NỘI DUNG ĐỀ THI
Bài 1 (3,0 điểm).
a) Cho \(p\) là số nguyên tố lớn hơn 5 và \(n\) là số nguyên dương. Chứng minh rằng \(p^{8n} + 3p^{4n} - 4\) chia hết cho 5.
b) Cho các số nguyên dương \(x, y\). Tìm số nhỏ nhất có dạng \(|11^x - 5^y|\).
Bài 2 (5,0 điểm).
a) Giải phương trình:
\[(x + 2)^3 + (3 - x)^3 + 3(x + 2)(3 - x) = 125\]b) Giải hệ phương trình:
\[\begin{cases} x(x - y) + y^2 = 4x - 1 \\ x(x - y)^2 - 5y^2 = 4x + 5 \end{cases}\]Bài 3 (3,0 điểm).
a) Bác An gửi tiết kiệm ngân hàng số tiền là 500 triệu đồng với kì hạn một năm. Sau một năm bác An mong muốn có số tiền cả gốc và lãi ít nhất là 530 triệu đồng. Hỏi lãi suất của ngân hàng tại thời điểm bác An gửi tiền ít nhất là bao nhiêu % trong một năm, để bác An có được số tiền như mong muốn?
b) Mỗi cạnh của một hình vuông được tô màu một cách ngẫu nhiên bởi một trong ba màu xanh, đỏ hoặc vàng. Tính xác suất để hai cạnh kề nhau bất kì của hình vuông luôn khác màu.
Bài 4 (1,0 điểm).
Một công ty dịch vụ sự kiện muốn thiết kế màn hình LED hình chữ nhật \(MNPQ\) bên trong khung vòm trang trí hình tam giác đều \(ABC\) với độ dài cạnh là \(100\text{ m}\) (như hình vẽ). Hai đỉnh \(M, N\) nằm trên cạnh \(BC\), hai đỉnh \(Q, P\) lần lượt thuộc hai cạnh \(AB\) và \(AC\). Tìm độ dài đoạn \(MB\) để hình chữ nhật \(MNPQ\) có diện tích lớn nhất?
Bài 5 (7,0 điểm).
Cho tam giác \(ABC\) nhọn không cân (\(AB < AC\)) có ba đường cao \(AD, BE, CF\) cắt nhau tại \(H\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Đường thẳng đi qua điểm \(A\) và vuông góc \(AM\) cắt các tia \(BE, CF\) lần lượt tại \(P\) và \(Q\). Gọi \(N\) là giao điểm của \(AM\) và \(BE\).
a) Chứng minh \[\frac{NE}{EP} = \frac{AN^2}{AP^2}\]
b) Chứng minh \(AP = AQ\).
c) Lấy điểm \(K\) trên tia \(CF\) sao cho \(BK\) song song với \(AC\). Gọi \(I\) là giao điểm của \(AD\) và \(EF\). Chứng minh \(CI\) song song với \(MK\).
Bài 6 (1,0 điểm).
Cho một bảng hình vuông \(10 \times 10\) gồm 100 ô vuông, trong mỗi ô vuông người ta ghi một số tự nhiên theo thứ tự từ 1 đến 100. Hàng thứ nhất ghi từ số 1 đến số 10, hàng thứ hai ghi từ 11 đến 20, ..., hàng thứ 10 ghi từ 91 đến 100. Người ta lấy ra 10 số bất kì trong bảng sao cho hai số bất kì không cùng thuộc một hàng nào và không cùng thuộc một cột nào. Chứng minh rằng tổng 10 số được chọn có giá trị không đổi.