Bất đẳng thức AM-GM, các hệ quả và Bất đẳng thức cộng mẫu

Tài liệu tổng hợp lý thuyết trọng tâm về Bất đẳng thức AM-GM (Cauchy) từ 2 số, 3 số đến n số thực không âm, các dạng biểu diễn tương đương, hệ quả thường dùng trong biến đổi đại số và Bổ đề bất đẳng thức cộng mẫu (Cauchy-Schwarz dạng Engel).

1. Bất đẳng thức AM-GM (Cauchy)

Cho $n$ số thực không âm $x_1, x_2, \dots, x_n$. Khi đó:

$$ \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} \ge \sqrt[n]{x_1 x_2 \dots x_n} $$

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x_1 = x_2 = \dots = x_n$.

Bất đẳng thức này có tên gọi đầy đủ là bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân, viết tắt theo tiếng Anh quốc tế là bất đẳng thức AM-GM (Arithmetic Mean - Geometric Mean). Ở Việt Nam, tên gọi quen thuộc trong sách giáo khoa là bất đẳng thức Cauchy (hoặc Côsi).

Các dạng tương đương hay dùng:

Dạng 1: $\displaystyle \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} \ge \sqrt[n]{x_1 x_2 \dots x_n}$

Dạng 2: $x_1 + x_2 + \dots + x_n \ge n \sqrt[n]{x_1 x_2 \dots x_n}$

Dạng 3: $\displaystyle \left(\frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}\right)^n \ge x_1 x_2 \dots x_n$

Hai trường hợp riêng đặc biệt:

Với $x, y \ge 0$: $x + y \ge 2\sqrt{xy}$ Đẳng thức xảy ra khi $x = y$.
Với $x, y, z \ge 0$: $x + y + z \ge 3\sqrt[3]{xyz}$ Đẳng thức xảy ra khi $x = y = z$.

2. Các hệ quả thường dùng

Với mọi số thực $x, y, z$, ta có các hệ quả bất đẳng thức quen thuộc:

$x^2 + y^2 \ge 2xy$
$2(x^2 + y^2) \ge (x+y)^2$
$(x+y)^2 \ge 4xy$
$\displaystyle x^2 - xy + y^2 \ge \frac{(x+y)^2}{4}$
$x^2 + y^2 + z^2 \ge xy + yz + zx$
$3(x^2 + y^2 + z^2) \ge (x+y+z)^2$
$(x+y+z)^2 \ge 3(xy + yz + zx)$
$x^2 y^2 + y^2 z^2 + z^2 x^2 \ge xyz(x+y+z)$
$3(x^2 y^2 + y^2 z^2 + z^2 x^2) \ge (xy + yz + zx)^2$

3. Bổ đề (Bất đẳng thức cộng mẫu)

Bổ đề

Với các số dương $x_1, x_2, \dots, x_n$, ta có:

$$ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \dots + \frac{1}{x_n} \ge \frac{n^2}{x_1 + x_2 + \dots + x_n} $$

Tương đương với:

$$ (x_1 + x_2 + \dots + x_n) \left( \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \dots + \frac{1}{x_n} \right) \ge n^2 $$