Tóm tắt kiến thức lý thuyết và các công thức xác định góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng trong hệ tọa độ Oxyz.
1. Góc giữa hai đường thẳng
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai đường thẳng \(\Delta_1, \Delta_2\) tương ứng có \(\vec{u}_1 = (a_1; b_1; c_1)\) và \(\vec{u}_2 = (a_2; b_2; c_2)\) là hai vectơ chỉ phương. Khi đó, ta có:
\[\cos(\Delta_1, \Delta_2) = |\cos(\vec{u}_1, \vec{u}_2)| = \frac{|\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2|}{|\vec{u}_1| \cdot |\vec{u}_2|} = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \cdot \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}\]
\[\cos(\Delta_1, \Delta_2) = |\cos(\vec{u}_1, \vec{u}_2)| = \frac{|\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2|}{|\vec{u}_1| \cdot |\vec{u}_2|} = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \cdot \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}\]
2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(\Delta\) có vectơ chỉ phương \(\vec{u} = (a; b; c)\) và mặt phẳng \((P)\) có vectơ pháp tuyến \(\vec{n} = (A; B; C)\). Khi đó, ta có:
\[\sin(\Delta, (P)) = |\cos(\vec{u}, \vec{n})| = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{n}|} = \frac{|aA + bB + cC|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \cdot \sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\]
\[\sin(\Delta, (P)) = |\cos(\vec{u}, \vec{n})| = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{n}|} = \frac{|aA + bB + cC|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \cdot \sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\]
3. Góc giữa hai mặt phẳng
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai mặt phẳng \((P_1), (P_2)\) có hai vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\vec{n}_1 = (A_1; B_1; C_1)\) và \(\vec{n}_2 = (A_2; B_2; C_2)\). Khi đó, ta có:
\[\cos((P_1), (P_2)) = |\cos(\vec{n}_1, \vec{n}_2)| = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| \cdot |\vec{n}_2|} = \frac{|A_1 A_2 + B_1 B_2 + C_1 C_2|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} \cdot \sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}}\]
\[\cos((P_1), (P_2)) = |\cos(\vec{n}_1, \vec{n}_2)| = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| \cdot |\vec{n}_2|} = \frac{|A_1 A_2 + B_1 B_2 + C_1 C_2|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} \cdot \sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}}\]