Tổng hợp chi tiết các công thức tính xác suất quan trọng môn Toán bao gồm: xác suất biến cố đối, công thức cộng, nhân xác suất, xác suất có điều kiện cùng các công thức nâng cao như xác suất toàn phần và Bayes.
1. Công thức xác suất của biến cố đối
Xác suất của biến cố đối \(\bar{A}\) liên hệ với xác suất của biến cố \(A\) qua công thức:
\[P(\bar{A}) = 1 - P(A) \iff P(A) + P(\bar{A}) = 1\]2. Công thức cộng xác suất
① Trường hợp tổng quát (biến cố bất kỳ): Với hai biến cố \(A\) và \(B\) bất kỳ, ta có:
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\]② Trường hợp hai biến cố xung khắc (\(A \cap B = \emptyset\)):
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B)\]• Mở rộng: Nếu \(A_1, A_2, \dots, A_k\) đôi một xung khắc thì:
\[P(A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_k) = P(A_1) + P(A_2) + \dots + P(A_k)\]3. Công thức nhân xác suất
① Áp dụng cho hai biến cố độc lập: Nếu \(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập với nhau thì:
\[P(A \cap B) = P(A \cdot B) = P(A) \cdot P(B)\]• Mở rộng: Nếu \(A_1, A_2, \dots, A_k\) là các biến cố độc lập toàn phần thì:
\[P(A_1 \cap A_2 \cap \dots \cap A_k) = P(A_1) \cdot P(A_2) \dots P(A_k)\]• Ghi chú: Nếu \(A\) và \(B\) độc lập thì các cặp biến cố \((A \text{ và } \bar{B})\), \((\bar{A} \text{ và } B)\), \((\bar{A} \text{ và } \bar{B})\) cũng độc lập.
4. Công thức xác suất có điều kiện và công thức nhân tổng quát
① Xác suất có điều kiện: Cho hai biến cố \(A\) và \(B\) với \(P(B) > 0\). Xác suất của biến cố \(A\) khi biến cố \(B\) đã xảy ra được ký hiệu là \(P(A|B)\) và được tính bởi:
\[P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\]② Công thức nhân tổng quát:
\[P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B) = P(A) \cdot P(B|A)\]5. Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes (Nâng cao)
① Công thức xác suất toàn phần: Giả sử hệ các biến cố \(B_1, B_2, \dots, B_n\) tạo thành một hệ đầy đủ các biến cố (\(B_i \cap B_j = \emptyset\) với \(i \neq j\) và \(\bigcup_{i=1}^n B_i = \Omega\), \(P(B_i) > 0\)). Khi đó với mọi biến cố \(A\):
\[P(A) = \sum_{i=1}^n P(B_i) \cdot P(A|B_i) = P(B_1)P(A|B_1) + \dots + P(B_n)P(A|B_n)\]② Công thức Bayes: Với \(P(A) > 0\) và \(k \in \{1, 2, \dots, n\}\):
\[P(B_k|A) = \frac{P(B_k) \cdot P(A|B_k)}{P(A)} = \frac{P(B_k) \cdot P(A|B_k)}{\sum_{i=1}^n P(B_i) \cdot P(A|B_i)}\]