Đề khảo sát học sinh giỏi môn Toán lớp 9 – Vòng 2
Đơn vị: UBND Phường Giảng Võ – Trường THCS Giảng Võ
Năm học: 2026 – 2027 | Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Đề thi bao gồm 5 bài toán lớn bao quát các chủ đề: Biến đổi biểu thức đại số, hệ phương trình đối xứng, xác suất cổ điển, số học (chia hết), bất đẳng thức và cực trị, hình học phẳng (tam giác đều, tam giác đồng dạng, hệ thức diện tích) và nguyên lý chọn số (Dirichlet).
NỘI DUNG ĐỀ THI
Bài I. (6,0 điểm)
1) Cho biểu thức:
\[ A = \left( \frac{3}{\sqrt{x}+1} + \frac{1}{1-\sqrt{x}} + \frac{x+5}{x-1} \right) \cdot \frac{\sqrt{x}+1}{x} \quad \text{với } x > 0, x \ne 1. \]a) Rút gọn biểu thức \(A\).
b) Tìm tất cả các giá trị của \(x\) thỏa mãn \(A \le 4\).
2) Cho \(x, y, z\) là các số thực khác \(0\), thỏa mãn đồng thời các điều kiện:
\[ x^3 + x^2 = y^2 + xyz; \quad y^3 + y^2 = z^2 + xyz; \quad z^3 + z^2 = x^2 + xyz. \]Tìm tất cả các giá trị có thể của biểu thức:
\[ P = \left( 1 + \frac{x}{y} \right) \left( 1 + \frac{y}{z} \right) \left( 1 + \frac{z}{x} \right). \]Bài II. (4,0 điểm)
1) Một hộp có chứa ba viên bi vàng lần lượt ghi các số 1; 2; 3 và hai viên bi nâu lần lượt ghi các số 4; 5. Các viên bi có kích thước và khối lượng như nhau. Lấy ngẫu nhiên đồng thời hai viên bi trong hộp. Tính xác suất của biến cố: “Hai viên bi được lấy ra khác màu”.
2) Cho ba số nguyên \(a, b, c\) thỏa mãn \(7a^2 + 4b^2 = 9c^2\). Chứng minh rằng \(abc\) chia hết cho 108.
Bài III. (2,0 điểm)
Xét các số thực \(a, b, c\) thỏa mãn \(1 \le a, b, c \le 3\) và \(a + b + c = 6\). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\[ P = a^2 + b^2 + c^2 + (a - 2)(b - 2)(c - 2). \]Bài IV. (6,0 điểm)
Cho tam giác \(ABC\) đều. Lấy điểm \(X\) đối xứng với điểm \(A\) qua đường thẳng \(BC\). Kẻ đường thẳng qua điểm \(X\), đường thẳng này cắt các tia đối của tia \(CA, BA\) lần lượt tại \(E\) và \(F\).
a) Chứng minh \(XB \parallel AC\) và \(\Delta CBE \backsim \Delta BFC\).
b) Gọi giao điểm của hai đoạn thẳng \(BE\) và \(CF\) tại điểm \(P\). Chứng minh \(\widehat{BPC} = 120^\circ\) và \(PA = PB + PC\).
c) Chứng minh rằng:
\[ \frac{S_{AEF}}{S_{ABC}} = \frac{PA^2}{PB \cdot PC}. \]Bài V. (2,0 điểm)
1) Tìm các số nguyên dương \(x, y, z\) sao cho các số
\[ \frac{x^6 + y^6 + 7}{x^3 y^3}; \quad \frac{y^6 + z^6 + 7}{y^3 z^3} \quad \text{và} \quad \frac{z^6 + x^6 + 7}{z^3 x^3} \]đều là các số nguyên.
2)
a) Tìm số nguyên nhỏ nhất \(n\) (với \(n \ge 4\)) sao cho từ \(n\) số nguyên phân biệt bất kỳ, ta luôn chọn được 4 số phân biệt \(a, b, c, d\) sao cho \((a + b - c - d) \,\vdots\, 2\).
b) Tìm số nguyên dương chẵn nhỏ nhất \(n\) (với \(n \ge 4\)) sao cho từ \(n\) số nguyên phân biệt bất kỳ, ta luôn chọn được 4 số phân biệt \(a, b, c, d\) sao cho \((a + b - c - d) \,\vdots\, 26\).