Định lí về tổng các ước của số nguyên dương
Nếu số nguyên dương \(n\) được phân tích thành thừa số nguyên tố:
\[ n=p_1^{m_1}\cdot p_2^{m_2}\cdots p_k^{m_k} \]
thì tổng các ước nguyên dương của \(n\) là:
\[ \sigma(n)=\prod_{i=1}^{k} \left(\frac{p_i^{m_i+1}-1}{p_i-1}\right). \]
Chứng minh định lí tổng các ước số nguyên dương
Tất cả những ước số của \(n\) đều có dạng:
\[ p_1^{x_1}\cdot p_2^{x_2}\cdots p_k^{x_k} \]
với
\[ 0\le x_1\le m_1,\quad 0\le x_2\le m_2,\quad \ldots,\quad 0\le x_k\le m_k. \]
Từ đó ta có tổng tất cả các ước số nguyên dương của \(n\) là:
\[ \sigma(n) =\sum_{x_1=0}^{m_1} \sum_{x_2=0}^{m_2} \cdots \sum_{x_k=0}^{m_k} \left( p_1^{x_1}p_2^{x_2}\cdots p_k^{x_k} \right). \]
Ta đưa lần lượt các thừa số không phụ thuộc vào từng biến ra ngoài dấu tổng:
\[ \sigma(n) = \left(\sum_{x_1=0}^{m_1}p_1^{x_1}\right) \left(\sum_{x_2=0}^{m_2}p_2^{x_2}\right) \cdots \left(\sum_{x_k=0}^{m_k}p_k^{x_k}\right). \]
Mỗi tổng trong ngoặc là một tổng cấp số nhân. Do đó:
\[ \sigma(n) = \left(\frac{p_1^{m_1+1}-1}{p_1-1}\right) \left(\frac{p_2^{m_2+1}-1}{p_2-1}\right) \cdots \left(\frac{p_k^{m_k+1}-1}{p_k-1}\right). \]
Vậy:
\[ \boxed{ \sigma(n)=\prod_{i=1}^{k} \left(\frac{p_i^{m_i+1}-1}{p_i-1}\right) }. \]
Ví dụ áp dụng
Tính tổng tất cả các ước nguyên dương của số \(240\).
Ta có:
\[ 240=2^4\cdot3\cdot5. \]
Theo định lí về hàm tổng các ước, ta có:
\[ \sigma(240) = \left(\frac{2^{4+1}-1}{2-1}\right) \left(\frac{3^{1+1}-1}{3-1}\right) \left(\frac{5^{1+1}-1}{5-1}\right). \]
Tính toán:
\[ \begin{aligned} \sigma(240) &=\frac{2^5-1}{1}\cdot\frac{3^2-1}{2}\cdot\frac{5^2-1}{4}\\ &=31\cdot4\cdot6\\ &=744. \end{aligned} \]
Vậy tổng tất cả các ước nguyên dương của \(240\) là \( \boxed{744}. \)