Bài viết tổng hợp toàn bộ kiến thức trọng tâm về Xác suất có điều kiện thuộc chương trình Toán 12, bao gồm các định nghĩa, công thức nhân xác suất, công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes.
1. Định nghĩa xác suất có điều kiện
Định nghĩa: Cho hai biến cố \(A\) và \(B\). Xác suất của biến cố \(A\) với điều kiện biến cố \(B\) đã xảy ra được gọi là xác suất của \(A\) với điều kiện \(B\), kí hiệu là \(P(A | B)\). Nếu \(P(B) > 0\) thì:
\[P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{P(AB)}{P(B)}\]Với mỗi biến cố ngẫu nhiên \(A\) và \(B\), trong đó \(P(B) > 0\), ta có:
\[P(\overline{A} | B) = 1 - P(A | B)\]2. Công thức nhân xác suất
Định lí: Cho hai biến cố \(A, B\) là biến cố bất kì. Khi đó:
\[P(AB) = P(A | B) \cdot P(B) = P(B | A) \cdot P(A)\]Chú ý: Cho hai biến cố \(A\) và \(B\) thỏa mãn \(0 < P(A), P(B) < 1\). Khi đó, \(A\) và \(B\) độc lập khi và chỉ khi \(P(A | B) = P(A)\) và \(P(B | A) = P(B)\).
3. Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes
Cho biến cố \(A\) và \(B\). Khi đó, ta có công thức xác suất toàn phần như sau:
\[P(B) = P(B | A) \cdot P(A) + P(B | \overline{A}) \cdot P(\overline{A})\]Cho \(A\) và \(B\) là biến cố, với \(P(B) > 0\). Khi đó, ta có công thức Bayes như sau:
\[P(A | B) = \frac{P(B | A) \cdot P(A)}{P(B | A) \cdot P(A) + P(B | \overline{A}) \cdot P(\overline{A})}\]Công thức Bayes có thể viết dưới dạng:
\[P(A | B) = \frac{P(B | A) \cdot P(A)}{P(B)}\]