Tính thể tích của tứ diện có các cặp cạnh đối bằng nhau

Tứ diện có ba cặp cạnh đối bằng nhau, nên ta có thể đặt tọa độ 4 đỉnh như sau: \[A(x,y,z),\ B(x,-y,-z),\ C(-x,y,-z),\ D(-x,-y,z).\]

Thể tích khối tứ diện được tính bởi: \[ V=\frac{1}{6} \left|[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}] \cdot\overrightarrow{AD}\right|. \]

Ta có: \[ \overrightarrow{AB}=(0,-2y,-2z),\quad \overrightarrow{AC}=(-2x,0,-2z),\quad \overrightarrow{AD}=(-2x,-2y,0). \]

Khi đó: \[ [\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}] =(4yz,4xz,-4xy). \]

Suy ra: \[ [\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}] \cdot\overrightarrow{AD} =(4yz)(-2x)+(4xz)(-2y)+(-4xy)\cdot0 =-16xyz. \] Do đó: \[ V=\frac{1}{6}|-16xyz| =\frac{8}{3}|xyz|. \]

Mặt khác: \[ \begin{aligned} AB^2 &= 4(y^2+z^2)=2000,\\ AC^2 &= 4(x^2+z^2)=2500,\\ AD^2 &= 4(x^2+y^2)=1300. \end{aligned} \]

Suy ra: \(x^2=225,\quad y^2=100,\quad z^2=400\).

Do đó: \[ V=\frac{8}{3}\cdot15\cdot10\cdot20 =8000. \]

Đáp số: \(\boxed{8000}\).