UBND TỈNH QUẢNG NGÃI - SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI CHỌN HSG CẤP TỈNH THÀNH LẬP ĐỘI TUYỂN THAM DỰ KỲ THI CHỌN HSG QUỐC GIA THPT NĂM HỌC 2026-2027
Môn thi: TOÁN | Ngày thi: 17/9/2026 | Thời gian làm bài: 180 phút
NỘI DUNG ĐỀ THI
Bài 1. (6,0 điểm) Với mỗi số nguyên dương \(n \ge 2\), xét phương trình
\[\frac{1}{x+1} + \frac{1}{2(x+2)} + \dots + \frac{1}{n(x+n)} = 1.\]a) Chứng minh phương trình trên luôn có một nghiệm dương duy nhất \(x_n\) với mỗi \(n \ge 2\).
b) Đặt \(y_n = n^{2026} (1 - x_n), \forall n \ge 2\). Tính \(\lim y_n\).
Bài 2. (7,0 điểm) Một số nguyên dương \(n > 1\) được gọi là "đẹp" nếu tồn tại các số nguyên dương đôi một phân biệt \(d_1, d_2, \dots, d_k\) (với \(k \ge 2\)) sao cho \(n = d_1 d_2 \dots d_k\) và \(d_i^2 \mid (n + 3d_i), \forall i = \overline{1, k}\). Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các số nguyên dương "đẹp".
a) Giả sử \(n \in S\) là số chính phương không chia hết cho 3, \(n = d_1 d_2 \dots d_k\) và \(d_i^2 \mid (n + 3d_i), \forall i = \overline{1, k}\). Chứng minh các số \(d_i (i = 1, 2, \dots, k)\) đôi một nguyên tố cùng nhau và là các số chính phương.
b) Chứng minh tập hợp \(S\) có vô hạn phần tử.
Bài 3. (7,0 điểm) Cho hình bình hành \(ABCD\) có góc \(A\) nhọn, hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) cắt nhau tại \(O\). Đường tròn \((I)\) nội tiếp tam giác \(OBC\) tiếp xúc với \(BC\) tại \(E\).
a) Giả sử tam giác \(ADE\) nhọn. Gọi \(O_1, O_2, O_3\) lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp của các tam giác \(ABE, ADE, CDE\). Chứng minh trực tâm của tam giác \(O_1 O_2 O_3\) nằm trên \(AD\).
b) Lấy điểm \(S\) khác \(O\) sao cho \(SA\) và \(SD\) cùng tiếp xúc với \((I)\). Gọi \(K\) là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác \(SAD\). Chứng minh \(OK\) đi qua trung điểm của \(AD\).