Tài liệu hệ thống kiến thức trọng tâm và phương pháp giải các dạng toán tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối và tích phân của hàm số cho bởi nhiều công thức liên tục.
Dạng 1: Tích phân của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối
Phương pháp: Ta thực hiện theo một trong hai cách sau:
Cách 1:
- Cho \(f(x) = 0\) tìm nghiệm \(\in [a; b]\), giả sử các nghiệm đó là \(x_1, x_2, \dots, x_n \in [a; b]\)
- Khi đó: \[I = \int_{a}^{b} |f(x)| dx = \int_{a}^{x_1} |f(x)| dx + \int_{x_1}^{x_2} |f(x)| dx + \int_{x_2}^{x_3} |f(x)| dx + \dots + \int_{x_n}^{b} |f(x)| dx\] \[\Leftrightarrow I = \left| \int_{a}^{x_1} f(x) dx \right| + \left| \int_{x_1}^{x_2} f(x) dx \right| + \left| \int_{x_2}^{x_3} f(x) dx \right| + \dots + \left| \int_{x_n}^{b} f(x) dx \right|\]
- Tính mỗi tích phân thành phần.
Cách 2:
- Cho \(f(x) = 0\) tìm nghiệm \(\in [a; b]\).
- Xét dấu \(f(x)\) trên \([a; b]\).
- Áp dụng công thức giá trị tuyệt đối: \[|A| = \begin{cases} A & \text{khi } A > 0 \\ -A & \text{khi } A < 0 \end{cases}\] để phá trị tuyệt đối trong \(\int_{a}^{b}\).
- Tính mỗi tích phân thành phần.
Dạng 2: Tích phân của hàm số cho bởi nhiều công thức
Phương pháp: Có hai bài toán trong dạng này
Bài toán 1: Cho hàm số \(f(x) = \begin{cases} g(x) & \text{khi } x \le b \\ h(x) & \text{khi } x > b \end{cases}\) liên tục trên \(D\). Tính \(I = \int_{a}^{c} f(x) dx\). Xét \(b \in [a; c]\).
- Bước 1: Kiểm tra hàm số \(f(x)\) có liên tục tại \(x = b\)?
Tức là kiểm tra: \[\lim_{x \to b^-} f(x) = \lim_{x \to b^+} f(x) = f(b) \Leftrightarrow \lim_{x \to b^-} g(x) = \lim_{x \to b^+} h(x) = f(b)\] - Bước 2: Tách cận: \[J = \int_{a}^{c} f(x) dx = \int_{a}^{b} g(x) dx + \int_{b}^{c} h(x) dx\]
- Bước 3: Tính các tích phân \(I_1, I_2\) bằng các phương pháp đã học.
Bài toán 2: Cho hàm số \(f(x) = \begin{cases} g(x,m) & \text{khi } x \le b \\ h(x,m) & \text{khi } x > b \end{cases}\) liên tục trên \(D\). Tính \(I = \int_{a}^{c} f(x) dx\). Xét \(b \in [a; c]\).
- Bước 1: Kiểm tra hàm số \(f(x)\) có liên tục tại \(x = b\)?
Tức là kiểm tra: \[\lim_{x \to b^-} f(x) = \lim_{x \to b^+} f(x) = f(b) \Leftrightarrow \lim_{x \to b^-} g(x,m) = \lim_{x \to b^+} h(x,m) = f(b)\] - Bước 2: Tách cận: \[J = \int_{a}^{c} f(x) dx = \int_{a}^{b} g(x,m) dx + \int_{b}^{c} h(x,m) dx\]
- Bước 3: Tính các tích phân \(I_1, I_2\) bằng các phương pháp đã học.