Tóm tắt nội dung đề thi:
- Phần II - Trắc nghiệm đúng sai: Gồm 4 câu hỏi bao quát các chuyên đề: hình học không gian (khối lập phương, góc nhị diện, tứ diện đều); khảo sát sự biến thiên và điểm cực trị của hàm phân thức hữu tỉ; bài toán xác suất thực nghiệm gắn linh kiện bo mạch; ứng dụng đạo hàm mô hình hóa nồng độ thuốc trong máu.
- Phần III - Trả lời ngắn: Gồm 2 câu hỏi ứng dụng thực tế về tối ưu hóa doanh thu - lợi nhuận bán hàng và bài toán cực trị hình học không gian trong thiết kế mô hình khung lều trại tứ diện.
PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1: Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh \(a\).
a) Thể tích khối lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) bằng \(\frac{a^3}{3}\).
b) \(AC' \bot (A'BD)\).
c) Số đo của góc nhị diện \([A', AC', B]\) bằng \(150^\circ\).
d) Xét một hình tứ diện đều có hai đỉnh nằm trên đường thẳng \(AC'\) và hai đỉnh còn lại nằm trên đường thẳng \(BA'\). Thể tích của khối tứ diện đều đó bằng \(\frac{a^3\sqrt{6}}{108}\).
Câu 2: Cho hàm số: \(y = f(x) = \frac{x^2 - 3x + 3}{1 - x}\).
a) Hàm số đồng biến trên khoảng \((0; 2)\).
b) Hàm số đạt cực đại tại \(x = 2\).
c) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên \(\left[\frac{3}{2}; \frac{7}{2}\right]\) bằng \(-\frac{3}{2}\).
d) Gọi \(A, B\) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. Cho \(C(-1; 2)\), gọi \(D(a; b)\) là chân đường phân giác trong góc \(C\) của tam giác \(ABC\). Ta có \(4a - b = 0\).
Câu 3: Trong một cơ sở sản xuất bo mạch giám sát nhiệt độ, mỗi bo mạch có 4 vị trí lắp chip cảm biến được bố trí tại 4 đỉnh của một khung tản nhiệt hình vuông (được đánh số thứ tự vòng quanh là \(1, 2, 3, 4\)). Trên khay linh kiện có 50 chip cảm biến giống hệt nhau, cùng chuẩn chân cắm nhưng được sản xuất từ ba nhà cung ứng \(A, B\) và \(C\) trong đó 18 chip từ hãng \(A\), 16 chip từ hãng \(B\) và 16 chip từ hãng \(C\). Kỹ sư lấy lần lượt 4 con chip trong khay (không hoàn lại) lắp vào 4 vị trí cảm biến, việc kỹ sư gắn chip vào mỗi vị trí được xem là các biến cố độc lập. Hai vị trí được gọi là kề nhau nếu chúng cùng nằm trên một cạnh của khung hình vuông.
a) Xác suất để cảm biến được gắn vào vị trí số 1 do hãng \(A\) sản xuất bằng \(0{,}36\).
b) Xác suất để một bo mạch sau khi lắp có cả 4 cảm biến đều do cùng một hãng sản xuất bằng \(\frac{1608}{2303}\).
c) Xác suất để hai vị trí kề nhau 1 và 2 cùng được gắn chip của một hãng sản xuất bằng \(\frac{786}{1225}\).
d) Theo tiêu chuẩn tản nhiệt của bo mạch, để tránh tích tụ nhiệt gây quá nhiệt cục bộ (hotspot), hai vị trí kề nhau không được gắn chip của cùng một hãng sản xuất. Bo mạch thỏa mãn điều kiện này được xếp loại là bo mạch đạt chuẩn tản nhiệt. Xác suất để một bo mạch được máy gắn ngẫu nhiên đạt chuẩn tản nhiệt bằng \(0{,}23\) (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Câu 4: Một bệnh nhân sau khi tiêm một liều thuốc kháng sinh, thuốc bắt đầu khuếch tán vào máu. Nồng độ của thuốc trong máu (tính bằng miligam trên lít, mg/l) sau \(t\) giờ kể từ thời điểm tiêm được mô hình hóa bởi hàm số: \[C(t) = \frac{30t}{t^2 + 4} \quad (t \ge 0).\]
a) Ngay tại thời điểm tiêm thuốc (\(t = 0\)), nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân bằng \(0\text{ mg/l}\).
b) Sau khi tiêm 6 giờ, nồng độ thuốc trong máu giảm dần và tiệm cận về mức \(7{,}5\text{ mg/l}\) nếu thời gian đủ dài.
c) Nồng độ thuốc trong máu bệnh nhân đạt mức cao nhất bằng \(4\text{ mg/l}\).
d) Để thuốc phát huy tác dụng điều trị tốt, nồng độ thuốc trong máu phải duy trì từ \(6\text{ mg/l}\) trở lên. Khoảng thời gian thuốc phát huy tác dụng điều trị tốt trong cơ thể kéo dài đúng 3 giờ.
PHẦN III. TRẢ LỜI NGẮN
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 2.
Câu 1: Một nhà sản xuất trung bình bán được 1500 chiếc tivi màn hình phẳng mỗi tuần với giá 15 triệu đồng một chiếc. Một cuộc khảo sát thị trường chỉ ra rằng nếu cứ giảm giá bán 600 nghìn đồng thì số lượng tivi bán ra sẽ tăng thêm khoảng 120 chiếc mỗi tuần. Biết chi phí hằng tuần là \[C(x) = 12000 - \frac{5x}{2}\] (triệu đồng) trong đó \(x\) là số lượng chiếc tivi bán ra trong tuần. Nhà sản xuất cần đặt giá bán bao nhiêu (triệu đồng) để đem lại lợi nhuận trong một tuần lớn nhất?
Câu 2: Một nhóm học sinh trường THPT thực hiện đề tài trải nghiệm sáng tạo, thiết kế mô hình khung một chiếc lều cắm trại có dạng khối tứ diện \(ABCD\) (với tất cả các mặt là tam giác nhọn để đảm bảo độ vững chắc và khả năng thoát nước tốt). Theo bản vẽ kỹ thuật của nhóm: Hai thanh giằng chính \(BC\) và \(AD\) được bố trí chéo nhau và vuông góc với nhau (\(BC \bot AD\)), với khoảng cách ngắn nhất giữa hai thanh này được cố định là \(d = 2{,}5\); Góc mở của mái lều được xác định bởi góc phẳng nhị diện \([A, BC, D]\), trong đó số đo của góc nhị diện \([A, BC, D]\) bằng \(60^\circ\). Gọi \(h_a\) và \(h_d\) lần lượt là chiều cao của các trụ chống dựng từ đỉnh \(A\) và đỉnh \(D\) xuống các mặt đối diện của khung lều. Để tối ưu hóa kết cấu chịu lực và vật liệu, nhóm học sinh cần khảo sát biểu thức \[T = \frac{h_a + h_d}{h_a h_d}.\] Giá trị lớn nhất của biểu thức \(T\) bằng bao nhiêu?