Tài liệu tóm tắt lý thuyết nền tảng Đại số tổ hợp, cung cấp kiến thức toàn diện về các quy tắc đếm cơ bản: Quy tắc cộng, Quy tắc nhân và khái niệm Giai thừa kèm các công thức mở rộng.
A. QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN
1. QUY TẮC CỘNG
Định nghĩa: Một công việc có thể được thực hiện theo một trong \(k\) phương án độc lập với nhau:
- Phương án thứ 1 có \(n_1\) cách thực hiện;
- Phương án thứ 2 có \(n_2\) cách thực hiện;
- ...
- Phương án thứ \(k\) có \(n_k\) cách thực hiện.
Khi đó số cách thực hiện công việc là: \[N = n_1 + n_2 + \dots + n_k\]
Mở rộng: Quy tắc cộng thực chất là quy tắc đếm số phần tử của hợp các tập hợp hữu hạn không giao nhau: Nếu \(A\) và \(B\) là hai tập hợp hữu hạn không giao nhau (\(A \cap B = \emptyset\)) thì: \[|A \cup B| = |A| + |B|\]
2. QUY TẮC NHÂN
Định nghĩa: Một công việc bao gồm \(k\) công đoạn nối tiếp nhau để hoàn thành:
- Công đoạn thứ 1 có \(n_1\) cách thực hiện;
- Ứng với mỗi cách thực hiện công đoạn 1, có \(n_2\) cách thực hiện công đoạn thứ 2;
- ...
- Ứng với mỗi cách thực hiện các công đoạn trước, có \(n_k\) cách thực hiện công đoạn thứ \(k\).
Khi đó số cách hoàn thành công việc là: \[N = n_1 \cdot n_2 \dots n_k\]
B. GIAI THỪA
Định nghĩa: Cho số tự nhiên \(n \ge 1\). Tích của \(n\) số nguyên dương đầu tiên được gọi là \(n\)-giai thừa, ký hiệu là \(n!\). Nghĩa là: \[n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \dots n\]
- Quy ước: \(0! = 1\).
- \(n! = n \cdot (n - 1)! = n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2)!\) với \(n \ge 1\).