Đề gõ lại
a) Rút gọn biểu thức $P = \frac{15\sqrt{x} - 11}{x + 2\sqrt{x} - 3} + \frac{3\sqrt{x} - 2}{1 - \sqrt{x}} - \frac{2\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 3}$ với $x \ge 0, x \ne 1$.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $Q = \frac{a - 3\sqrt{a} + 6}{\sqrt{a} - 2}$ với $a > 4$.
1. Cho phương trình $x^4 - 4x^2 + m + 2 = 0$ (1), với $m$ là tham số.
a) Giải phương trình (1) khi $m = -7$.
b) Tìm $m$ để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt $x_1, x_2, x_3, x_4$ thỏa mãn
$$\frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} + \frac{1}{x_3^2} + \frac{1}{x_4^2} = 2x_1 x_2 x_3 x_4.$$
2. Giải hệ phương trình $\begin{cases} 2x^2 + y^2 + 3xy - 3x - 9 = 0 \\ \sqrt{x^2 - y + 3} = 2x + y \end{cases}$.
Cho tam giác tù $ABC$ có $\widehat{ABC} > 90^\circ$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Tiếp tuyến tại $C$ của $(O)$ cắt đường thẳng $AB$ tại $S$. Lấy điểm $P$ thuộc miền trong tam giác $OAC$ sao cho $SC = SP$. Đường thẳng $SP$ cắt $(O)$ tại hai điểm $E, F$ ($E$ ở giữa $S$ và $F$). Các đường thẳng $AP, BP$ cắt lại $(O)$ lần lượt tại $K, L$. Chứng minh rằng:
a) Tam giác $ACS$ đồng dạng với tam giác $CBS$;
b) $\widehat{APS} = \widehat{PBS}$;
c) Tứ giác $EKLF$ là hình thang cân.
a) Chứng minh rằng $A = 2^{2023} + 3m^2 + 6n - 23$ chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên $m, n$.
b) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên $(m, n)$ để $B = 3^{3m^2 + 6n - 22} + 4$ là một số nguyên tố.
Ban đầu, trên bảng có $n$ số nguyên dương đầu tiên được viết liên tiếp từ trái qua phải: $1, 2, 3, \dots, n-1, n$. Ta thực hiện trò chơi đổi số như sau: Mỗi lượt chơi, lấy ba số đứng liền nhau $a, b, c$ và đổi chỗ $a$ với $c$ thành $c, b, a$. Hỏi sau hữu hạn lượt chơi như trên ta có thể thu được dãy số ngược lại $n, n-1, \dots, 2, 1$ hay không, nếu:
a) $n = 5$;
b) $n = 2024$.
Đề gốc (ảnh)
