow x=0. \] \[ e^x=e \Leftrightarrow x=1. \] \[ e^x=\frac{1}{e} \Leftrightarrow x=-1. \]

2. Cơ số \(a=10\)

\[ 10^x=1 \Leftrightarrow x=0. \] \[ 10^x=10 \Leftrightarrow x=1. \] \[ 10^x=\frac{1}{10} \Leftrightarrow x=-1. \]
📝 Nghiệm của phương trình mũ cơ bản Nghiệm của phương trình mũ cơ bản dạng \[ a^x=b \] là \[ \boxed{x=\log_a b} \] với điều kiện cơ số \(0\lt a\ne1\) và \(b>0…
Xem thêm »

Nghiệm của phương trình logarit cơ bản và đặc biệt

Ngày bởi MATH.VN chủ đề: ,

📝 Nghiệm của phương trình logarit cơ bản

Nghiệm của phương trình logarit cơ bản dạng \[ \log_a(x)=b \] là \[ \boxed{x=a^b} \] với điều kiện cơ số \(0\lt a\ne1\).

💡 Nghiệm của các phương trình logarit đặc biệt

Ta xét cơ số \(a\) thoả \(0\lt a\ne1\).

1. Phương trình \(\log_a(x)=0\)

Ta có: \[ x=a^0=1. \]

Vậy phương trình có nghiệm: \[ \boxed{x=1}. \]

2. Phương trình \(\log_a(x)=1\)

Ta có: \[ x=a^1=a. \]

Vậy phương trình có nghiệm: \[ \boxed{x=a}. \]

3. Phương trình \(\log_a(x)=-1\)

Ta có: \[ x=a^{-1}=\frac{1}{a}. \]

Vậy phương trình có nghiệm: \[ \boxed{x=\frac{1}{a}}. \]

📌 Phương trình logarit tự nhiên và logarit thập phân

Xét riêng hai trường hợp thường gặp: cơ số \(a=e\) (logarit tự nhiên) và \(a=10\) (logarit thập phân).

1. Cơ số \(a=e\)

\[\ln x=0 \Leftrightarrow x=1.\] \[\ln x=1 \Leftrightarrow x=e.\] \[\ln x=-1 \Leftrightarrow x=1/e.\]

2. Cơ số \(a=10\)

\[\log x=0 \Leftrightarrow x=1.\] \[\log x=1 \Leftrightarrow x=10.\] \[\log x=-1 \Leftrightarrow x=1/10.\]
📝 Nghiệm của phương trình logarit cơ bản Nghiệm của phương trình logarit cơ bản dạng \[ \log_a(x)=b \] là \[ \boxed{x=a^b} \] với điều kiện cơ số \(0\lt a\ne1\).…
Xem thêm »

Giải phương trình lượng giác đặc biệt và ghi nhớ công thức nghiệm

Ngày bởi MATH.VN chủ đề: ,

Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trong các trường hợp đặc biệt \(a=0,\ a=1,\ a=-1\).

💡 Nghiệm của các phương trình lượng giác đặc biệt

1. Phương trình \(\sin x=0,\ \sin x=1,\ \sin x=-1\)

\[ \sin x=0 \Leftrightarrow x=k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}. \]

\[ \sin x=1 \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}+k2\pi,\quad k\in\mathbb{Z}. \]

\[ \sin x=-1 \Leftrightarrow x=-\frac{\pi}{2}+k2\pi,\quad k\in\mathbb{Z}. \]

2. Phương trình \(\cos x=0,\ \cos x=1,\ \cos x=-1\)

\[ \cos x=0 \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}. \]

\[ \cos x=1 \Leftrightarrow x=k2\pi,\quad k\in\mathbb{Z}. \]

\[ \cos x=-1 \Leftrightarrow x=\pi+k2\pi,\quad k\in\mathbb{Z}. \]

3. Phương trình \(\tan x=0,\ \tan x=1,\ \tan x=-1\)

\[ \tan x=0 \Leftrightarrow x=k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}. \]

\[ \tan x=1 \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}. \]

\[ \tan x=-1 \Leftrightarrow x=-\frac{\pi}{4}+k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}. \]

4. Phương trình \(\cot x=0,\ \cot x=1,\ \cot x=-1\)

\[ \cot x=0 \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}. \]

\[ \cot x=1 \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}. \]

\[ \cot x=-1 \Leftrightarrow x=-\frac{\pi}{4}+k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}. \]

Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trong các trường hợp đặc biệt \(a=0,\ a=1,\ a=-1\). 💡 Nghiệm của các phương trình lượng giác đặc biệt 1. Phương trình \(\sin x=0,\ \sin x=1,\ \sin x=-1\) …
Xem thêm »

Cách Tính Lương Giáo Viên, Viên Chức GD Mới Nhất (Cập Nhật Lương Cơ Sở)

Ngày bởi MATH.VN chủ đề: ,
📝 Cách tính lương GV, VC giáo dục mới nhất

CÁCH TÍNH LƯƠNG VIÊN CHỨC GD

Áp dụng lương cơ sở mới và NĐ182/2026

• Công thức căn cứ theo quy định hiện hành và Nghị định 182/2026/NĐ-CP.
• Mức đóng BHXH, BHYT, BHTN (10.5%) = 10.5% × (Lương hệ số + PC Chức vụ + PC Vượt khung + PC Thâm niên).
• Cách tính mang tính tham khảo.
📝 Cách tính lương GV, VC giáo dục mới nhất CÁCH TÍNH LƯƠNG VIÊN CHỨC GD Áp dụng lương cơ sở mới và NĐ182/2026 Lương cơ sở áp dụng (VNĐ): 2.530.000 đ (Từ 1/7/2026) Mức khác (tự nhập)... Nhập lương cơ sở k…
Xem thêm »

Biểu mẫu liên hệ

Tên

Email *

Thông báo *