Tóm tắt bài học: Chuyên đề Phương trình đường thẳng trong không gian Oxyz bao gồm định nghĩa vectơ chỉ phương, phương trình tham số, phương trình chính tắc và phương pháp lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt.
A. Vectơ chỉ phương của đường thẳng
Vectơ \( \vec{u} \neq \vec{0} \) được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng \( \Delta \) nếu giá của \( \vec{u} \) song song hoặc trùng với \( \Delta \).
Chú ý:
- Đường thẳng hoàn toàn xác định khi biết một điểm mà nó đi qua và một vectơ chỉ phương.
- Nếu \( \vec{u} \) là một vectơ chỉ phương của \( \Delta \) thì \( k\vec{u} \) (với \( k \) là một số khác 0) cũng là một vectơ chỉ phương của \( \Delta \).
B. Phương trình tham số của đường thẳng
Định nghĩa: Trong không gian \( Oxyz \), cho đường thẳng \( \Delta \) đi qua điểm \( A(x_0; y_0; z_0) \) và có vectơ chỉ phương \( \vec{u} = (a; b; c) \).
Hệ phương trình:
\[\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases}\]được gọi là phương trình tham số của đường thẳng \( \Delta \) (\( t \) là tham số, \( t \in \mathbb{R} \)).
Chú ý: Cho mặt phẳng \( (\alpha) \) có phương trình tổng quát là \( Ax + By + Cz + D = 0 \). Khi đó:
- Với các số \( a, b, c \) không đồng thời bằng 0 thì hệ phương trình:\[\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})\]xác định một đường thẳng đi qua \( M(x_0; y_0; z_0) \) và có vectơ chỉ phương là \( \vec{u} = (a; b; c) \).
- Từ phương trình tham số của đường thẳng, mỗi giá trị của tham số tương ứng với một điểm thuộc đường thẳng đó và ngược lại.
C. Phương trình chính tắc của đường thẳng
Trong không gian \( Oxyz \), cho đường thẳng \( \Delta \) đi qua điểm \( A(x_0; y_0; z_0) \) và có vectơ chỉ phương \( \vec{u} = (a; b; c) \) với \( a, b, c \) là các số khác 0.
Hệ phương trình:
\[\frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c}\]được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng \( \Delta \).
D. Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
Trong không gian \( Oxyz \), cho hai điểm phân biệt \( A_1(x_1; y_1; z_1) \) và \( A_2(x_2; y_2; z_2) \).
Đường thẳng \( A_1A_2 \) có vectơ chỉ phương:
\[\overrightarrow{A_1 A_2} = (x_2 - x_1; y_2 - y_1; z_2 - z_1)\]