Tóm tắt toàn bộ lý thuyết cơ bản và nâng cao về Logarit môn Toán lớp 11. Bao gồm các định nghĩa, công thức tính toán, quy tắc biến đổi cơ bản và đặc điểm của logarit thập phân, logarit tự nhiên.
1. Khái niệm logarit
Định nghĩa 4.5:
Cho \(a, b > 0\) và \(a \neq 1\). Số thực \(\alpha\) để \(a^\alpha = b\) được gọi là logarit cơ số \(a\) của \(b\) và kí hiệu là \(\log_a b\).
Nghĩa là: \(\alpha = \log_a b \iff a^\alpha = b\).
Cho \(a, b > 0\) và \(a \neq 1\). Số thực \(\alpha\) để \(a^\alpha = b\) được gọi là logarit cơ số \(a\) của \(b\) và kí hiệu là \(\log_a b\).
Nghĩa là: \(\alpha = \log_a b \iff a^\alpha = b\).
2. Các công thức logarit cần nhớ
| STT | Công thức logarit |
|---|---|
| 1 | \(\log_a 1 = 0\) |
| 2 | \(\log_a a = 1\) |
| 3 | \(a^{\log_a b} = b\) |
| 4 | \(\log_a(a^\alpha) = \alpha\) |
| 5 | \(\log_a(bc) = \log_a b + \log_a c\) |
| 6 | \(\log_a\left(\frac{b}{c}\right) = \log_a b - \log_a c\) |
| 7 | \(\log_a b^\alpha = \alpha \log_a b\) |
| 8 | \(\log_{a^\alpha} b = \frac{1}{\alpha}\log_a b\) |
| 9 | \(\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}\) |
| 10 | \(\log_a b = \frac{1}{\log_b a}\) |
| 11 | \(\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c\) |
| 12 | \(\log_a b \cdot \log_b a = 1\) |
| 13 | \(\log_a b > 0 \Leftrightarrow \begin{cases} 0 < a,b < 1\\ 1 < a,b \end{cases}\) |
| 14 | \(\log_a b < 0 \Leftrightarrow \begin{cases} 0 < a < 1 < b\\ 0 < b < 1 < a \end{cases}\) |
| 15 | \(\log_a b > \log_a c \xrightarrow{a>1} b > c > 0\) |
| 16 | \(\log_a b > \log_a c \xrightarrow{0\lt a\lt 1} 0 \lt b \lt c\) |
3. Logarit thập phân và logarit tự nhiên
3.1. Logarit thập phân
Logarit cơ số 10 của một số dương \(a\) gọi là logarit thập phân của \(a\), kí hiệu là \(\log a\) hoặc \(\lg a\). Nghĩa là: \(\log a = \log_{10} a\).
3.2. Logarit tự nhiên
Logarit cơ số \(e\) của số dương \(a\) gọi là logarit tự nhiên của \(a\), kí hiệu là \(\ln a\). Nghĩa là: \(\ln a = \log_e a\). Trong đó \[e = \lim_{x \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x \approx 2{,}7183.\]
Logarit cơ số 10 của một số dương \(a\) gọi là logarit thập phân của \(a\), kí hiệu là \(\log a\) hoặc \(\lg a\). Nghĩa là: \(\log a = \log_{10} a\).
3.2. Logarit tự nhiên
Logarit cơ số \(e\) của số dương \(a\) gọi là logarit tự nhiên của \(a\), kí hiệu là \(\ln a\). Nghĩa là: \(\ln a = \log_e a\). Trong đó \[e = \lim_{x \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x \approx 2{,}7183.\]