Tài liệu tóm tắt đầy đủ lý thuyết Hình học không gian về góc trong không gian, bao gồm định nghĩa, tính chất và các phương pháp xác định góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
1. Góc giữa hai đường thẳng
Định nghĩa 1: Góc giữa hai đường thẳng \(m\) và \(n\), ký hiệu \((m, n)\), là góc giữa hai đường thẳng \(a\) và \(b\) đi qua một điểm và tương ứng song song với \(m\) và \(n\).
Với hai đường thẳng \(a\) và \(b\) bất kỳ thì:
- \(0^\circ \le (a, b) \le 90^\circ\).
- \((a, b) = 0^\circ\) khi \(a \parallel b\) hoặc \(a \equiv b\).
Các phương pháp xác định góc giữa hai đường thẳng \(d\) và \(d'\):
Cách 1: Sử dụng định nghĩa
- Bước 1: Lấy một điểm \(A\) bất kỳ (thường chọn \(A \in d\) hoặc \(A \in d'\)). Qua \(A\), dựng đường thẳng \(\Delta\) và \(\Delta'\) lần lượt song song với \(d\) và \(d'\). Khi đó \((d, d') = (\Delta, \Delta')\).
- Bước 2: Tính góc giữa hai đường thẳng \(\Delta\) và \(\Delta'\) bằng tỉ số lượng giác trong tam giác vuông hoặc áp dụng định lý hàm số cosin, hàm số sin trong tam giác thường.
Cách 2: Sử dụng tích vô hướng
- Bước 1: Tìm hai vectơ \(\vec{u}\) và \(\vec{v}\) lần lượt là vectơ chỉ phương của hai đường thẳng \(d\) và \(d'\).
- Bước 2: Tính số đo góc \(\alpha\) giữa hai vectơ \(\vec{u}\) và \(\vec{v}\) thông qua công thức tích vô hướng.
- Bước 3: Góc giữa hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) được xác định:
- Bằng \(\alpha\) nếu \(0^\circ \le \alpha \le 90^\circ\).
- Bằng \(180^\circ - \alpha\) nếu \(\alpha > 90^\circ\).
2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Định nghĩa 2:
- Nếu đường thẳng \(a\) vuông góc với mặt phẳng \((P)\) thì \((a, (P)) = 90^\circ\).
- Nếu đường thẳng \(a\) không vuông góc với mặt phẳng \((P)\) thì \((a, (P)) = (a, a')\), trong đó \(a'\) là hình chiếu vuông góc của \(a\) trên mặt phẳng \((P)\).
Với đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \((P)\) bất kỳ thì:
- \(0^\circ \le (a, (P)) \le 90^\circ\).
- \((a, (P)) = 0^\circ\) khi \(a \subset (P)\) hoặc \(a \parallel (P)\).
Các phương pháp xác định góc giữa đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \((P)\):
Cách 1: Trực tiếp
- Bước 1: Tìm giao điểm \(M\) của đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \((P)\).
- Bước 2: Lấy điểm \(S \in d\) (với \(S \neq M\)) và dựng \(SH \bot (P)\) tại \(H\). Khi đó \((d, (P)) = (d, HM) = \widehat{SMH} = \alpha\).
- Bước 3: Tính số đo của góc \(\widehat{SMH}\).
Cách 2: Tính gián tiếp
- Hướng 1: Chọn một đường thẳng \(\Delta \parallel d\) mà góc giữa \(\Delta\) và \((P)\) dễ tính hơn. Từ đó suy ra \((d, (P)) = (\Delta, (P))\).
- Hướng 2: Chọn một mặt phẳng \((Q) \parallel (P)\) mà góc giữa \(d\) và \((Q)\) dễ tính hơn. Từ đó suy ra \((d, (P)) = (d, (Q))\).
