Tài liệu hệ thống các bất đẳng thức cơ bản và bổ đề nâng cao thường dùng trong bài toán đại số, bao gồm AM-GM, Cauchy-Schwarz (dạng thường và dạng Engel), bất đẳng thức Schur cùng với các điều kiện xảy ra dấu đẳng thức. Các biến số được hiểu là số thực dương nếu không có chỉ dẫn gì thêm.
Trước hết là 2 bất đẳng thường dùng nhất: AM-GM và Cauchy–Schwarz.
1. Bất đẳng thức AM–GM
Với mọi số thực không âm \(a_1, a_2, \dots, a_n\) ta có:
\[\frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n} \ge \sqrt[n]{a_1 a_2 \dots a_n}\]Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a_1 = a_2 = \dots = a_n\).
2. Bất đẳng thức Cauchy–Schwarz
Với hai bộ số thực \(a_1, \dots, a_n\) và \(b_1, \dots, b_n\) ta có:
\[(a_1^2 + \dots + a_n^2)(b_1^2 + \dots + b_n^2) \ge (a_1 b_1 + \dots + a_n b_n)^2\]Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hai bộ số phụ thuộc tuyến tính, nghĩa là tồn tại hai số thực \(\lambda, \mu\) không đồng thời bằng 0 sao cho \(\lambda a_i = \mu b_i\) với mọi \(i = 1, 2, \dots, n\). Phát biểu này gồm cả trường hợp một trong hai bộ có tất cả các số hạng bằng 0, khi đó hai vế cùng bằng 0. Nếu tất cả \(b_i\) đều khác 0 thì điều kiện trên tương đương với dãy tỉ số:
\[\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \dots = \frac{a_n}{b_n}\]Còn nếu có một \(b_i = 0\) thì dãy tỉ số vô nghĩa, phải dùng dạng phụ thuộc tuyến tính.
Dạng cộng mẫu (dạng Engel): với \(y_i > 0\),
\[\frac{x_1^2}{y_1} + \frac{x_2^2}{y_2} + \dots + \frac{x_n^2}{y_n} \ge \frac{(x_1 + x_2 + \dots + x_n)^2}{y_1 + y_2 + \dots + y_n}\]Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{x_1}{y_1} = \frac{x_2}{y_2} = \dots = \frac{x_n}{y_n}\). Ở dạng này mọi mẫu số đều dương theo giả thiết, nên dãy tỉ số vừa viết có nghĩa.
