Khái quát nội dung đề kiểm tra:
Đề kiểm tra khảo sát tháng 10 môn Toán lớp 9 (Đề 2) của trường THCS Thanh Xuân gồm 5 bài toán tự luận với thời gian làm bài 120 phút, bao quát nhiều chủ đề trọng tâm:
- Thống kê và xác suất: Đọc và phân tích số liệu biểu đồ cột kép tăng trưởng GDP; tính xác suất thực nghiệm của biến cố.
- Đại số: Rút gọn và tính giá trị biểu thức phân thức, giải bất phương trình chứa phân thức, bài toán thực tế về tích lũy tiền và chuyển động (lập phương trình), giải phương trình chứa ẩn ở mẫu.
- Hình học: Tỉ số lượng giác trong tam giác vuông (bài toán thực tế hạ cánh của máy bay), hệ thức lượng và tam giác đồng dạng, chứng minh các điểm thẳng hàng.
- Toán thực tế nâng cao: Bài toán tối ưu hóa chi phí - lợi nhuận (bất đẳng thức/quy hoạch tuyến tính cơ bản).
Bài I. (1,0 điểm)
1) Biểu đồ cột kép dưới đây biểu diễn tốc độ tăng trưởng GDP của các quốc gia ASEAN – 6 trong hai năm 2024 và 2025 (Nguồn: Báo Doanh nhân Việt Nam):
| Quốc gia | Việt Nam | Malaysia | Indonesia | Singapore | Philippines | Thái Lan |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Năm 2024 (%) | 7,09 | 5,1 | 5,03 | 4,0 | 5,6 | 2,9 |
| Năm 2025 (%) | 8,02 | 5,2 | 5,11 | 4,8 | 4,4 | 2,4 |
a) Những nước nào có tăng trưởng GDP năm 2025 dưới \(5\%\)?
b) Những nước nào có tăng trưởng GDP năm 2025 thấp hơn so với năm 2024?
2) Nam thực hiện thí nghiệm gieo một con xúc xắc nhiều lần và ghi chép lại kết quả thu được ở bảng sau:
| Số chấm | 1 chấm | 2 chấm | 3 chấm | 4 chấm | 5 chấm | 6 chấm |
| Số lần xuất hiện | 40 | 30 | 33 | 27 | 31 | 39 |
Tính xác suất thực nghiệm của biến cố \(A\): “Mặt xuất hiện của con xúc xắc có số chấm không nhỏ hơn 4”.
Bài II. (2,0 điểm)
Cho hai biểu thức:
\[A = \frac{x - 3}{x^2 + 1} \quad \text{và} \quad B = \frac{3}{x - 3} + \frac{9x - 9}{x^2 - 9} + \frac{2x}{x + 3} \quad \text{với } x \ne \pm 3.\]a) Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = \frac{1}{4}\).
b) Chứng minh rằng \(B = \frac{2x}{x - 3}\).
c) Đặt \(P = A \cdot B\). Tìm các giá trị của \(x\) để \(P \le -1\).
Bài III. (2,5 điểm)
1) Tính đến hết ngày 31/12/2025, bạn Mai đã dành dụm được khoản tiền là 800 nghìn đồng. Bắt đầu từ thời điểm đó, mỗi tháng Mai tiếp tục tiết kiệm thêm 40 nghìn đồng trích từ tiền học bổng. Mai dự kiến mua một chiếc xe đạp với giá tối thiểu là một triệu đồng. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng thì Mai có đủ tiền tiết kiệm để mua chiếc xe đạp đó?
2) Một người dự định đi xe đạp từ nhà đến cơ quan với vận tốc trung bình là \(12\text{ km/h}\). Sau khi đã đi được \(\frac{1}{3}\) quãng đường với vận tốc dự định thì xe bị hỏng, người đó phải dừng lại chờ xe buýt/ô tô hết \(20\) phút rồi tiếp tục hành trình bằng ô tô với vận tốc \(36\text{ km/h}\) trên đoạn đường còn lại. Do đó, người này đến cơ quan sớm hơn so với dự kiến ban đầu là \(1\) giờ \(40\) phút. Hãy tính thời gian di chuyển thực tế và độ dài quãng đường từ nhà đến cơ quan.
3) Giải phương trình:
\[\frac{2x + 1}{x - 1} - \frac{x}{x + 1} = 1\]Bài IV. (4,0 điểm)
1) Một chiếc máy bay bắt đầu thực hiện quy trình hạ cánh tại vị trí \(A\) khi đang ở độ cao \(6\text{ km}\) so với mặt đất, đích đến tiếp đất là điểm \(B\) trên đường băng. Quỹ đạo hạ cánh \(AB\) là đường thẳng tạo với mặt đất một góc nghiêng bằng \(4^\circ\).
a) Tính chiều dài đường hạ cánh \(AB\) của máy bay (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị km).
b) Ngay sau khi chạm đất tại điểm \(B\), máy bay lăn bánh thẳng đến khu vực trả khách với tốc độ trung bình \(30\text{ km/h}\). Cho biết tổng quãng đường di chuyển kể từ điểm bắt đầu hạ cánh \(A\) cho tới khu vực đón trả khách là \(100\text{ km}\). Hỏi hành khách phải đợi trong bao nhiêu phút tính từ khi máy bay tiếp đất cho đến lúc tới khu vực trả khách? (kết quả làm tròn đến phút).
2) Cho tam giác \(XBC\) vuông tại \(X\) (\(XB < XC\)), kẻ đường cao \(XD\) (\(D \in BC\)). Gọi \(E\) là trung điểm của cạnh \(XC\). Kẻ đường thẳng qua \(X\) vuông góc với đoạn thẳng \(BE\), đường thẳng này cắt \(BE\) và \(BC\) lần lượt tại \(F\) và \(G\).
a) Chứng minh rằng: \(XE^2 = EF \cdot EB\).
b) Chứng minh: \(\Delta EFC \backsim \Delta ECB\) và đoạn thẳng \(FG\) là tia phân giác của góc \(\widehat{DFC}\).
c) Lấy \(M\) là trung điểm của \(DC\), kẻ đường thẳng qua \(C\) vuông góc với \(XC\), cắt tia \(EM\) tại điểm \(N\). Chứng minh ba điểm \(X, G, N\) thẳng hàng.
Bài V. (0,5 điểm)
Một xưởng may lên kế hoạch sản xuất hai mặt hàng gồm áo và mũ, sử dụng hết tổng cộng \(800\text{ m}^2\) vải. Thống kê sản xuất cho thấy: cứ dùng \(100\text{ m}^2\) vải để may áo thì cần tiêu tốn \(10\) công lao động và thu về mức lãi \(7\) triệu đồng; trong khi cứ \(100\text{ m}^2\) vải may mũ thì cần \(15\) công lao động và mang lại lợi nhuận \(9\) triệu đồng. Hỏi xưởng may cần phân bổ bao nhiêu mét vuông vải cho từng loại sản phẩm để tổng lợi nhuận đạt mức lớn nhất, biết rằng tổng số công lao động huy động không vượt quá \(90\) công? (Một công được quy ước là mức thù lao trung bình chi trả cho một người lao động làm việc trong một ngày).