NỘI DUNG ĐỀ THI
Câu 1 (2,0 điểm). Cho biểu thức: \( A = \left[ \frac{2}{3x} - \frac{2}{x+1} \left( \frac{x+1}{3x} - x - 1 \right) \right] : \frac{x-1}{x} \) với \( x \neq 0; x \neq \pm 1 \).
Rút gọn biểu thức \( A \), tìm giá trị nguyên của \( x \) để \( A \) nhận giá trị nguyên.
Câu 2 (2,0 điểm). Cho \( a + b + c = 0 \). Tính giá trị của biểu thức: \( A = a^3 + b^3 + c(a^2 + b^2) - abc \).
Câu 3 (2,0 điểm). Giải phương trình:
\[ \frac{x^2 - 16x - 25}{1 - 2x} - \frac{31 + 6x}{x^2 + 1} = 4 \quad (*) \]Câu 4 (2,0 điểm). Đội tuyển học sinh giỏi Toán gồm 10 học sinh (9 nam và 1 nữ). Cần dự đoán 1 học sinh đạt giải nhất, 1 học sinh đạt giải nhì và 1 học sinh đạt giải ba. Tính xác suất để dự đoán được 3 học sinh mà trong đó giải nhất và giải nhì là hai người khác giới. Biết khả năng đạt giải của các bạn là như nhau.
Câu 5 (1,5 điểm). Một người dự định đi xe đạp từ A đến B cách nhau \( 60 \text{ km} \) trong thời gian nhất định. Sau khi đi được \( 30 \text{ km} \), người đó dừng lại nghỉ 30 phút. Do đó, để đến B đúng thời gian dự định, người đó phải tăng vận tốc thêm \( 2 \text{ km/h} \). Tính vận tốc dự định của người đó.
Câu 6 (2,0 điểm). Tìm tất cả các cặp số nguyên \( (x; y) \) thỏa mãn phương trình:
\[ (x + y)(2x + 3y)^2 + 2x + y + 2 = 0 \]Câu 7 (1,5 điểm). Gia đình bác Tuấn muốn cải tạo một cái hồ nước nhỏ thành hồ chứa nước đẹp hơn để nuôi cá. Bản thiết kế hồ nước có dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài gấp hai lần chiều rộng. Thể tích hồ thiết kế bằng \( \frac{62500}{3} \text{ m}^3 \). Theo giá thị trường hiện nay, chi phí xây dựng bình quân là \( 400\,000 \text{ đồng/m}^2 \) (bao gồm cả đáy và thành hồ). Hỏi chi phí thấp nhất mà gia đình bác Tuấn phải trả để xây dựng hồ nước trên là bao nhiêu?
Câu 8 (5,5 điểm). Cho tam giác \( ABC \) nhọn (\( AB < AC \)). Các đường cao \( BN \) và \( CM \) cắt nhau tại \( H \). Gọi \( I \) là trung điểm của \( BC \), \( K \) là giao điểm của đường thẳng \( IH \) và đường thẳng \( MN \). Qua \( I \) kẻ đường thẳng song song với \( MN \), đường thẳng này cắt \( CM \) và \( BN \) lần lượt tại \( E \) và \( Q \).
a) Chứng minh \( \widehat{BQI} = \widehat{ECI} \).
b) Chứng minh rằng \( IQ \cdot IE = IC^2 \) và \( \frac{KN}{KM} = \left(\frac{HN}{HM}\right)^2 \).
c) Qua \( H \) kẻ các đường thẳng \( TF, JG, LO \) lần lượt song song với \( BC, AC, AB \) (với \( T \in AB, F \in AC, J \in BC, G \in AB, L \in AC, O \in BC \)). Chứng minh:
\[ \left( \frac{TF}{BC} \right)^2 + \left( \frac{JG}{AC} \right)^2 + \left( \frac{LO}{AB} \right)^2 \ge \frac{4}{3} \]Câu 9 (1,5 điểm). Cho một mảnh giấy hình vuông. Mảnh giấy này được chia thành hai mảnh bằng một đường cắt thẳng. Lấy một trong hai mảnh thu được, ta lại làm như trên nhiều lần. Hỏi số lần cắt ít nhất phải là bao nhiêu để có thể nhận được 100 đa giác 20 cạnh?