A. Véc-tơ pháp tuyến và cặp véc-tơ chỉ phương mặt phẳng
1. Véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng:
Véc-tơ \(\vec{n} \neq \vec{0}\) được gọi là véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha)\) nếu giá của \(\vec{n}\) vuông góc với mặt phẳng \((\alpha)\).
- Mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết một điểm và một véc-tơ pháp tuyến của nó.
- Nếu \(\vec{n}\) là véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha)\) thì \(k\vec{n}\) (với \(k \neq 0\)) cũng là một véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha)\).
2. Tích có hướng của hai véc-tơ:
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai véc-tơ \(\vec{u} = (a; b; c)\) và \(\vec{v} = (a'; b'; c')\). Khi đó véc-tơ \(\vec{n} = (bc' - b'c; ca' - c'a; ab' - a'b)\) vuông góc với cả hai véc-tơ \(\vec{u}\) và \(\vec{v}\), được gọi là tích có hướng của \(\vec{u}\) và \(\vec{v}\), ký hiệu là \([\vec{u}, \vec{v}]\).
- \([\vec{u}, \vec{v}] = \vec{0}\) khi và chỉ khi \(\vec{u}, \vec{v}\) cùng phương.
- Với bốn số \(x, y, x', y'\), ta ký hiệu \(\begin{vmatrix} x & y \\ x' & y' \end{vmatrix} = xy' - x'y\). Khi đó, tích có hướng của \(\vec{u} = (a; b; c)\) và \(\vec{v} = (a'; b'; c')\) là:
3. Cặp véc-tơ chỉ phương của mặt phẳng:
Trong không gian \(Oxyz\), hai véc-tơ \(\vec{u}, \vec{v}\) được gọi là cặp véc-tơ chỉ phương của mặt phẳng \((P)\) nếu chúng không cùng phương và có giá nằm trong hoặc song song với mặt phẳng \((P)\).
Chú ý: Nếu \(\vec{u}, \vec{v}\) là cặp véc-tơ chỉ phương của \((P)\) thì \([\vec{u}, \vec{v}]\) là một véc-tơ pháp tuyến của \((P)\).
B. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
Trong không gian \(Oxyz\), mỗi mặt phẳng đều có phương trình dạng \(Ax + By + Cz + D = 0\), trong đó \(A, B, C\) không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng đó.
Định lý ngược: Trong không gian \(Oxyz\), mỗi phương trình \(Ax + By + Cz + D = 0\) (các hệ số \(A, B, C\) không đồng thời bằng 0) xác định một mặt phẳng nhận \(\vec{n} = (A; B; C)\) làm một véc-tơ pháp tuyến.