Tóm tắt nội dung đề thi: Đề thi minh họa Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT theo chương trình mới (GDPT 2018) môn Toán của Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội. Đề thi bao gồm 5 bài tập tự luận trong thời gian làm bài 120 phút, bao gồm các chủ đề: Thống kê & Xác suất, Biểu thức đại số, Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình/phương trình, Hình học không gian, Hình học phẳng và bài toán cực trị hình học.
ĐỀ BÀI
Bài I. (1,5 điểm)
1) Sau khi điều tra số học sinh trong 40 lớp học (đơn vị: học sinh), người ta có biểu đồ tần số ghép nhóm dưới đây:
Tìm tần số ghép nhóm và tần số tương đối ghép nhóm của nhóm \([40; 42)\).
2) Hình vẽ dưới đây mô tả một đĩa tròn bằng bìa cứng được chia làm 12 phần bằng nhau và ghi các số 1, 2, 3, ..., 11, 12; chiếc kim được gắn cố định vào trục quay ở tâm của đĩa.
Xét phép thử "Quay đĩa tròn một lần" và biến cố \( M \): "Chiếc kim chỉ vào hình quạt ghi số chia hết cho 4". Tính xác suất của biến cố \( M \).
Bài II. (1,5 điểm)
Cho hai biểu thức: \( A = \frac{x-4}{\sqrt{x}} \) và \( B = \frac{3}{\sqrt{x}-2} + \frac{2\sqrt{x}+3}{4-x} \) với \( x > 0, x \neq 4 \).
1) Tính giá trị của biểu thức \( A \) khi \( x = 9 \).
2) Chứng minh \( B = \frac{\sqrt{x}+3}{x-4} \).
3) Xét biểu thức \( P = AB \). Chứng minh \( P < P^2 \).
Bài III. (2,5 điểm)
1) Bác Tiến chia số tiền 400 triệu đồng của mình cho hai khoản đầu tư. Sau một năm, tổng số tiền lãi thu được là 27 triệu đồng. Lãi suất cho khoản đầu tư thứ nhất là 6%/năm và khoản đầu tư thứ hai là 8%/năm. Tính số tiền bác Tiến đầu tư cho mỗi khoản.
2) Một tổ sản xuất có kế hoạch làm 300 sản phẩm cùng loại trong một số ngày quy định. Thực tế, mỗi ngày tổ đã làm được nhiều hơn 10 sản phẩm so với số sản phẩm dự định làm trong một ngày theo kế hoạch. Vì thế tổ đã hoàn thành công việc sớm hơn kế hoạch 1 ngày. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày tổ sản xuất phải làm bao nhiêu sản phẩm? (Giả định rằng số sản phẩm mà tổ đó làm được trong mỗi ngày là bằng nhau).
3) Biết rằng phương trình bậc hai \( x^2 - 3x + a = 0 \) có một nghiệm là \( x = \frac{3-\sqrt{5}}{2} \). Tìm tổng bình phương hai nghiệm của phương trình trên.
Bài IV. (4,0 điểm)
1) Một ly nước dạng hình trụ có chiều cao là \( 15\text{ cm} \), đường kính đáy là \( 5\text{ cm} \), lượng nước tinh khiết trong ly cao \( 10\text{ cm} \). Ly nước được đặt cố định trên mặt bàn phẳng như hình vẽ dưới đây.
a) Tính thể tích lượng nước tinh khiết được chứa trong ly.
b) Người ta thả vào ly nước 5 viên bi hình cầu giống hệt nhau, có cùng thể tích, đồng chất và ngập hoàn toàn trong nước, làm nước trong ly dâng lên đúng bằng miệng ly, không tràn ra ngoài. Hỏi thể tích của mỗi viên bi là bao nhiêu xăng-ti-mét khối? (Giả sử độ dày của ly là không đáng kể).
2) Cho đường tròn \( (O) \) có hai đường kính \( AB \) và \( MN \) vuông góc với nhau. Trên tia đối của tia \( MA \) lấy điểm \( C \) khác điểm \( M \). Gọi \( H \) là chân đường vuông góc kẻ từ điểm \( M \) đến đường thẳng \( BC \).
a) Chứng minh bốn điểm \( O, M, H, B \) cùng thuộc một đường tròn.
b) Hai đường thẳng \( MB \) và \( OH \) cắt nhau tại \( E \). Chứng minh \( \widehat{MHO} = \widehat{MNA} \) và \( ME \cdot MH = BE \cdot HC \).
c) Gọi \( P \) là giao điểm thứ hai của đường tròn \( (O) \) và đường tròn ngoại tiếp tam giác \( MHC \). Chứng minh ba điểm \( C, P, E \) là ba điểm thẳng hàng.
Bài V. (0,5 điểm)
Trong buổi tham quan dã ngoại, mỗi lớp khối 9 được chuẩn bị một tấm bạt hình chữ nhật \( ABCD \) cùng loại, có chiều dài \( 10\text{ m} \) và chiều rộng \( 6\text{ m} \); với \( M, N \) lần lượt là trung điểm của \( AD, BC \) (Hình 1).
Mỗi lớp sử dụng tấm bạt như trên để dựng thành chiếc lều có dạng hình lăng trụ đứng tam giác (Hình 2); hai đáy hình lăng trụ là hai tam giác cân: tam giác \( AMD \) và tam giác \( BNC \), với độ dài cạnh đáy của hai tam giác cân này là \( x\text{ (m)} \). (Tấm bạt chỉ sử dụng để dựng thành hai mái lều, không trải thành đáy lều).
Tìm \( x \) để thể tích không gian trong lều là lớn nhất.