PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN
Câu 1. Cho hình lăng trụ đứng \(ABCD.A'B'C'D'\) có đáy \(ABCD\) là hình thang cân, \(AD\) song song \(BC\), \(AB = BC = CD = 7\sqrt{6}\), \(AD = 14\sqrt{6}\). Góc giữa mặt phẳng \((A'CD)\) và \((ABCD)\) bằng \(45^\circ\). Tính khoảng cách từ \(B\) đến mặt phẳng \((A'CD)\).
Câu 2. Một số có 12 chữ số được gọi là số thú vị nếu các chữ số của nó nhỏ hơn 9 và khi tăng mỗi chữ số lên tối đa một đơn vị (mỗi chữ số có thể không tăng hoặc tăng thêm một đơn vị) thì ta được một số mới khác số ban đầu và chia hết cho số ban đầu. Hỏi có bao nhiêu số thú vị?
Câu 3. Cho bảng vuông gồm \(5 \times 5\) ô vuông con, mỗi ô được điền một số sao cho trên mỗi hàng tính từ trái qua các số theo thứ tự là các số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, các số trên mỗi cột tính từ trên xuống theo thứ tự cũng là các số hạng liên tiếp của một cấp số cộng. Do sơ xuất nên trên bảng vuông chỉ còn xuất hiện một số số như hình vẽ dưới. Gọi \(x\) là số được điền vào ô của bảng như hình dưới, tính giá trị của \(10x^2\).
| 15 | 30 | |||
| 14 | ||||
| 0 | \(x\) |
Câu 4. Một nhóm gồm 9 bạn học sinh, trong đó có Trí và Lan. Các bạn cùng chơi trò chơi tàu lượn siêu tốc gồm 3 toa nối tiếp nhau: Toa 1, Toa 2 và Toa 3. Biết mỗi toa phải có ít nhất 1 người, gọi \(p\) là xác suất để Toa 1 chỉ có đúng 2 người là Trí và Lan, tính giá trị \(42p\).
Câu 5. Trong một hệ thống trí tuệ nhân tạo (AI) dùng camera để nhận diện vật thể, camera được gắn trên một mô-tơ có thể quay liên tục. Khi camera quay quanh vật thể, góc nhìn thay đổi, làm cho chất lượng các đặc trưng hình ảnh hệ thống thu nhận cũng thay đổi.
Hệ thống sử dụng hai thuật toán nhận diện độc lập. Với mỗi góc quay \(x\) (đơn vị radian), \(0 \le x \le 8\pi\), mỗi thuật toán đưa ra một chỉ số tin cậy cho kết quả nhận diện. Qua quá trình thử nghiệm, các kỹ sư mô hình hóa chỉ số tin cậy này lần lượt bởi các hàm số \(f(x) = 1 + \sin^2 x\) và \(g(x) = 1 + \cos^2 x\).
Để đánh giá mức độ phối hợp của hai thuật toán, hệ thống sử dụng một chỉ số kết hợp là
\[ H(x) = \log_2 f(x) \cdot \log_4 g(x) \]Gọi \(H_0 = \log_2 \frac{3}{2}\) và hệ thống đạt trạng thái phối hợp tối ưu khi \(\sqrt{H(x)} = H_0\).
Gọi \(S\) tổng tất cả các góc quay \(x \in [0; 8\pi]\) tại đó hệ thống đạt trạng thái phối hợp tối ưu, tính \(\frac{20S}{\pi}\).
Câu 6. Biết hàm số bậc ba \(y = ax^3 + bx^2 + cx + d\) có bảng biến thiên như sau:
\[\begin{array}{c|ccccccc} x & -\infty & & -1 & & 4 & & +\infty\\ \hline y' & & + & 0 & - & 0 & + & \\ \hline y & -\infty & \nearrow & 10 & \searrow & -22 & \nearrow & +\infty \end{array}\]Biết rằng đồ thị hàm số trên cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là \(x_1, x_2, x_3\).
Tính giá trị của \(S = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{2}\).