Tài liệu tuyển chọn đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán lớp 12 năm học 2026 - 2027 của Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Gia Lai (Ngày thi thứ hai 07/10/2026). Thời gian làm bài 180 phút, gồm 3 câu tự luận (Câu 4, Câu 5, Câu 6) bao gồm các dạng bài Đại số - Đa thức, Hình học phẳng và Số học.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH GIA LAI - ĐỀ THI CHÍNH THỨC (NGÀY 2)
Câu 4 (7,0 điểm)
Xét đa thức \(P(x)\) hệ số thực thoả mãn:
\[P(x)\left[P(x^2)-x\right] = P(x^3), \quad \forall x \in \mathbb{R} \qquad (1)\]
a) Giả sử \(P(x)\) có \(\text{deg } P \ge 1\) thỏa mãn (1). Tính \(P(0)\).
b) Tìm tất cả các đa thức \(P(x)\) thỏa mãn (1).
Xét đa thức \(P(x)\) hệ số thực thoả mãn:
\[P(x)\left[P(x^2)-x\right] = P(x^3), \quad \forall x \in \mathbb{R} \qquad (1)\]
a) Giả sử \(P(x)\) có \(\text{deg } P \ge 1\) thỏa mãn (1). Tính \(P(0)\).
b) Tìm tất cả các đa thức \(P(x)\) thỏa mãn (1).
Câu 5 (6,0 điểm)
Cho tam giác \(ABC\) nhọn và không cân. Đường tròn nội tiếp \((I)\) của tam giác \(ABC\) theo thứ tự tiếp xúc với \(BC, CA, AB\) tại \(D, E, F\). Đường thẳng \(IE\) cắt đường tròn \((I)\) tại điểm \(G\) khác \(E\). \(BG\) cắt \(AC\) tại \(K\). Gọi \(N\) là trung điểm của \(AC\).
a) Chứng minh rằng \(NE = NK\).
b) Đường tròn \((O)\) ngoại tiếp tam giác \(ABC\) theo thứ tự cắt các đường thẳng \(BE, BN, BG\) tại \(S, P, T\) khác \(B\). Gọi \(M\) là trung điểm \(ST\). Chứng minh rằng các điểm \(M, N, O, P\) cùng thuộc một đường tròn.
Cho tam giác \(ABC\) nhọn và không cân. Đường tròn nội tiếp \((I)\) của tam giác \(ABC\) theo thứ tự tiếp xúc với \(BC, CA, AB\) tại \(D, E, F\). Đường thẳng \(IE\) cắt đường tròn \((I)\) tại điểm \(G\) khác \(E\). \(BG\) cắt \(AC\) tại \(K\). Gọi \(N\) là trung điểm của \(AC\).
a) Chứng minh rằng \(NE = NK\).
b) Đường tròn \((O)\) ngoại tiếp tam giác \(ABC\) theo thứ tự cắt các đường thẳng \(BE, BN, BG\) tại \(S, P, T\) khác \(B\). Gọi \(M\) là trung điểm \(ST\). Chứng minh rằng các điểm \(M, N, O, P\) cùng thuộc một đường tròn.
Câu 6 (7,0 điểm)
Ký hiệu \((a,b)\) là ước chung lớn nhất của hai số nguyên dương \(a\) và \(b\); \(\delta(n)\) là tổng các ước nguyên dương của số nguyên dương \(n\).
a) Chứng minh rằng \(\delta(n)\) là số lẻ khi và chỉ khi tồn tại số tự nhiên \(t\) sao cho \(\frac{n}{2^t}\) là số chính phương.
b) Cho số nguyên dương \(k \ge 6\). Tồn tại hay không số nguyên dương \(n\) thỏa mãn \((n+i, \delta(n+i)) = 1, \forall i \in \{1, 2, \dots, k\}\), hãy giải thích?
Ký hiệu \((a,b)\) là ước chung lớn nhất của hai số nguyên dương \(a\) và \(b\); \(\delta(n)\) là tổng các ước nguyên dương của số nguyên dương \(n\).
a) Chứng minh rằng \(\delta(n)\) là số lẻ khi và chỉ khi tồn tại số tự nhiên \(t\) sao cho \(\frac{n}{2^t}\) là số chính phương.
b) Cho số nguyên dương \(k \ge 6\). Tồn tại hay không số nguyên dương \(n\) thỏa mãn \((n+i, \delta(n+i)) = 1, \forall i \in \{1, 2, \dots, k\}\), hãy giải thích?