ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Câu 4. (6,0 điểm) Tìm tất cả các hàm số \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) thỏa mãn
\[xf(2x+xy) = xf(x) + f(x^2)f(y+1), \quad \forall x,y \in \mathbb{R}.\]Câu 5. (7,0 điểm) Xét dãy số \((a_n)\) xác định bởi: \(a_0 = 0, a_1 = 1, a_2 = 2, a_3 = 6\) và
\[a_{n+4} = 2a_{n+3} + a_{n+2} - 2a_{n+1} - a_n \quad \text{với mọi } n \ge 0.\]a) Chứng minh rằng \(a_n\) chia hết cho \(n\) với mọi số nguyên dương \(n\).
b) Với mỗi số nguyên dương \(m\), ký hiệu \(\varphi(m)\) là số các số nguyên dương không vượt quá \(m\) và nguyên tố cùng nhau với \(m\). Chứng minh rằng \(\varphi\left( \frac{a_{2027}}{2027} \right)\) là một số chia hết cho 4.
Câu 6. (7,0 điểm) Cho tứ giác \(ABCD\) không phải hình thang, nội tiếp đường tròn tâm \(O\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(CD\); \(F\) là giao điểm của \(AD\) và \(BC\). Các tiếp tuyến tại \(C\) và \(D\) của đường tròn \((FCD)\) cắt nhau tại \(S\). Gọi \(P\) là giao điểm \(SF\) và \(CD\); \(E\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\); \(H\) là hình chiếu của \(E\) trên \(SF\); \(K\) là giao điểm thứ hai của hai đường tròn \((ABE)\) và \((CDE)\).
a) Chứng minh rằng các điểm \(K, P, M, H\) cùng nằm trên một đường tròn, ký hiệu là \((\omega)\).
b) Tiếp tuyến tại \(P\) của đường tròn \((\omega)\) cắt đường tròn \((CDE)\) tại \(X, Y\). Gọi \(Q\) là giao điểm thứ hai của \(KP\) với đường tròn \((CDE)\). Chứng minh rằng \(EQ\) là tia phân giác của \(\widehat{XEY}\).