Tóm tắt nội dung: Tài liệu tổng hợp các công thức giải nhanh hình học tọa độ Oxyz liên quan đến mặt phẳng, hỗ trợ làm bài thi trắc nghiệm Toán 12 bao gồm: tìm tọa độ hình chiếu vuông góc, điểm đối xứng, lập phương trình mặt phẳng phân giác và mặt phẳng song song cách đều.
1. Tọa độ hình chiếu vuông góc của một điểm trên mặt phẳng
Cho điểm \(M(x_M; y_M; z_M)\) và mặt phẳng \((P): Ax + By + Cz + D = 0\).
Hình chiếu vuông góc của điểm \(M\) trên mặt phẳng \((P)\) là điểm \(H(x_M - At; y_M - Bt; z_M - Ct)\), trong đó:
\[t = \frac{Ax_M + By_M + Cz_M + D}{A^2 + B^2 + C^2}\]2. Tọa độ điểm đối xứng của một điểm qua mặt phẳng
Cho điểm \(M(x_M; y_M; z_M)\) và mặt phẳng \((P): Ax + By + Cz + D = 0\).
Điểm đối xứng của \(M\) qua mặt phẳng \((P)\) là điểm \(M'(x_M - 2At; y_M - 2Bt; z_M - 2Ct)\), trong đó:
\[t = \frac{Ax_M + By_M + Cz_M + D}{A^2 + B^2 + C^2}\]3. Phương trình mặt phẳng phân giác của hai mặt phẳng
Mặt phẳng phân giác của hai mặt phẳng \((P): a_1x + b_1y + c_1z + d_1 = 0\) và \((Q): a_2x + b_2y + c_2z + d_2 = 0\) có phương trình là:
\[\frac{a_1x + b_1y + c_1z + d_1}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2}} = \pm \frac{a_2x + b_2y + c_2z + d_2}{\sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}\]4. Phương trình mặt phẳng song song và cách đều hai mặt phẳng
Phương trình mặt phẳng \((P)\) song song và cách đều hai mặt phẳng \((Q): ax + by + cz + d_1 = 0\) và \((R): ax + by + cz + d_2 = 0\) (với \(d_1 \neq d_2\)) là:
\[ax + by + cz + \frac{d_1 + d_2}{2} = 0\]