Tổng hợp kiến thức lý thuyết trọng tâm về đường Hypebol trong chương trình Hình học Toán 10. Nội dung bao gồm định nghĩa, phương trình chính tắc, tiêu điểm, các đỉnh, trục thực, trục ảo, hình chữ nhật cơ sở, phương trình đường tiệm cận, bán kính qua tiêu, tâm sai và đường chuẩn.
1. Định nghĩa đường Hypebol
Cho hai điểm cố định và phân biệt \(F_1, F_2\). Đặt \(F_1F_2 = 2c > 0\). Với số thực \(a > 0\) thỏa mãn \(a \lt c\), tập hợp tất cả các điểm \(M\) sao cho \(|MF_1 - MF_2| = 2a\) được gọi là đường hypebol.
- Hai điểm \(F_1, F_2\) được gọi là hai tiêu điểm của hypebol.
- Độ dài đoạn thẳng \(F_1F_2 = 2c\) được gọi là tiêu cự của hypebol.
2. Phương trình chính tắc và các yếu tố của Hypebol
Cho hypebol có phương trình chính tắc:
\[\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (\text{với } a, b > 0)\]Mối liên hệ giữa các đại lượng: \(c^2 = a^2 + b^2\).
- Tiêu điểm: Hypebol có hai tiêu điểm là \(F_1(-c; 0)\) và \(F_2(c; 0)\).
- Tiêu cự: Tiêu cự của hypebol là \(2c\).
- Đỉnh: Hypebol có hai đỉnh là \(A_1(-a; 0)\) và \(A_2(a; 0)\).
- Tính đối xứng: Hypebol nhận hai trục tọa độ \(Ox, Oy\) làm hai trục đối xứng và gốc tọa độ \(O\) làm tâm đối xứng.
- Trục thực và trục ảo: Trục \(Ox\) gọi là trục thực, trục \(Oy\) gọi là trục ảo. Độ dài trục thực là \(2a\), độ dài trục ảo là \(2b\).
- Hình chữ nhật cơ sở: Là hình chữ nhật có các đỉnh là \((-a; -b)\), \((-a; b)\), \((a; -b)\), \((a; b)\).
- Đường tiệm cận: Hypebol có hai đường tiệm cận với phương trình \(y = \pm \frac{b}{a}x\).
- Bán kính qua tiêu: Với điểm \(M(x; y)\) thuộc hypebol, các bán kính qua tiêu được tính bởi công thức: \[MF_1 = \left| a + \frac{c}{a}x \right|, \quad MF_2 = \left| a - \frac{c}{a}x \right|\]
- Tâm sai: Tâm sai của hypebol là \(e = \frac{c}{a} > 1\).
- Đường chuẩn: Các đường chuẩn của hypebol ứng với các tiêu điểm \(F_1\) và \(F_2\) có phương trình là \(x = \pm \frac{a}{e}\).
